非齊次樹上連續(xù)馬氏信源的若干強偏差定理

陳秀引，　王　東，　金少華，　劉偉娜

(1.河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300401；　2.河北工業(yè)大學(xué)廊坊分校，河北廊坊065000)

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非齊次樹上連續(xù)馬氏信源的若干強偏差定理

陳秀引1，王東2，金少華1，劉偉娜1

(1.河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300401；2.河北工業(yè)大學(xué)廊坊分校，河北廊坊065000)

[摘要]通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆秦擏?，將Doob 鞅收斂定理應(yīng)用于幾乎處處收斂的研究,研究給出了一類非齊次樹上r重連續(xù)馬氏信源熵密度的若干強偏差定理.

[關(guān)鍵詞]非齊次樹； 鞅； 馬氏信源； 強偏差定理

1引言

樹指標(biāo)隨機過程已成為近年來發(fā)展起來的概率論的研究方向之一.強偏差定理一直是國際概率論界研究的中心課題之一.文獻[1] 研究給出了Bethe樹上非齊次馬爾科夫隨機場的一類強偏差定理.本文通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆秦擏?，將Doob 鞅收斂定理應(yīng)用于幾乎處處收斂的研究, 研究給出了一類非齊次樹上r重連續(xù)馬氏信源熵密度的若干強偏差定理.

2定義

……………………………

(m-1)={m-1,2m-1,3m-1,…,(n+1)m-1,…}.

當(dāng)n∈(i)時，令Nn+1=αi(αi均為正整數(shù)且不同時為1)，i=0,1,2,…,m-1, 就得到了一類特殊的非齊次樹Tα0,α1,…,αm-1. 以下恒以T表示樹Tα0,α1,…,αm-1.

(1)

(2)

(3)

則

(4)

且上述樹T上的非齊次馬氏信源的聯(lián)合密度函數(shù)為

(5)

(6)

(7)

本文引入如下似然比

(8)

和對數(shù)似然比

φn(ω)=lnZn(ω).

(9)

令

(10)

定義2.2設(shè)λ為一實數(shù)，對任意的

稱

(11)

為函數(shù)-lnfk+r(Xξk,…,Xξk+r)的Laplace變換.

3主要結(jié)果及其證明

(12)

(13)

(14)

證由(6)式，有

(15)

由(12)式、(13)式和(14)式有

(16)

其中

(17)

而

=1.

(18)

從而由(16)式和(18)式，有

(19)

則

(20)

(21)

其中

(22)

(23)

并且

(24)

(25)

(26)

(27)

由上極限的性質(zhì)和(27)式，有

(28)

在(28)中取λ=0,有

φ(ω)≥0,ω∈A(0)∩D.

(29)

(i) 當(dāng)-λ0<λ<0時，將(28)式兩端同除以-λ，有

(30)

由上極限的性質(zhì)及不等式lnx≤x-1(x>0)，有

(32)

(33)

(34)

由(32)式及(34)式，有

(35)

(36)

(37)

(38)

由(37)式，有

(39)

由(38)式和(39)式，有

(40)

(ii) 證明類似于(i)的證明.

[參考文獻]

[1]Yang W G.. A class of deviation theorems for the random fields associated with non-homogeneous Markov chains indexed by a Bethe tree, Stochastic Analysis and Applications, 2012, 30(2):220-237.

A Class of Strong Deviation Theorems of Continuous Markov Information

Source on a Non-homogenous Tree

CHENXiu-yin1,WANGDong2,JINShao-hua1,LIUWei-na1

(1. College of Science, Hebei University of Technology, Tianjin 300401，China;

2. Langfang Branch, Hebei University of Technology, Langfang 065000，China)

Abstract:Through constructing a non-negative martingale and applies Doob's martingale convergence theorem to the research of a.e. convergence, a class of strong deviation theorems of the entropy density of r-ordered continuous Markov information source on a non-homogenous tree are given.

Key words:non-homogeneous tree ; martingale ; Markov information source ; strong deviation theorem

[中圖分類號]O177.91

[文獻標(biāo)識碼]A

[文章編號]1672-1454(2015)05-0001-05

[基金項目]河北省高等學(xué)校科學(xué)技術(shù)研究重點項目(ZD2014051)

[收稿日期]2015-07-19