□李紅云
時(shí)鐘上角度的計(jì)算技巧
□李紅云
如何計(jì)算時(shí)鐘鐘面上時(shí)針和分針之間的夾角,是本章的學(xué)習(xí)難點(diǎn)之一.事實(shí)上,只要同學(xué)們能弄清時(shí)針、分針之間的關(guān)系,問(wèn)題便可迎刃而解.
先看下面一個(gè)表格:
鐘表的表面被均分成12個(gè)大格,60個(gè)小格,在具體問(wèn)題的求解時(shí),可利用表格中時(shí)針、分針每小時(shí)或每分轉(zhuǎn)的角度求出結(jié)果.下面舉例剖析.
例1求下午5時(shí),時(shí)針與分針之間的夾角.
分析:下午5時(shí),時(shí)針指在5上,分針指在12上,于是可求出它們之間的夾角.
解:因?yàn)橄挛?時(shí),時(shí)針指在5上,分針指在12上,所以時(shí)針與分針之間的夾角為5×30°=150°.
方法指導(dǎo):因?yàn)檎c(diǎn)時(shí),分針始終指向12,所以可把分針看作角的始邊,時(shí)針看作角的終邊,時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周需要12個(gè)小時(shí),所以時(shí)針每小時(shí)旋轉(zhuǎn)的角度為360°÷12=30°.由于我們現(xiàn)在研究的角都是小于平角的角,所以在1到6點(diǎn)時(shí),兩針的夾角為30°×n(n=1,2,3,4,5,6);在7到12點(diǎn)時(shí),兩針的夾角為360°-30°×n(n=7,8,9,10,11,12).值得注意的是,鐘面上兩針的夾角有可能會(huì)相等,如3點(diǎn)和9點(diǎn)時(shí)兩針的夾角都是90°,但在不同時(shí)刻.
例2鐘表上2時(shí)46分時(shí),時(shí)針與分針?biāo)纬傻膴A角的度數(shù)是多少?
分析:要求解此問(wèn)題,只要弄清時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)多少度和該時(shí)刻分針的位置,即經(jīng)過(guò)46分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度即可.
解法一:時(shí)針轉(zhuǎn)的角度為30°×2+0.5°×46=83°,分針轉(zhuǎn)的角度為6°×46=276°.此時(shí)的分針與時(shí)針?biāo)纬傻膴A角的度數(shù)是360°-(276°-83°)=167°.
解法二:如上圖,∠BOD=30°× 4=120°,∠COD=6°×4=24°,∠AOB=0.5°×46=23°,∠AOC=∠BOD+∠COD+∠AOB=167°.
方法指導(dǎo):解答此類(lèi)題目,抓住時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°,每分轉(zhuǎn)0.5°,分針每分轉(zhuǎn)6°是求解的關(guān)鍵.
例3若時(shí)針由2點(diǎn)30分走到2點(diǎn)55分,問(wèn)時(shí)針、分針各轉(zhuǎn)過(guò)多少角度?分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)了多少度?
分析:弄清時(shí)針、分針每分鐘各轉(zhuǎn)過(guò)多少度即可求解.
解法一:因?yàn)闀r(shí)針由2點(diǎn)30分走到2點(diǎn)55分,歷經(jīng)了25分鐘,所以分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為6°×(55-30)=6°×25=150°,時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為0.5°×(55-30)=12.5°,分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)的角度為150°-12.5°=137.5°.
解法二:分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)的角度為25×(6°-0.5°)=137.5°.
方法指導(dǎo):通過(guò)對(duì)本題的求解,同學(xué)們可以記住每分鐘分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)了5.5°,必要時(shí)可以利用方程求解此類(lèi)問(wèn)題,有時(shí)會(huì)顯得更加簡(jiǎn)捷.
規(guī)律總結(jié):設(shè)時(shí)刻為m時(shí)n分,分針與時(shí)針?biāo)纬傻膴A角為∠A(0°≤A≤180°),此時(shí),時(shí)針的位置可以看成從12點(diǎn)的位置沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(30m+0.5n)°;分針的位置可以看成從12點(diǎn)的位置沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(6n)°.故∠A的度數(shù)計(jì)算公式為∠A=|30m-5.5n|°或∠A=360°-|30m-5.5n|°.