黃心中, 黃赟

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 福建 泉州 362021)

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某類調(diào)和函數(shù)的單葉半徑和Landau定理

黃心中, 黃赟

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 福建 泉州 362021)

摘要：研究單位圓盤D上解析部分h(z)滿足

關(guān)鍵詞：調(diào)和函數(shù)； 穩(wěn)定近于凸； 單葉半徑； Landau定理

1預(yù)備知識

調(diào)和函數(shù)穩(wěn)定近于凸性質(zhì)和單葉半徑的研究受到許多學(xué)者的關(guān)注,且有不少進(jìn)展[5-7].文中對復(fù)伸張w(z)=zn時，利用解析函數(shù)近于凸判定定理和穩(wěn)定近于凸的充要條件,對f(z)的穩(wěn)定近于凸半徑做出估計(jì);當(dāng)|w(z)|<1時,利用單葉解析函數(shù)的凸半徑估計(jì)，進(jìn)而估計(jì)f(z)的單葉半徑.

Landau定理和Bloch常數(shù)是復(fù)分析理論中的重要課題,近年來人們在函數(shù)類間建立聯(lián)系,試圖利用解析函數(shù)的Landau定理推廣到調(diào)和函數(shù)的情形[8-10].

Chen等[8]利用調(diào)和函數(shù)解析部分的性質(zhì)和Schwarz引理,得到了調(diào)和函數(shù)的Landau定理D.

利用定理B中的系數(shù)估計(jì),給出滿足其條件的函數(shù)類的Landau定理,同時對定理D的證明過程進(jìn)行改進(jìn),得到了更佳的結(jié)果.

2主要結(jié)果及證明

將定理A進(jìn)一步推廣到復(fù)伸張為w(z)=zn的情形,得到定理1.

證明考慮解析函數(shù)F(z)=h(z)-λg(z),其中|λ|=1,那么

其中，θ1<θ2<θ1+2π.

解析部分滿足相同條件的情況下,復(fù)伸張w(z)為n次多項(xiàng)式時,可以由定理2得到調(diào)和函數(shù)f(z)的單葉半徑估計(jì).

則F(w)在h(Dρ)上單葉,又h(z)在Dρ上單葉，所以f(z)在Dρ上單葉.

在定理B中得到了解析部分的系數(shù)估計(jì)表達(dá)式,利用這一表達(dá)式,對該函數(shù)類的Landau定理進(jìn)行描述.

因此,

令z1→?Dtr′,z2→0,有|f(z)|≥(1-tr′)|h(z)|≥(1-tr′)MR′=(1-tr′)Mr′2.

當(dāng)|z′|

因此,

令z1→?Dtr′,z2→0,有

這一結(jié)果改進(jìn)了文獻(xiàn)[8]的定理3.在t=0.7和t=0.5的情況下，單葉區(qū)域在滿足條件的f作用下,覆蓋圓的最大半徑R0的變化,如圖1所示.R0的取值隨著調(diào)和函數(shù)f的解析部分h(z)的一次項(xiàng)系數(shù)α的取值而變化，如圖2所示.

由圖2可知：當(dāng)α=1時,單葉區(qū)域在f作用下的值域覆蓋的圓半徑達(dá)到最大,約為0.106.

圖1　R0隨t變化曲線 圖2　R0隨α變化曲線Fig.1　Curves of R0 with different values of t　　　　　Fig.2　Curves of R0 with different values of α

參考文獻(xiàn)：

[1]BSHOUTYD,LYZZAIKA.Close-to-convexitycriteriaforplanarharmonicmappings[J].ComplexAnalysisandOperatorTheory,2011,5(3):767-774.

[2]MOCANUPT.Injectivityconditionsinthecomplexplane[J].ComplexAnalOperTheory,2011,5(3):759-766.

[3]BSHOUTYD,LYZZAIKA.Problemsandconjecturesinplanarharmonicmappings[J].JAnalysis,2010,18:69-81.

[4]黃赟,黃心中.某些近于凸調(diào)和函數(shù)的解析性質(zhì)和系數(shù)估計(jì)[J].華僑大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015,36(4):478-483.

[5]HERNNDEZR,MARTNMT.Stablegeometricpropertiesofanalyticandharmonicfunctions[J].MathProcCambPhilSoc,2013,155(2):343-359.

[6]石擎天,黃心中.調(diào)和映照與其剪切函數(shù)的單葉性[J].華僑大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013,34(3):334-338.

[7]王其文,黃心中.在微分算子作用下調(diào)和函數(shù)的單葉半徑估計(jì)[J].華僑大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2014,35(2):227-231.

[8]CHENHuaihui,GAUTHIERPM.Thelandautheoremandblochtheoremforplanarharmonicandpluriharmonicmappings[J].ProceedingoftheAmericanMathematicalSociety,2011,139(2):583-595.

[9]李東征，陳行堤.調(diào)和函數(shù)的Landau定理[J].華僑大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2012,33(5):584-289.

[10]李東征，陳行堤.調(diào)和函數(shù)的Bloch定理[J].華僑大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2012,33(1):103-106.

OntheUnivalentRadiusandLandauTheorem

(責(zé)任編輯： 黃曉楠 英文審校： 黃心中)

forSomeHarmonicMappings

HUANGXinzhong,HUANGYun

(SchoolofMathematicalSciences,HuaqiaoUniversity,Quanzhou362021,China)

Keywords：harmonic mapping; stable close-to-convex; univalent radius; Landau theorem

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471128); 福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014J01013)

通信作者：黃心中(1957-)，男，教授，博士，主要從事函數(shù)論的研究.E-mail:huangxz@hqu.edu.cn.

收稿日期：2015-08-23

中圖分類號：O 174.51； O 174.55

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2016.01.0120

文章編號：1000-5013(2016)01-0120-05