趙緒昌

葉圣陶先生說：“教師之教，不在于全盤講授，而在于相機(jī)引導(dǎo). ”在以學(xué)生發(fā)展為本的課堂里，特別強(qiáng)調(diào)尊重學(xué)生的主體地位和獨(dú)立思考，因而對教師的引導(dǎo)提出了更高的要求. 引導(dǎo)，《現(xiàn)代漢語詞典》中與教學(xué)語境更為貼切的解釋是“指引；誘導(dǎo)”. “引”的含義是指引，指引須是有目標(biāo)、有方向的，但指引可能只是提醒或提示；“導(dǎo)”的含義是誘導(dǎo)，使用一定的教學(xué)方法或手段深化學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考. 教學(xué)中的“引導(dǎo)”，其本意是“以明確的教學(xué)目標(biāo)為指引，通過有效的教學(xué)方法或手段深化理解，激發(fā)思考”. 在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)做到導(dǎo)之有趣，導(dǎo)之有時，導(dǎo)之有法，導(dǎo)之有度，促進(jìn)學(xué)生思維參與，提高課堂教學(xué)效益. 下面舉例說明.

一、導(dǎo)之有趣 使學(xué)生想學(xué)

“導(dǎo)之有趣”是指在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中要構(gòu)建有趣的課堂. 心理學(xué)研究表明：有趣的課堂，往往會給學(xué)生帶來新異、親切的感受，不僅能使學(xué)生迅速地從抑制到興奮，而且還會使學(xué)生把學(xué)習(xí)當(dāng)作一種自我需要，自然地進(jìn)入學(xué)習(xí)新知的情境. 引導(dǎo)關(guān)鍵在于激活學(xué)生的“動情點(diǎn)”，將學(xué)生置于“心求通而未達(dá)，口欲言而不能”的心理狀態(tài). 教學(xué)過程中教師可借助游戲、猜謎、講故事、設(shè)置懸念等形式引導(dǎo)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，變學(xué)生的“要我學(xué)”為“我要學(xué)”.

案例1 “弧度制”的教學(xué)片段

鈴聲一響，全班學(xué)生和聽課的教師正襟而坐，靜靜等待任課教師開始上課. 這時，只見教室門被推開，上課教師手拿一面折扇，不慌不忙地走上講臺，悠然而立，“唰”的一聲打開折扇慢悠悠地?fù)u動起來. 學(xué)生及聽課教師如墜霧里，滿眼詫異：此時天氣正冷，教師這是唱的哪一出戲呢？

正在大家莫名其妙之時，教師將扇子一舉說：“同學(xué)們，請看這是什么圖形??？”學(xué)生大聲回答：“扇形！”教師又問：“你會做扇形嗎？”學(xué)生：“將圓剪出一部分. ”教師又問：“如果要使做出的折扇更好看，應(yīng)該怎么剪呢？”學(xué)生紛紛議論，有的迫不及待地開始動手實(shí)驗(yàn)，有的卻無從下手. 此時教師又說話了：“誰做的扇形好看，我們便把它叫作黃金扇！”聽到此話，有的學(xué)生頓時驚醒：“黃金分割率. ”教師會心一笑：“對，只要讓你剪出的扇形面積和剩余部分的面積比值符合黃金比例即可，那么怎么求出扇形的面積，以及剪出扇形的圓心角應(yīng)該是多少呢？學(xué)完本節(jié)課，希望同學(xué)們能夠輕松地完成該任務(wù). ”

至此，聽課教師才恍然大悟，原來如此！而學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣也被充分調(diào)動起來了，然后便開始了“弧度制”的學(xué)習(xí). 因?yàn)閷W(xué)習(xí)氣氛熱烈，效率大大提高，學(xué)生很輕松地掌握了弧度制的概念、弧長和扇形的面積公式. 離下課還有五分鐘時，教師又提出了新授課前的問題：“哪位同學(xué)能給出黃金扇形的圓心角的求法，請上講臺來展示一下. ”話音未落，一名學(xué)生便走上講臺開始講解：如圖1，假如設(shè)計紙扇的圓心角為θ，則剩余部分的圓心角為2π-θ. 而折扇面積S1與剩余面積S2的比值為黃金比例值0.618.

由扇形面積公式可得==0.618，則θ=0. 618（2π-θ），所以θ≈0.764π≈140°.

即只要紙扇的圓心角大約為140°時，該紙扇符合黃金比例，所以最好看.

【教學(xué)隨想】 本節(jié)課教師以滿腔的熱忱感染著學(xué)生，以高超的教學(xué)藝術(shù)引領(lǐng)著學(xué)生，其獨(dú)特的教學(xué)風(fēng)格和爐火純青的教學(xué)藝術(shù)在本節(jié)課上得到了充分的體現(xiàn)，課堂設(shè)計情境前后照應(yīng)，整堂課精彩紛呈，讓人精神愉悅、回味無窮，學(xué)生分析思路清晰，公式應(yīng)用準(zhǔn)確. 這真是：一把折扇貫始終，角度弧度在其中. 奇思妙想巧點(diǎn)撥，學(xué)以致用標(biāo)達(dá)成. 這樣，通過創(chuàng)設(shè)情境，學(xué)生的興趣被調(diào)動了，學(xué)生的思維也逐步推向深入.

二、導(dǎo)之有時 使學(xué)生能學(xué)

“不憤不啟，不悱不發(fā)”是說教師要在學(xué)生思而未得感到苦惱時幫助開啟；要在學(xué)生思而有所得，但卻不能準(zhǔn)確表達(dá)時予以疏導(dǎo). 課堂教學(xué)中的引導(dǎo)要講究靈活，教師要善于創(chuàng)設(shè)“憤、悱”的情境，要及時抓住新舊知識的連接點(diǎn)的信息作為引導(dǎo)的“話題”，于思維阻礙時啟發(fā)提升、于思維定式時啟發(fā)創(chuàng)新、于偏離目標(biāo)時引導(dǎo)撥正、于動態(tài)生成時因勢利導(dǎo)、于方法多樣時溝通優(yōu)化、于知識整合時引導(dǎo)溝通、于融會貫通時溝通拓展，靈活地組織教學(xué)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動真正是一個生動活潑、主動的和富有個性的過程.

案例2 “拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”中的概念教學(xué)片段

舊教材在橢圓與雙曲線中要學(xué)習(xí)第二定義，我們知道：按第二定義，當(dāng)01時，軌跡是雙曲線；那么e=1時，軌跡又是什么呢？所以拋物線概念的引出不必花太多工夫，可以開門見山地直奔主題. 但是新教材刪除了第二定義，所以引出拋物線的概念就變得相當(dāng)困難，有的教師把握不準(zhǔn)《課程標(biāo)準(zhǔn)》和《學(xué)科指導(dǎo)意見》，就或多或少地增加了第二定義的內(nèi)容，拋物線的教學(xué)仍然與舊教材的教法一樣；有的教師為了能夠上好拋物線，也增加了第二定義的教學(xué). 這種做法“方便”了教學(xué)，卻加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān). 那么到底應(yīng)該怎樣進(jìn)行教學(xué)呢？因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)具備橢圓、雙曲線和初中層面拋物線的知識，我們應(yīng)從學(xué)生已有的知識引導(dǎo)出新概念.

問題1：若點(diǎn)P（x，y）滿足+=6，則點(diǎn)P的軌跡是 .

生1利用平方化簡，但沒有做出來.

師：該同學(xué)利用平方化簡，肯定可以得到答案，只是還需要一些時間，相信他一定能成功！

生2：上面式子表示兩點(diǎn)距離之和，根據(jù)橢圓定義可知，P點(diǎn)軌跡是橢圓.

眾生：是的.

問題2：若點(diǎn)P（x，y）滿足-=6，則P點(diǎn)的軌跡是 .

眾生：雙曲線.

師：是雙曲線嗎？

生3：應(yīng)該是雙曲線的上半支.

由于問題1的解決對問題2有著提示和啟發(fā)作用，所以問題2幾乎所有學(xué)生都不再化簡了，自然地聯(lián)想到利用定義的解法，于是教師順勢拋出問題3.

問題3：若點(diǎn)P（x，y）滿足-|y+2|=0，則P點(diǎn)的軌跡是 .

眾生：從條件的含義看，似乎不是橢圓，也不像雙曲線，不太清楚.

師：到底軌跡是什么？生1解問題1的方法會給我們很好的啟示.

生：因?yàn)樗姆匠淌莥=，它是我們初中已經(jīng)學(xué)過的拋物線.

師：若把條件中的“2”改為其他數(shù)字（非零），結(jié)果如何？

眾生：軌跡仍然是拋物線，只是方程中的數(shù)字不同而已.

師：那么條件所表示的幾何意義又是什么呢？

生4：原方程即=|y+2|，左端表示點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)（0，2）的距離，右端肯定不是兩點(diǎn)的距離，但它是點(diǎn)P（x，y）到直線y=-2的距離，等式表示兩個距離相等.

師：從問題3的分析中我們可以看出，滿足這種條件的軌跡都是拋物線. 于是我們拋棄這些具體的位置和數(shù)據(jù)外殼，得出拋物線的定義. 哪位同學(xué)能根據(jù)上面的等式，說出拋物線的定義？

生5：到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線.

師：不太準(zhǔn)確，應(yīng)該添上“平面內(nèi)”三個 字，完整的定義請同學(xué)們看課本. 我們再用動畫來演示一下這個定義下的軌跡.

【教學(xué)隨想】 案例中，教師從學(xué)生已有知識出發(fā)，由易到難設(shè)計了三個問題，讓學(xué)生在問題解決的過程中對比發(fā)現(xiàn)，逆推出拋物線的定義，再結(jié)合多媒體動畫的演示，給學(xué)生留下了深刻的印象. 事實(shí)上，在探討中也讓學(xué)生領(lǐng)悟了一些解析幾何的思想方法，如根據(jù)定義判斷軌跡、運(yùn)算化簡求軌跡等. 可見，正是這匠心獨(dú)運(yùn)的引導(dǎo)，有效激活了學(xué)生的思維，成就了一段師生、生生之間的思維對話.

三、導(dǎo)之有法 使學(xué)生會學(xué)

“導(dǎo)之有法”是指教師的引導(dǎo)要有方法，通過有效引導(dǎo)使學(xué)生獲得成功. 心理學(xué)家認(rèn)為：成功感是學(xué)生完成某項學(xué)習(xí)任務(wù)后產(chǎn)生的自我滿足和積極而愉快的情緒狀態(tài). 這種成功的喜悅轉(zhuǎn)化為進(jìn)一步學(xué)習(xí)的強(qiáng)大動力，再次激發(fā)學(xué)生的求知欲. “沒有動力不能學(xué)，沒有方法不會學(xué)”. 于教學(xué)重點(diǎn)、教學(xué)難點(diǎn)、提升能力等處引導(dǎo)學(xué)生充分展示學(xué)習(xí)的潛在能力，讓每個學(xué)生享受“成功之樂”，使學(xué)生會學(xué).

案例3 “等比數(shù)列的前n項和”的教學(xué)片段

求等比數(shù)列{an}的前n項和.

Sn=a1+a2+…+an（1）時，設(shè)公比為q，由通項公式，得Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.（2）

待學(xué)生閱讀課本后.

師：課本上是如何求前n項和公式的？同學(xué)們概括一下.

生1：用 q乘（2）式兩邊，與（2）式有很多相同項的等式qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn. （3）

（2）（3）兩式相減就可得到前n項和公式.

師：噢！用q乘（2）式后兩邊產(chǎn)生了與（2）式有很多相同項的（3）式，為何要兩式相減？

生2：因?yàn)閮墒较鄿p可把相同的項消去，達(dá)到化簡的目的.

師：共有多少對相同的項？

生3：噢——共有n-1對.

觀察式（1）（5），都含有n-1對相同的項，因此，可用減法消元：（1）-（5）得（1-q）Sn=a1-anq，即 Sn=（q≠1），得到（4）式.

師：用減法進(jìn)行消元時，你們看看有什么特點(diǎn)，怎樣來概括這種方法？

生7：相同的項在兩個式子中的排列是錯位的，消元做減法，故稱為“錯位相減法”.

師：好的. “錯位相減法”不僅能求等比數(shù)列的前項和，而且，它的思想方法還可以解決其他的問題，請同學(xué)們回想一下，等差數(shù)列的通項公式是如何推導(dǎo)出來的？

生8：是通過觀察、概括的方法得到的，還沒有證明.

師：是的，還需要待以后用數(shù)學(xué)歸納法來嚴(yán)格證明，那么，我們設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，同學(xué)們試一試，可不可以用“錯位相減法”求an？

師：太漂亮了，大家給點(diǎn)掌聲！我們用“錯位相減法”把懸而未證的等差數(shù)列的通項公式給出了證明，使我們應(yīng)用公式更加踏實(shí)！

【教學(xué)隨想】 “等比數(shù)列的前n項和”的教學(xué)，一般來說，教師按照課本的方式，照本宣科，給出推導(dǎo)，至于為什么這樣推導(dǎo)，它的目的是什么，還有沒有其他方式推導(dǎo)，這些推導(dǎo)方式的本質(zhì)是什么部分教師沒有思考，更沒有引導(dǎo)學(xué)生去思考、討論、解答，致使學(xué)生對“等比數(shù)列的前n項和”記住公式直接應(yīng)用，知其然而不知其所以然. 案例中，教師從教材中“求等比數(shù)列的前n項和”的方法出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生探索了“求等比數(shù)列的前n項和”的加減消元法和代入消元法，分析兩種方法的實(shí)質(zhì)是“錯位相減法”，很自然地用“錯位相減法”證明了等差數(shù)列的通項公式. 這樣變換思維角度，打開思維通道，滲透數(shù)學(xué)思想和方法，既使學(xué)生享受了學(xué)習(xí)的快樂，又使學(xué)生掌握了學(xué)習(xí)方法，可謂一舉兩得！

四、導(dǎo)之有度 使學(xué)生多學(xué)

“導(dǎo)之有度”是指教師要把握“導(dǎo)”的程度，凡是學(xué)生自己能夠解決的問題，教師決不替代，學(xué)生自己能夠思考的問題，教師決不暗示，這就需要教師就“該追問則追問，該啟發(fā)則啟發(fā)”的引導(dǎo)藝術(shù)進(jìn)行深入的研究. 課堂教學(xué)中教師掌握了引導(dǎo)的“度”，就能讓學(xué)生有更多的“自主探索”時間，從而使學(xué)生多學(xué).

案例4 設(shè)點(diǎn)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足+2+=0，則△AOB與△AOC的面積之比為 . （答案：1∶2）

批閱作業(yè)時，教師發(fā)現(xiàn)該題的出錯率極高，于是在隨后的課上對該題做了詳細(xì)的講解. 講解完之后，照慣例給了學(xué)生幾分鐘自由討論和訂正整理時間. 一個學(xué)生提出的疑問吸引了所有人的注意.

生1：本題的面積之比和條件“+2+=0”中“”，“”的系數(shù)之比相同，這是巧合，還是必然？

教師一時不知如何回答，便靈機(jī)一動，對該題的條件稍做變化，給出了如下變式.

變式：已知點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，且有+3+=0，則△AOB與△AOC的面積之比為 .

師：到底是巧合，還是必然？請同學(xué)們完成變式題后自己去判斷.

很快，學(xué)生得出答案是1∶3，這和題目條件中“”，“”的系數(shù)之比也完全相同. 規(guī)律再次出現(xiàn)，課堂氣氛悄然升溫，幾乎所有學(xué)生都覺得這其中一定存在相應(yīng)的結(jié)論. 憑直覺，教師也覺得這絕不會是一個巧合，其背后一定隱藏著必然的規(guī)律. 可以肯定地說，學(xué)生的疑問正是一個難能可貴的生成性資源.

師：看來我們今天會有意外的收獲了，請同學(xué)們發(fā)揮想象，對結(jié)論進(jìn)行合理猜想.

教師引導(dǎo)學(xué)生對猜想5進(jìn)行證明是正確的.

【教學(xué)隨想】 案例中，教師沒有對數(shù)學(xué)問題淺嘗輒止，而是通過適時適度引導(dǎo)，從最初學(xué)生的質(zhì)疑，到三個猜想的得出和證明，再到“點(diǎn)O是△ABC外部一點(diǎn)”，最后拓展到更為一般的結(jié)論，不僅學(xué)生的探究能力得到了提高，而且同時學(xué)習(xí)了猜想與歸納、推廣與拓展的方法，幫助學(xué)生形成了“功能良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)”，使學(xué)生達(dá)到“解一題，會一類”的目的，避免了數(shù)學(xué)教學(xué)中的“題?！睉?zhàn)術(shù)，真正達(dá)到了“減負(fù)增效”的效果.

總之，在新課程理念下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)既要注重學(xué)生的自主探索，又要重視教師的有效引導(dǎo)，當(dāng)學(xué)生的自主探索有障礙時，教師就應(yīng)發(fā)揮主導(dǎo)的作用，通過有效引導(dǎo)，降低教學(xué)難點(diǎn)，節(jié)約教學(xué)時間，提高教學(xué)效益，鞏固教學(xué)成果. 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該追求自主探索與有效引導(dǎo)的和諧統(tǒng)一.