有限域上的二次特征與多項式的值集

昝海俠，　曹　煒

(寧波大學(xué)數(shù)學(xué)系，寧波315211)

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有限域上的二次特征與多項式的值集

昝海俠，曹煒

(寧波大學(xué)數(shù)學(xué)系，寧波315211)

[摘要]利用有限域Fq上的二次特征，研究了幾類特殊多項式在q≡±1(mod4)時的值集.

[關(guān)鍵詞]二次剩余； 二次特征； 多項式的值集

1引言

二次非剩余集合為

設(shè)多項式f(x)∈Fq[x]，則f(x)誘導(dǎo)出一個Fq→Fq的映射：xf(x). 像f(Fq)又稱為f(x)的值集；當(dāng)f(Fq)=Fq時，f(x)叫做置換多項式. 值集是有限域的重要研究對象. 本文將利用Fq上的二次特征，結(jié)合孫智宏、郭嵩等人的結(jié)果，研究幾類特殊多項式的值集.

2引理

文獻(xiàn)[2]給出了M(Fq,a,i,j) 的構(gòu)造.

其中

Ms=i:s/2+1≤i≤(2s+q-3)/4{},0≤s<(q-1)/2,MS-(q-1)/2,(q-1)/2≤s

需要指出的是，文獻(xiàn)[2]中關(guān)于M(Fq,a,-1,1)和M(Fq,a,1,-1)的討論并不完整，因為它不僅與l的奇偶性有關(guān)，還與q≡±1(mod4)有關(guān). 但本文更關(guān)心的是M(Fq,a,i,j)的大小，由上述引理及文獻(xiàn)[2]中的方法，可以得到以下結(jié)論:

引理2.3當(dāng)a=±1時，有

(i)|M(Fq,a,1,1)|=(q-3)/4=(q-5)/4,q≡1(mod4),(q-3)/4,q≡3(mod4).{

(ii)|M(Fq,a,-1,-1)|=(q-1)/4=(q-1)/4,q≡1(mod4),(q-3)/4,q≡3(mod4).{

引理2.4當(dāng)a=±1,q≡1(mod4)時，有

|M(Fq,a,-1,1)|=|M(Fq,a,1,-1)|=(q-1)/4.

引理2.5當(dāng)q≡3(mod4)時，有

|M(Fq,-1,-1,1)|=|M(Fq,1,1,-1)|=(q+1)/4,

|M(Fq,-1,1,-1)|=|M(Fq,1,-1,1)|=(q-3)/4.

2主要結(jié)論及其證明

對任意的f(x)∈Fq[x]，定義

特別地，當(dāng)q≡3(mod4)時，定義

定理3.1(i)a∈Qq?a為x(q-3)/2+…+x2+x+1的根，或a=1.

(ii) 若q≡1(mod4)，則a∈Qq?a為x(q-3)/2-1+…+x2+1的根，或a=±1．

定理3.2設(shè)f(x)=x(q-3)/2+…+x2+x+1，則

(i) 當(dāng)q≡1(mod4)時，N(f)中二次剩余和二次非剩余的個數(shù)相等.

(ii) 當(dāng)q≡3(mod4)時，N(f)中二次剩余和二次非剩余的個數(shù)相差1；具體地

因此只須考察集合M(Fq,-1,-1,-1)和M(Fq,-1,-1,1)的大小.

(i) 當(dāng)q≡1(mod4)時，由引理2.3和引理2.4知

|M(Fq,-1,-1,-1)|=|M(Fq,-1,-1,1)|=(q-1)/4.

因此N(f)中二次剩余和二次非剩余的個數(shù)相等.

(ii) 當(dāng)q≡3(mod4)時，由引理2.3和引理2.5知

|M(Fq,-1,-1,-1)|=(q-3)/4,|M(Fq,-1,-1,1)|=(q+1)/4,

推論3.3設(shè)f(x)=1-x+x2-x3+…+(-x)(q-3)/2，則

(i) 當(dāng)q≡1(mod4)時，N(f)中二次剩余和二次非剩余的個數(shù)相等.

|M(Fq,-1,1,-1)|=|M(Fq,-1,1,1)|=(q-3)/4.

[參考文獻(xiàn)]

[1]Sun Z H. Consecutive Numbers with the Same Legendre Symbol [J]. Proc. Amer. Math. Soc. 2002, 130: 2503-2507.

[2]Guo Song. A note on quaduatic character over fininte fields [J]. Nanjing Univ. J. Math. Biquarterly. 2006, 23(1): 114-120.

Quadratic Characters and Value Sets of Polynomials over Finite Fields

ZANHai-xia，CAOwei

(Department of Mathematics，Ningbo University，Ningbo ,Zhejiang 315211,China)

Abstract:Utilizing the quadratic character over the finite field Fq， we study the value sets of polynomials for q≡±1(mod4) respectively.

Key words:quadratic character； quadratic residue； value set of polynomial

[中圖分類號]O156.1

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號]1672-1454(2015)05-0020-03

[基金項目]寧波市自然科學(xué)基金(2014A610017)

[收稿日期]2015-06-09