橢球面上平面曲線類型的閉測地線

姜　旭,　張　量

(安徽師范大學數(shù)學計算機科學學院，蕪湖241000)

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橢球面上平面曲線類型的閉測地線

姜旭,張量

(安徽師范大學數(shù)學計算機科學學院，蕪湖241000)

[摘要]通過對橢球面上平截線的研究, 找出了橢球面上所有平面曲線類型的閉測地線.

[關(guān)鍵詞]橢球面; 平面曲線; 閉測地線

1引言

測地線是平面上的直線在一般曲面上的推廣, 其物理意義在于光滑曲面上的質(zhì)點(除約束力外,不受其它外力)的運動軌跡即為測地線[1]. 研究曲面上的測地線一直是經(jīng)典微分幾何的一個重要課題.熟知球面上的測地線有且僅有大圓[1], 然而對于橢球面, 情況復雜得多,文獻[2]給出了推導橢球面上測地線微分方程的一種方法.今本文主要討論橢球面上平面曲線類型的測地線, 通過研究橢球面與平面交線的幾何性質(zhì), 找到了橢球面上所有平面曲線類型的閉測地線. 需要說明的是本文關(guān)于某些復雜幾何量的計算中利用了數(shù)學軟件Maple, 這一現(xiàn)代數(shù)學軟件已廣泛地運用于微分幾何的研究中[3]. 此外本文約定三維歐式空間3中總是取直角坐標系Oxyz. 本文獲得的結(jié)果具體如下.

對于旋轉(zhuǎn)橢球面, 其上所有平面曲線類型的閉測地線由下述定理給出.

定理2經(jīng)線和半徑最大的緯圓是旋轉(zhuǎn)橢球面上僅有的兩類平面曲線類型的閉測地線.

2預備知識

這一部分我們回憶三維歐式空間中曲線和曲面微分幾何的一些基本理論.

設α(s)是S上一條以弧長為參數(shù)的曲線, 則α的測地曲率定義為

這里( , , )表示向量的混合積, “·”表示關(guān)于弧長參數(shù)的導數(shù).特別地, 如果α的測地曲率恒為零, 則稱α為S上的一條測地線[4].

設S為3中的正則曲面, r(u,v)為S的一個參數(shù)表示, 則S的單位法向量場n,可如下計算:

(2.1)

其中ru，rv分別為r(u,v)關(guān)于u,v的偏導數(shù).

下面的引理告訴我們?nèi)绻恋膮?shù)不是弧長參數(shù), 仍可通過計算相應的混合積判斷其是否為測地線.

引理2.1設S為3中的正則曲面,n為S的單位法向量場,又設α(t)為S上的一條正則參數(shù)曲線(t未必為弧長參數(shù)), 則α為S的一條測地線當且僅當沿著α有(n,α′,α″)=0.

證設s為α的弧長參數(shù), 直接計算可得

從而

本文主要結(jié)論的證明還需要如下兩個引理.

引理2.2[5]旋轉(zhuǎn)曲面上的經(jīng)線均為測地線, 緯圓為測地線當且僅當其上每點沿經(jīng)線的切線與旋轉(zhuǎn)軸平行.

引理2.3[4](Gauss-Bonnet)設S是具有定向n的正則曲面，Ω是S上的一個正則區(qū)域，邊界?Ω是由有限條互不相交的分段正則簡單閉曲線C1,C2,…,Cn組成，且θ1,θ2,…,θp為C1，C2，…,Cn的所有外角，則

其中s為Ci的弧長參數(shù),κg為邊界了?Ω的測地曲率，K為Ω的Gauss曲率，χ(Ω)為區(qū)域Ω的Euler示性數(shù).

3主要結(jié)論的證明

定理1的證明設α是橢球面S上的平面曲線類型的閉測地線, 首先證明α所在的平面必過3的原點, 即橢球面中心, 否則α所在平面將橢球面分成兩個大小不同的區(qū)域, 取其中較大的區(qū)域, 記為Ω. 熟知橢球面S的全曲率為?SKdA=4π, 即

?ΩKdA+?SΩKdA=4π,

由橢球面的對稱性并注意到Ω為橢球面上的較大區(qū)域,SΩ較小, 因此必有

?ΩKdA>?SΩKdA,

從而

?ΩKdA>2π,

(3.1)

設過原點的平面π的一般方程為Ax+By+Cz=0.[6]橢球面S與平面π交線α的參數(shù)表示為[7]:

α(t)=(a(a1cost+a2sint),b(b1cost+b2sint),c(c1cost+c2sint)).

(3.2)

其中

r1=(a1,b1,c1),r2=(a2,b2,c2)

(3.3)

為齊次線性方程aAx+bBy+cCz=0的兩個單位正交的解向量, 直接計算有

已知橢球面S的參數(shù)表示為

r(u,v)=(asinucosv,bsinusinv,ccosu),

兩邊分別對u，v求導可得

ru=(acosucosv,bcosusinv,-csinu),

rv=(-asinusinv,bsinucosv,0).

根據(jù)(2.1)可得

注意到α(t)為橢球面上的一條曲線, 因此存在函數(shù)u(t)和v(t)滿足

a1cost+a2sint=sinu(t)cosv(t),

b1cost+b2sint=sinu(t)sinv(t),

c1cost+c2sint=cosu(t).

此時沿著平截線α變化的單位法向量可化簡為

根據(jù)引理2.1可知,若曲線α為橢球面S的測地線, 則沿著α有(n,α′,α″)=0.以下利用數(shù)學軟件Maple求解混合積(n,α′,α″). 方便起見, 將該混合積記為KG. 在Maple中運行程序段

>with(LinearAlgebra):

>n:=:

alpha:=:

>alphaa:=map(diff,alpha,t):

>alphaaa:=map(diff,alphaa,t):

>KG:=simplify(DotProduct(CrossProduct(n,alphaa),alphaaa,conjugate=false));

返回結(jié)果

(3.4)

其中

若α為測地線, 則U=0. 其充要條件為

(3.5)

(3.6)

下面分兩種情形討論:

(i) 當A，B不同時為零時, 此時在(3.3)中取

(3.7)

(3.8)

其中P=(a2A2+b2B2+c2C2)(a2A2+b2B2).將(3.7), (3.8)代入(3.5), (3.6), 得到

(3.9)

(3.10)

由于a,b,c兩兩互異且均大于零, 根據(jù)(3.10)知C=0或者

又根據(jù)(3.9)可知A，B有且僅有一個為零, 故A=C=0或B=C=0, 即交線α為橢球面與坐標軸平面xOz,yOz的交線.

(ii) 當A=B=0時, 平面π的一般方程為z=0. 此時橢球面S與平面π交線α的參數(shù)表示為α(t)=(acost,bsint,0). 此時在(3.3)中可取

a1=1,b1=0,c1=0,a2=0,b2=1,c2=0.

(3.11)

將(3.11)代入(3.5), (3.6), 可以發(fā)現(xiàn)兩式恒成立, 因此α即橢球面與xOy平面的交線為橢球面上的測地線.證畢.

對于旋轉(zhuǎn)橢球面, 由引理2.2可知其上所有的經(jīng)線及最大的緯圓必為測地線, 以下可以進一步證明這兩類曲線還是旋轉(zhuǎn)橢球面上僅有的平面曲線類型的閉測地線.

定理2的證明設α是橢球面S上的平面曲線類型的閉測地線, 類似于定理1的證明可知α所在的平面必過3的原點, 即橢球面中心.

Ax+By+Cz=0.

由(3.5),(3.6)可得

又a≠c, 且均大于零, 則

a2b1-a1b2=0,

(3.12)

或

c1=c2=0.

(3.13)

下面將分兩種情形對旋轉(zhuǎn)橢球面上平面型閉測地線進行分析.

(i) 當A，B不同時為零時,c2≠0,則將(3.7),(3.8)代入(3.12),可得

則C=0,此時交線α為橢球面與過z軸的平面的交線, 即經(jīng)線.

(ii) 當A=B=0時, 將(3.11)代入(3.12),(3.13), 可以發(fā)現(xiàn)兩式恒成立.此時交線α為橢球面與坐標軸平面xOy的交線.證畢.

[參考文獻]

[1]孟道驥, 梁科. 微分幾何[M]. 北京: 科學出版社, 2008.

[2]馬力. 簡明微分幾何[M]. 北京: 清華大學出版社, 2004.

[3]John Oprea. Differential geometry and its application[M]. Washington DC: The Mathematical Association of America, 2007.

[4]Do Carmo Manfredo P.Differential Geometry of Curves and Surfaces[M]. Englewood Cliffs NJ: Prentice-Hall, Inc, 1976.

[5]黃保軍. 特殊曲面上測地線的幾何特征[J]. 大學數(shù)學, 2007, 28(4): 6-9.

[6]陳志杰. 高等代數(shù)與解析幾何(下)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.

[7]任行者, 李長文. 用代數(shù)方法確定空間圓的參數(shù)方程[J]. 淮陰師范學院教育科學論壇, 2007, 9(3):67-70.

Planar Closed Geodesics on Ellipsoids

JIANGXu,ZHANGLiang

(School of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000,China)

Abstract:We determine all the planar closed geodesics on ellipsoids by studying the intersections of ellipsoids and planes.

Key words:ellipsoid; plane curve; closed geodesic

[收稿日期]2014-07-19

[中圖分類號]O186.11

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)01-0116-05