上半平面某類調(diào)和擬共形映照的特征估計(jì)

林珍連

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 泉州 362021)

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上半平面某類調(diào)和擬共形映照的特征估計(jì)

林珍連

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 泉州 362021)

摘要：給出以sin πx，0≤k<1為邊界值的上半平面到自身的調(diào)和擬共形延拓表達(dá)式及其特征估計(jì).結(jié)果表明:該調(diào)和擬共形延拓比Beurling-Ahlfors延拓更優(yōu).

關(guān)鍵詞：最大特征; 擬共形延拓; 調(diào)和擬共形映照; Hilbert變換

1預(yù)備知識(shí)

擬共形映射的邊界對(duì)應(yīng)問(wèn)題是擬共形映射理論中十分重要的內(nèi)容，它包括擬共形映照邊界函數(shù)和給定邊界函數(shù)的擬共形延拓問(wèn)題的研究，這些都有利于擬共形映照理論中極值問(wèn)題的研究.

平面區(qū)域Ω到G的可微拓?fù)溆痴說(shuō):(x,y)→(u,v)，其特征D定義為

若D是有界的,則稱f是擬共形的，D的最小上界稱為最大特征[1].

實(shí)軸R到自身一個(gè)連續(xù)的嚴(yán)格遞增函數(shù)h(x),稱為ρ-擬對(duì)稱的,ρ≥1.若對(duì)一切x∈R,t>0，有

記H={z|Imz>0}.Beurling等[1]證明了h(x)具有H到H上的擬共形延拓的充分必要條件，是h(x)為ρ-擬對(duì)稱函數(shù),并建立Beurling-Ahlfors擴(kuò)張函數(shù)為

關(guān)于Beurling-Ahlfors延拓特征估計(jì)問(wèn)題，一直以來(lái)吸引了眾多國(guó)內(nèi)外學(xué)者的眼球[1-2].迄今為止,最大特征D的最好估計(jì)是D≤max{2ρ-1,ρ3/2}[2].

Douady等[3]討論了單位圓到自身的邊界對(duì)應(yīng)問(wèn)題，利用調(diào)和測(cè)度給出延拓表達(dá)式，并且討論了它的特征估計(jì)盡管十分粗糙.Reich[4]用參數(shù)表示法對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了探討，然而，他的特征估計(jì)也不是最佳的.文獻(xiàn)[5-6]分別討論了單位圓及上半平面到自身的調(diào)和擬共形延拓的邊界對(duì)應(yīng)問(wèn)題,給出可延拓成單位圓或上半平面到自身的調(diào)和擬共形的邊界對(duì)應(yīng)所滿足的充要條件，但沒有涉及到特征估計(jì).

定義h(x)∈L∞(R)的Hilbert變換為

式(4)中：

Hh(x)幾乎處處存在，但Hh(x)未必屬于L∞(R)[10-11].

稱h(x)是雙李普希茲的，若h(x)絕對(duì)連續(xù)且有某個(gè)常數(shù)c，使得1/c

文獻(xiàn)[6]證明了h(x)具有H到H上的調(diào)和擬共形延拓的充分必要條件是h(x)是雙李普希茲的，且Hh′(x)∈L∞(R).同時(shí)，還證明了定理A.

據(jù)了解，王寶生1980年就參加了工作，當(dāng)時(shí)才15歲，是個(gè)林二代，現(xiàn)在已經(jīng)在林場(chǎng)工作38年了，2008年王寶生來(lái)到了中軍帳瞭望臺(tái)。回憶起剛來(lái)的時(shí)候，王寶生告訴記者，剛上來(lái)覺得一切都還好，可是在這待了一年之后，這里的環(huán)境真的有點(diǎn)艱苦。

定理A上半平面到自身的任意調(diào)和擬共形延拓具有唯一表示式，即

式(6)中：b+ic∈H；φ是定義在H上的解析函數(shù)，滿足φ(H)是右半平面的相對(duì)緊子集.

由于調(diào)和映照的黎曼映照定理不再成立，使式(6)中f(z)的特征估計(jì)變得困難.本文就具體給定的邊界對(duì)應(yīng)，作出其上半平面到自身的調(diào)和擬共形延拓表達(dá)式，并對(duì)它的特征作出估計(jì).

2主要結(jié)論及其證明

其特征D有估計(jì)式

分別計(jì)算上式兩個(gè)積分，即

因此，Hh′(x)∈L∞(R).

依據(jù)文獻(xiàn)[6]的方法，給出h(x)到上半平面的調(diào)和擬共形延拓的具體表達(dá)式，為此令

設(shè)V(z)為U(z)滿足V(i)=0的共軛調(diào)和函數(shù)，則V(z)=kexp(-πy)sinπx,解析函數(shù)為

顯然,φ(H)是右半平面的相對(duì)緊子集，根據(jù)定理A，有

證明g(x,y)在上半平面是次調(diào)和的.經(jīng)過(guò)計(jì)算，有

因此，有

4kexp(-πy)cosπx+2k2exp(-2πy))>0.

也就是說(shuō)，D+1/D在上半平面H上是次調(diào)和的.因而，它的最大值只能在邊界上達(dá)到.令

求S(x)的最大值.

3結(jié)束語(yǔ)

參考文獻(xiàn)：

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[4]REICH E.A quasiconformal extension using parametric representation[J].Journal d Analyse Mathématique,1990,54(1):246-258.

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[10]GARNETT J B.Bounded analytic function[M].New York:Academic Press,1981:1-406.

[11]林珍連.某些調(diào)和單葉函數(shù)的穩(wěn)定性及系數(shù)估計(jì)[J].華僑大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，30(6)：718-719.

(責(zé)任編輯： 黃曉楠英文審校： 黃心中)

Dilatation Estimate for Some Kinds of Harmonic

Quasiconformal Mappings of the Half Plane Onto Itself

LIN Zhenlian

(School of Mathematical Sciences, Huaqiao University, Quanzhou 362021, China)

Keywords：maximal dilatation; quasiconformal extension; harmonic quasiconformal mapping; Hilbert transformation

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471128); 國(guó)家青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11501220); 福建省自然科學(xué)基金計(jì)劃資助項(xiàng)目(2014J01013)； 華僑大學(xué)中青年教師科研提升資助計(jì)劃(ZQN-YX110)

通信作者：林珍連(1970-)，女，副教授，主要從事函數(shù)論的研究.E-mail:zhenlian@hqu.edu.cn.

收稿日期：2015-08-25

中圖分類號(hào)：O 174.55

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2016.01.0125

文章編號(hào)：1000-5013(2016)01-0125-04