高百俊,湯菊萍

(1.伊犁師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆 伊寧　835000;

2.揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚(yáng)州 225002)

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F-可補(bǔ)子群對(duì)有限群的FΦ-超中心的影響

高百俊1,湯菊萍2

(1.伊犁師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆 伊寧835000;

2.揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚(yáng)州 225002)

摘要:子群H稱為在群G中F-可補(bǔ),若存在G的子群T,滿足G=HT,并且(H∩T)HG/HG包含于G/HG的F-超中心ZF∞(G/HG)里.作者主要利用子群的F-可補(bǔ)性質(zhì),研究了有限群的FΦ-超中心的結(jié)構(gòu),并推廣了一些已知結(jié)論.

關(guān)鍵詞:F-可補(bǔ)子群;FΦ-超中心;有限群

文中所有的群都是有限群,術(shù)語和符號(hào)是標(biāo)準(zhǔn)的,參照文[1-3]. 在下文中,U表示超可解群系,N表示冪零群系.

設(shè)F是一個(gè)群類,若F中任意一個(gè)群的子群仍在F中,則稱F為S-閉的.H/K是群G的一個(gè)主因子,若H/K≤Φ(G/K),則稱H/K為G的Frattini主因子. 此外,如果半直積[H/K](G/CG(H/K))∈F,那么稱H/K為F-中心的,否則,稱H/K為F-離中心的.G中所有G-主因子是F-中心的正規(guī)子群的乘積稱為G的F-超中心,記為ZF∞(G). 特別地,群G的U-超中心記為ZU(G),群G的N-超中心記為Z∞(G). 群G的子群H稱為在G中F-超中心的,如果H≤ZF∞(G). 眾所周知,子群的F-超中心對(duì)于有限群的結(jié)構(gòu)有著重要的影響,例如,對(duì)任一具體的群類F,如果G有一個(gè)正規(guī)子群E,使得G/E∈F且E≤ZF∞(G),那么G∈F.

近年來,結(jié)合有限群的F-超中心,郭文彬[4]教授定義了F-可補(bǔ)子群,這一概念推廣了子群的c-正規(guī)性、c-可補(bǔ)性等. 作為這項(xiàng)工作的繼續(xù),朱路進(jìn)和繆龍[5]提出了Fs-可補(bǔ)準(zhǔn)素子群的概念,利用這一概念對(duì)冪零群和超可解群進(jìn)行了進(jìn)一步的研究. 通過對(duì)有限群G的非Frattini主因子的F-超中心性的研究,ShemetkovL.A.和SkibaA.N.對(duì)群G的F-超中心進(jìn)行了推廣[6],定義了群G的FΦ-超中心,即G中所有非FrattiniG-主因子是F-中心的正規(guī)子群的乘積,記為ZF Φ(G),并利用準(zhǔn)素子群的弱s-置換性,研究了ZFΦ(G)的結(jié)構(gòu).

在文[6]的基礎(chǔ)上,作者將考慮F-可補(bǔ)子群對(duì)有限群的FΦ-超中心的影響. 在研究過程中,主要利用文[4]和[7]中的一些定理和引理. 現(xiàn)在給出F-可補(bǔ)子群的定義.

1預(yù)備知識(shí)

為方便起見,首先列出一些在后面的證明中將會(huì)用到的一些結(jié)果.

引理1[4]設(shè)G是群,H≤K≤G. 那么

(1) H在G中F-可補(bǔ)當(dāng)且僅當(dāng)存在G的一個(gè)子群T,使得G=HT,并且

(4) 如果H在G中F-可補(bǔ),且F是S-閉的,那么H在K中F-可補(bǔ).

引理2設(shè)G是群,p是一個(gè)素?cái)?shù),P是G的一個(gè)極小正規(guī)p-子群. 如果P1是P的一個(gè)極大子群,且P1在G中U-可補(bǔ),那么|P|=p.

如果P1∩K≠1,那么P∩ZU(G)≠1. 但由P的極小性可知P≤ZU(G),因此|P|=p,矛盾.

引理3[6]設(shè)Z=ZF Φ(G),N與T是G的正規(guī)子群. 那么

(1) Z的每一個(gè)非FrattiniG-主因子在G中是F-中心的.

(2) ZN/N≤ZF Φ(G/N).

(3) 如果TN/N≤ZF Φ(G/N),且(|T|,|N|)=1,那么T≤Z.

引理4[3]設(shè)N是群G的一個(gè)可解正規(guī)子群,N≠1. 如果N∩ Φ(G)=1,那么N的Fitting子群F(N)是包含在N內(nèi)的G的極小正規(guī)子群的直積.

引理5[4]設(shè)G是有限群,P∈Sylp(G),p是|G|的極小素因子. 如果P的任一極大子群在G中有p-冪零補(bǔ)或U-可補(bǔ),那么G是p-冪零的.

引理6[8]令E是G一個(gè)正規(guī)子群,如果F*(E)的每一個(gè)G-主因子是循環(huán)的,那么E的每一個(gè)G-主因子也是循環(huán)的.

引理7[2]設(shè)G是群,N是G的子群,G的廣義Fitting子群F*(G)是G的唯一極大正規(guī)擬冪零子群,下列結(jié)論成立：

(1) 如果N是G的正規(guī)子群,那么F(N)=N∩F(G),F*(N)=N∩F*(G).

(2) 如果G≠1,那么F*(G)≠1;事實(shí)上,F*(G)/F(G)=Soc(F(G)CG(F(G)))/F(G).

(3)F*(F*(G))=F*(G)≥F(G);如果F*(G)是可解的,那么F*(G)=F(G).

(4)CG(F*(G))≤F(G).

(6) 如果K≤Z(G),那么F*(G/K)=F*(G)/K.

引理8[9]設(shè)H和L是G的正規(guī)子群,p∈π(G),那么下列結(jié)論成立:

(1)Φ(H)≤Φ(G).

(2) 如果L≤Φ(G),那么F(G/L)=F(G)/L.

(3) 如果L≤H∩Φ(G),那么F(H/L)=F(H)/L.

(4) 如果H是p-群,L≤Φ(H),那么F*(H/L)=F*(H)/L.

2主要結(jié)果

定理1設(shè)E是G的正規(guī)子群,P是E的一個(gè)Sylowp-子群,p是|E|的最小素因子.如果P的每一個(gè)極大子群在G中有p-冪零補(bǔ)或者U-可補(bǔ),那么E/Op′(E)≤ZFΦ(G/Op′(E)),F是p-冪零群系.

證明假設(shè)結(jié)論不成立,取(G,E)是一個(gè)極小階反例.

(1) Op′(E)=1.若Op′(E)≠1,由引理1(3)知,定理的條件對(duì)(G/Op′(E),E/Op′(E))成立,從而

即E/Op′(E)≤ZFΦ(G/Op′(E)),矛盾.故Op′(E)=1.

(2) E=P.

若E=G,由引理5知,G是p-冪零的,所以E≤ZFΦ(G),矛盾,從而E≠G,由于(E,E)是滿足定理?xiàng)l件的,所以由引理5知,E是p-冪零的. 于是由Op′(E)=1得,E=P.

(3) 如果N是包含在E里的G的一個(gè)極小正規(guī)子群,那么(G/N,E/N)是滿足定理?xiàng)l件的.

(4) 最后的矛盾.

設(shè)N是包含在P里的G的一個(gè)極小正規(guī)子群,由(3)知定理的條件對(duì)(G/N,E/N)成立,于是有E/N≤ZFΦ(G/N),NΦ(G)且|N|>p,因此Φ(G)∩E=1. 由引理4知,P是G的所有包含在P內(nèi)的極小正規(guī)子群的直積,由(3)得,N

推論1設(shè)E是G的一個(gè)正規(guī)子群,p是|G|的最小素因子. 如果P的每一個(gè)極大子群在G中U-可補(bǔ),那么E/Op′(E)≤ZFΦ(G/Op′(E)).

定理2設(shè)E是G的一個(gè)正規(guī)子群,如果E的非循環(huán)Sylow子群的極大子群在G中U-可補(bǔ),那么E≤ZUΦ(G).

證明利用極小階反例法證明.

由文[9]，定理1和引理1(4)可知,E是超可解的,設(shè)Q是E的一個(gè)正規(guī)Sylowq-子群,q是|E|的最大素因子. 若Q是循環(huán)的,那么Q≤ZU(G). (G,E)的極小性表明定理的條件對(duì)(G/Q,E/Q)是成立的,于是得G/Q≤ZUΦ(G/Q),因此E≤ZUΦ(G),矛盾. 所以可以斷言Q是非循環(huán)的.

如果Q∩Φ(G)≠1,那么存在G的一個(gè)極小正規(guī)子群L,使得L≤Q∩Φ(G). 如果E僅有一個(gè)非循環(huán)的Sylow子群Q,且L是Q的一個(gè)極小正規(guī)子群,那么由引理6得E/L≤ZU(G/L),即E≤ZUΦ,矛盾.于是由引理1(2)和(3)及(G,E)的極小性得(G/L,E/L)是滿足定理?xiàng)l件的,因此由E/L≤ZUΦ(G/L)可得E/L≤ZUΦ(G),矛盾.

定理3設(shè)E是G的一個(gè)正規(guī)子群. 如果F*(E)的非循環(huán)Sylow子群的極大子群在G中U-可補(bǔ),那么E≤ZUΦ(G).

證明利用極小階反例證明.

令F=F(E),F*=F*(E).于是,有

(1) F*=F≠E. 由定理?xiàng)l件和文[7]定理3.2可知,F*是超可解的,因此,由定理2得F*=F≠E.

(2) 存在p∈π(F*),使得P是F*的一個(gè)非循環(huán)Sylow子群.

如果F*的每一個(gè)Sylow子群是循環(huán)的,那么F*的每一個(gè)G-主因子是循環(huán)的,所以由引理6知,E≤ZU(G)≤ZUΦ(G),矛盾. 故存在p∈π(F*),使得P是非循環(huán)的.

(3) 如果G的一個(gè)極小正規(guī)子群L包含于P,那么|L|>p.

(4) Φ(G)∩P≠1.

(5) 最后的矛盾.

如果E≠G,那么由文[7]定理2知E是超可解的. 由(4)可知,存在G的一個(gè)極小正規(guī)子群L包含于Φ(G)∩P. 因?yàn)長≤Φ(G)∩P≤Φ(G)∩E,由引理8(3)得,F(E/L)=F(E)/L=F/L,又由E的超可解性可得F*(E/L)=F(E/L),所以F*(E/L)=F(E/L)=F*/L. 如果F(E)僅有一個(gè)非循環(huán)Sylow子群P,并且L是P的一個(gè)極大子群,那么由引理6得E/L≤ZU(G/L),即E≤ZUΦ(G),矛盾. 因此E=G. 由文[7]得,G是超可解的,即E≤ZUΦ(G),矛盾.

定理證畢.

推論2設(shè)E是G的可解正規(guī)子群. 如果F(E)的非循環(huán)Sylow子群的極大子群在G中是U-可補(bǔ)的,那么E≤ZUΦ(G).

此外,對(duì)極小子群或4階循環(huán)子群,利用文[7-9]的結(jié)論,也可以得到相應(yīng)的結(jié)果.

推論3設(shè)E是G的正規(guī)子群. 如果E的所有素?cái)?shù)階或4階循環(huán)子群在G中U-可補(bǔ),那么

推論4設(shè)E是G的正規(guī)子群. 如果F*(E)的所有素?cái)?shù)階或4階循環(huán)子群在G中U-可補(bǔ),那么

推論5設(shè)E是G的可解正規(guī)子群. 如果F(E)的所有素?cái)?shù)階或4階循環(huán)子群在G中U-可補(bǔ),那么E≤ZU(G).

* * * * * *

致謝論文從雛形到定稿,繆龍教授都傾注了大量精力,謹(jǐn)致謝意.

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(責(zé)任編輯朱夜明)

The influence of F-supplemented subgroups on

the FΦ-hypercentre of finite groups

GAO Bai-jun1, TANG Ju-ping2

(1. School of Mathematics and Statistics , Yili Normal University, Yining 835000,China;

2. School of Mathematical Sciences , Yangzhou University ,Yangzhou 225002, China)

Abstract:A subgroup H of G is called F-supplemented in G if there exists a subgroup T of G such that G=HT and (H∩T)HG/HG is contained in the F-hypercentre ZF∞(G/HG) of G/HG. In this paper, we investigated the influence of F-supplemented subgroups on the FΦ-hypercentre of finite groups, and generalized some known results.

Key words:F-supplemented subgroups；FΦ-hypercentre; finite groups

中圖分類號(hào)：O152

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1000-2162(2015)04-0020-05

作者簡介：高百俊(1980-),女,河南扶溝人,伊犁師范學(xué)院講師.

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271016);新疆維吾爾自治區(qū)普通高校重點(diǎn)學(xué)科開放課題(2012ZBXK10);江蘇省高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目(CXZZ13-0890)

收稿日期：2014-09-12

doi:10.3969/j.issn.1000-2162.2015.04.005