圍線積分的計(jì)算及巧妙運(yùn)用

滕巖梅

(北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京100190)

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圍線積分的計(jì)算及巧妙運(yùn)用

滕巖梅

(北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京100190)

[摘要]圍線積分的計(jì)算在復(fù)變函數(shù)與積分變換中被廣泛使用，對(duì)后繼課程的學(xué)習(xí)非常重要. 本文將積分計(jì)算中需注意的問(wèn)題和計(jì)算方法詳加總結(jié),并應(yīng)用柯西積分定理解決一些復(fù)雜問(wèn)題.

[關(guān)鍵詞]圍線積分； 單連通區(qū)域柯西積分公式； 柯西積分定理； 高階導(dǎo)數(shù)公式

1引言

圍線積分是復(fù)變函數(shù)與積分變換的主要內(nèi)容之一，其應(yīng)用也非常廣泛，在工程中很多領(lǐng)域都有涉及.首先，闡述圍線積分的幾種計(jì)算方法.

2圍線積分的計(jì)算

首先要注意被積函數(shù)解析性，可分下面幾種情況：

2.1　被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)處處解析，在區(qū)域內(nèi)部及邊界上連續(xù)

解因?yàn)楸环e函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上有兩個(gè)不解析的點(diǎn)，均在積分區(qū)域外部. 由單連通區(qū)域內(nèi)的柯西積分定理，積分值為零.

此積分看起來(lái)似乎可以用參數(shù)方程計(jì)算定積分的方法，但明顯計(jì)算上要復(fù)雜得多.

2.2　被積函數(shù)在積分區(qū)域D內(nèi)有一個(gè)不解析的點(diǎn)，在積分曲線上連續(xù)

此時(shí)可根據(jù)被積函數(shù)的表示形式，用不同的公式運(yùn)算.

求解,其中C為包含z0的任意封閉曲線.

解由重要公式知

求解,其中C為包含z0的任意封閉曲線.

求解,其中C為包含z0的任意封閉曲線.

2.3　被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)有有限個(gè)奇點(diǎn)，在積分內(nèi)部及曲線上連續(xù)

這時(shí)，需要用多連通區(qū)域的柯西積分定理,將沿原曲線積分轉(zhuǎn)化為沿小曲線積分和，每個(gè)小曲線內(nèi)只包含被積函數(shù)的一個(gè)不解析的點(diǎn). 然后用相應(yīng)公式求解.

解分別以0，1為心做互不包含、互不相交的小圓C1,C2，則

2.4　用留數(shù)求圍線積分

當(dāng)被積函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)有有限個(gè)奇點(diǎn)或在積分區(qū)域內(nèi)有有限個(gè)奇點(diǎn)時(shí)，可以用留數(shù)方法計(jì)算圍線積分，圍線積分對(duì)被積函數(shù)的形式?jīng)]有其他要求，因此應(yīng)用相對(duì)廣泛.

上面我們舉的圍線積分的例子，都可以用留數(shù)方法計(jì)算.

此外，對(duì)某些不能用上面方法計(jì)算的圍線積分，只要滿足留數(shù)定理的要求，就可以用留數(shù)方法計(jì)算.

解因?yàn)楸环e函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)0，所以

3巧用柯西積分定理

3.1　簡(jiǎn)化積分計(jì)算

單連通區(qū)域柯西積分定理被稱為單復(fù)變的鑰匙，在理論體系的建立方面其重要性不容忽視.利用這一定理可以引入不定積分,簡(jiǎn)化計(jì)算，此定理的推廣形式：多連通區(qū)域柯西積分定理可以幫助解決更多圍線積分問(wèn)題.

此定理也是計(jì)算復(fù)積分的切實(shí)有效的方法.對(duì)于一些復(fù)雜的復(fù)積分，可以利用單連通區(qū)域的柯西積分定理,將之轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單積分或已知積分進(jìn)行運(yùn)算.

圖1

解由圖1知，直線段L與C構(gòu)成一條閉曲線.因?yàn)?z2+8z+1在全平面上解析，則

即

這樣，把函數(shù)沿曲線C的積分化為沿著直線段L上的積分.由于

解由傅立葉變換的定義，f(t)的傅立葉變換為

則

令z=t+iω，得

這是一個(gè)復(fù)變函數(shù)的積分，取如圖2所示的閉曲線C=C1+C2+C3+C4，有

∫Ce-z2dz=∫C1+C2+C3+C4e-z2dz=0.

因?yàn)楫?dāng)β→+∞時(shí)，有

圖2

同理得∫C2e-z2dz→0. 又由已知條件知,當(dāng)β→+∞時(shí)，

所以

即

3.2　用單連通區(qū)域柯西積分定理求實(shí)積分

定理2設(shè)f(z)在整個(gè)復(fù)平面Z上除有限個(gè)奇點(diǎn)外均解析,且這些奇點(diǎn)不在實(shí)軸上.如果存在一個(gè)常數(shù)M與正數(shù)R以及α>1,使得對(duì)于一切|z|≥R,有

成立,則

其中zk是f(z)上半平面的奇點(diǎn).

證令r>R,考慮曲線Cr=[-r,r]∪Γr,其中Γr為上半圓周，使得f(z)在上半平面內(nèi)的全部奇點(diǎn)都包含在Cr中,于是由留數(shù)定理有

其中zk是f(z)上半平面的奇點(diǎn).

左邊的積分又等于

所以

(1)

對(duì)于上述等式,如果令r→+∞,由于Cr的作法,知Cr內(nèi)部不會(huì)再有增加的奇點(diǎn),所以(1)式右端保持不變.由

|x|≥R時(shí),f(x)在x∈R上可積,所以(1)式左邊的第一個(gè)積分當(dāng)r→+∞是存在的,即

為了證明結(jié)論成立,我們只須證明,當(dāng)r→+∞,(1)式左端第二個(gè)積分趨于零,因?yàn)?/p>

但

所以當(dāng)r→ +∞

3.3　多連通區(qū)域柯西積分定理的應(yīng)用

拉普拉斯逆變換公式為

是一個(gè)復(fù)積分. 通常計(jì)算會(huì)較為困難. 但滿足合適條件時(shí)，可以用留數(shù)方法求解. 而此定理證明用到了多連通區(qū)域柯西積分定理.

此外，工程中常用的z變換，其反z變換實(shí)質(zhì)即為計(jì)算圍線積分[3]. 公式為

解由反z變換的公式以及求圍線積分的留數(shù)定理，有

4結(jié)論

圍線積分在許多學(xué)科分支、應(yīng)用領(lǐng)域都有著廣泛應(yīng)用.而對(duì)于其計(jì)算除了上述方法外，我們還有級(jí)數(shù)法等，在此不一一列舉.

[參考文獻(xiàn)]

[1]高宗升，滕巖梅. 復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].5版.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2010.

[2]Saff E B,Snider A D. Fundamentals of Complex Analysis With Applications to Engineering and Science[M]. Beijing：China Machine Press，2005.

[3]張華林，周小方.“信號(hào)與系統(tǒng)”課程逆z變換的兩個(gè)方法[J]. 漳州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2013(2)：47-49.

Computation of Contour Integeral and Flexible Application

TENGYan-mei

(School of Mathematics and Systems Science, Beihang University, Beijing 100191,China)

Abstract:The calculation of contour integral has been widely used in the complex variable function and the integral transform,and it is important to the subsequent course. In this paper,the problems that we should pay attention in integral calculation and the computational method are summarized. Some complex problems are solved by Cauchy integral theorem.

Key words:contour integral； Cauchy integral figure； Cauchy integral theorem； higher derivative figure

[中圖分類號(hào)]O177.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)05-0066-06

[基金項(xiàng)目]北京航空航天大學(xué)重點(diǎn)教改項(xiàng)目(201413)； 北京航空航天大學(xué)重大教改項(xiàng)目(4303013)

[收稿日期]2015-06-10