熊高峰，凌　晨

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

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一類張量特征值互補問題的分式規(guī)劃等價形式

熊高峰，凌晨

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

摘要：提出了一類與非線性微分包含問題密切相關(guān)的張量高次特征值互補問題。研究了此類張量高次特征值互補問題與一類齊次多項式分式規(guī)劃的等價關(guān)系，為進一步設(shè)計算法提供了一條有效途徑。在此基礎(chǔ)上，得到了一個關(guān)于張量高次特征值互補問題解的存在性結(jié)果。

關(guān)鍵詞：高階張量；高次特征值互補問題；分式規(guī)劃；穩(wěn)定點

0引言

矩陣特征值互補問題是一類特殊的非線性互補問題，它有廣泛的應(yīng)用背景[1-2]。一類重要形式是矩陣二次特征值互補問題，其特征值滿足具有特殊結(jié)構(gòu)的二次方程[3]。利用此特點，可構(gòu)造出合適的非線性函數(shù)，并在相關(guān)矩陣滿足所謂的co-regular和co-hyperbolic條件下，求解矩陣二次特征值互補問題可被轉(zhuǎn)化成某一變分不等式的求解[3]。張量是矩陣的推廣，一個與此相關(guān)的問題是張量高次特征值互補問題。與矩陣特征值互補問題類似，一類非線性微分包含問題可被等價轉(zhuǎn)化成張量高次特征值互補問題。但由于其特征值高次形式的出現(xiàn)，使得張量高次特征值互補問題的求解成為一個困難問題。本文針對一類張量高次特征值互補問題，研究了相應(yīng)的齊次多項式分式規(guī)劃等價形式，并在此基礎(chǔ)上得到互補問題的一個解的存在性結(jié)果，這為進一步研究相關(guān)數(shù)值算法設(shè)計，提供了一條有效途徑。

1問題描述及相關(guān)預(yù)備知識

本文考慮一類張量特征值互補問題，即求λ∈R和非零向量x=(x1,…,xn)T∈Rn，使得：

(1)

式中,A,B,C∈Sm,n，向量x≥0意指其分量均非負。稱滿足式(1)的(λ,x)為張量m次特征值互補問題的特征對。若取m=2，則上述問題即為矩陣情形的二次特征值互補問題，其等價轉(zhuǎn)化與解的存在性結(jié)果，見文獻[3]。

2主要結(jié)果

(2)

(3)

式(2)中，diag(y)表示以y的分量為主對角元的對角矩陣。

考慮分式規(guī)劃：

(4)

(5)

將式(3)代入式(5)中第二式，得：

(6)

(7)

(8)

所以，有：

(9)

下面研究張量特征值互補問題(1)和分式規(guī)劃(4)的關(guān)系。

(10)

(11)

(12)

另一方面，根據(jù)式(7)和式(10)，知：

(13)

(14)

另一方面，根據(jù)式(3)和式(7)，得：

(15)

張量高次特征值互補問題解(特別是最大互補特征值λ)的計算是一個困難問題?，F(xiàn)在，通過研究與原問題等價的齊次多項式分式規(guī)劃，可為進一步設(shè)計相關(guān)(近似)算法提供一條有效途徑。

眾所周知，在一定條件下，矩陣情形的特征值互補問題和張量情形下的一次特征值互補問題的解均存在[1,2,7]。下面討論張量m次特征值互補問題(1)解的存在性。

定理3設(shè)A,B,C∈Sm,n。若A為嚴格協(xié)正定張量，C=-I,則互補問題(1)的解必存在。

3結(jié)束語

本文研究了張量高次特征值互補問題及相應(yīng)的齊次多項式分式規(guī)劃等價形式。在此基礎(chǔ)上，進一步得到了一個關(guān)于對稱張量m次特征值互補問題解的存在性結(jié)果。針對對稱張量的m次特征值互補問題，利用本文所得的齊次多項式分式規(guī)劃等價形式，可為進一步設(shè)計相關(guān)(近似)數(shù)值算法提供一條有效途徑。一般(非對稱)張量的高次特征值互補問題解的存在性和算法設(shè)計將是今后研究的主要內(nèi)容。

參考文獻

[1]Queiroz M,Júdice J,Humes C.The symmetric eigenvalue complementarity problem[J].Mathematics and Computer Science,2003,73(248):1849-1863.

[2]Júdice J J,Sherali H D,Ribeiro I M.The eigenvalue complementarity problem[J].Computational Optimization and Applications,2007,37(2):139-156.

[3]Fernandes L M,Júdice J,Fukushima M,et al.On the symmetric quadratic eigenvalue complementarity problem[J].Optimization Methods and Software,2014,29(4):751-770.

[4]Chang K C,Pearson K,Zhang T.On eigenvalue problems of real symmetric tensors[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2009,350(1):416-422.

[5]Qi L Q.Eigenvalues of a real supersymmetric tensor[J].Journal of Symbolic Computation,2005，40(6):1302-1324.

[6]Qi L Q.Symmetric nonnegative tensors and copositive tensors[J].Linear Algebra and its Applications,2013,439(1):228-238.

[7]Song Y S,Qi L Q.Eigenvalue analysis of constrained minimization problem for homogeneous polynomial[J].Journal of Global Optimization,published online on 14 August 2015,DOI 10.1007/s10898-015-0343-y.

[8]王宜舉,修乃華.非線性最優(yōu)化理論與方法[M].北京:科學(xué)出版社,2012:127-141.

An Equivalent Fractional Programming Form of a Class of Tensor Eigenvalue Complementarity Problems

Xiong Gaofeng，Ling Chen

(SchoolofScience，HangzhouDianziUniversity，HangzhouZhejiang310018，China)

Abstract：This paper proposes a class of tensor higher-degree eigenvalue complementarity problems，which have closely relationship with a class of nonlinear differential inclusion problems.The equivalent connection between the considered tensor higher-degree eigenvalue complementarity problems and the corresponding homogeneous polynomial fractional programming is studied，which provides an effective method for the design of the related algorithms.Based upon this，a result on existence of solution for tensor eigenvalue complementarity problems is proved.

Key words：higher-order tensor；higher-degree eigenvalue complementarity problem；fractional program；stationary point

中圖分類號：O221.2

文獻標識碼：A

文章編號：1001-9146(2015)06-0075-05

通信作者：

作者簡介：熊高峰(1986-)，女，河南正陽人，在讀研究生，非線性優(yōu)化.凌晨教授，E-mail：macling@hdu.edu.cn.

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11171083，11571087)；浙江省自然科學(xué)基金資助項目(LZ14A010003)

收稿日期：2015-03-27

DOI：10.13954/j.cnki.hdu.2015.06.016