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讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)回歸自然和理性*——從葉須爾老師的“一次函數(shù)（第一課時）”教學(xué)實錄（片段）說開來

☉安徽省肥西縣金牛學(xué)校劉鈺

2015年5月21日—24日筆者有幸隨合肥市初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)基地的教師培訓(xùn)團隊及合肥市初中數(shù)學(xué)骨干教師們一起赴南通“聆聽大師聲音·感受高效課堂”專題研討活動.全國著名特級教師、享受國務(wù)院特殊津貼專家、江蘇省首批名師李庾南給我們展示的一節(jié)“圓的對稱性”新授課，給我們留下了深刻的印象.整節(jié)課四十五分鐘下來，給人的感覺是舒緩自如，娓娓道來，這和筆者經(jīng)常聽到的令人眼花繚亂的展示課是大相徑庭.筆者時常在回味著這節(jié)課的每一個細(xì)節(jié)，同時也在思考著一個問題：是什么原因使這節(jié)課這樣讓人難以釋懷？直到筆者看到2015年11月下半月的《中學(xué)數(shù)學(xué)》上葉須爾老師寫的《基于過程教育的“一次函數(shù)（第一課時）”課例及說明》一文時，頓覺豁然開朗.似曾相識的感覺油然而生，這樣的數(shù)學(xué)課堂才是我們實際教學(xué)中的課堂：樸實無華、“慢”中求“真”、“淡”中見“實”，就像蘇霍姆林斯基筆下被微微打開的一扇窗，學(xué)生能望見一望無際的知識原野，也是徐志摩筆下的“長篙”，能讓學(xué)生自覺地順著師者的“問題串”向青草更深處慢溯.這樣的課堂才算“回歸”到我們的身邊.

下面筆者就把葉老師的教學(xué)實錄摘抄下來，限于篇幅，只摘錄教學(xué)環(huán)節(jié)1、2兩部分片段中教師的“問題串”（環(huán)節(jié)3、4略）與讀者共享.

一、課堂教學(xué)實錄——“問題串”（部分）

環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷并感悟一次函數(shù)產(chǎn)生的過程——明確研究的問題

我們知道，許多實際問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，用函數(shù)問題解決實際問題的過程與用方程解決問題的過程類似.現(xiàn)在我們一起解決下列問題.

問題1：某種儲蓄的月利率是0.16%.某人存入1000元本金，若設(shè)所存的月數(shù)為t（月），本息和為m（元），問：當(dāng)t=10時，m=？

（1）在這個問題中，哪些是常量？哪些是變量？

（2）不錯，m關(guān)于t的函數(shù)的解析式是什么？

（3）好的.當(dāng)t=10時，m=？其實際意義是什么？

（4）好的.獲得這個解析式經(jīng)歷了哪幾個步驟？

（5）不錯.函數(shù)m=1.6t+1000有何特點？

（6）好的.其實，這種特殊的函數(shù)有著豐富的情景，例如“y=40x、y=6x、y=16-x、Q=-312t+936”等，都是從生活問題中抽象出來的.

（7）既然這類函數(shù)具有豐富的現(xiàn)實情景，就有研究這類函數(shù)的必要.這類函數(shù)有何特征？有何性質(zhì)？本節(jié)就來研究這些問題.（揭示課題）

環(huán)節(jié)2：參與定義一次函數(shù)的活動——形成一次函數(shù)的概念

問題2：函數(shù)“y=40x、y=6x、y=16-x、Q=-312t+936”有何特征？

（1）不錯.你是從變量的個數(shù)角度來歸納.

（2）好的.你是從表示變量的字母的最高次數(shù)角度來歸納.

（3）不錯.代數(shù)式的類型角度來歸納.

（4）有道理.你是用方程概念來歸納

（5）非常好.你有較強的符號表示意識.

（6）盡管這類函數(shù)有多種特征，但是其本質(zhì)特征是它們都可以表示為y=kx+b（k、b都是常數(shù)，且k≠0）的形式.

（7）由于這類函數(shù)以后會經(jīng)常用到，所以我們要給它一個名稱：形如y=kx+b（k、b都是常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)叫一次函數(shù)，當(dāng)k=0時，一次函數(shù)y=kx+b就成為y=kx（k是常數(shù)，且k≠0），叫作正比例函數(shù)，常數(shù)k叫作比例系數(shù).

（8）在下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？若是一次函數(shù)或正比例函數(shù)，則其系數(shù)k和常數(shù)項b的值各是多少？

（9）好的.獲得一次函數(shù)的概念經(jīng)歷了哪幾個步驟？

（10）很好，在這個過程中體現(xiàn)了抽象思想、歸納思想、符號表示思想等.

（11）一次函數(shù)與二元一次方程有何區(qū)別與聯(lián)系？（12）非常好，它們都是描述現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.

環(huán)節(jié)3：參與嘗試概念運用的活動——合作解答有代表性的問題

（1）現(xiàn)在大家合作解答下列問題……

環(huán)節(jié)4：參與回顧與思考的活動——合作進(jìn)行反思與總結(jié)

我們知道，許多實際問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，用函數(shù)問題解決實際問題的過程與用方程解決問題的過程類似.現(xiàn)在我們一起解決下列問題.……

二、對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)回歸的三點思考

1.平平淡淡才是“真”——上務(wù)實課

眾所周知，作為一線教師的我們，一直以來仍然以教師講授和引導(dǎo)為主，學(xué)生的思維更多的是在師生的一問一答中展開，上文中的葉老師從環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷并感悟一次函數(shù)產(chǎn)生的過程，到環(huán)節(jié)2：參與定義一次函數(shù)的活動，再到環(huán)節(jié)3：參與嘗試概念運用的活動，既沒有高深別致的題型，也沒有跌沓起伏的情節(jié)，更沒有熱鬧非凡的場面，整個教學(xué)過程看似是平淡無奇.但當(dāng)你細(xì)細(xì)品味一下葉老師對于每一個知識點在教學(xué)中的問題設(shè)計時，就會發(fā)現(xiàn)授課者都在想方設(shè)法盡量由學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、猜想、推理而得到相關(guān)的結(jié)論，這種探究式的教學(xué)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷知識形成的過程，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生展開思維活動.大家都知道這樣一個案例：一位教師在講授“三角形內(nèi)角和等于180度”時，為了追求所謂的新課改精神，而發(fā)動學(xué)生去一個角一個角地去度量，其結(jié)果是有的學(xué)生量出的三個內(nèi)角和卻不等于180度，這也可以理解，因為度量是有誤差存在的.課堂的氣氛倒是活躍了，但其學(xué)習(xí)效果是適得其反.作為授課者要知道這樣一個事實：學(xué)生已經(jīng)知道了定理的內(nèi)容，然而，那是在小學(xué)階段粗糙地直觀得出的，還沒有經(jīng)過嚴(yán)格的證明，本節(jié)課正是要從實驗到論證、從感性到理性、從直觀到抽象的飛躍，因而啟發(fā)的重點應(yīng)是“如何找出證明”？所以沒有必要搞得那么轟轟烈烈，課本中給出的“拼接法”，其實小學(xué)階段也講過了，現(xiàn)在我們只需讓學(xué)生重做一下這個實驗，設(shè)計這樣一個“追問”：當(dāng)時你們就沒有懷疑三個角能拼成的一定是平角嗎？從實驗到追問，可以說是平淡無奇，但對于本節(jié)課的后繼教學(xué)卻是至關(guān)重要的，因為這個實驗對于一個八年級的學(xué)生來說已經(jīng)間隔了好幾年，不排除有一部分學(xué)生已經(jīng)忘了，同時這個實驗中角的轉(zhuǎn)移卻蘊含著用作輔助線——平行線的方法來證明該定理的解題思路.正如數(shù)學(xué)家波利亞所說：“當(dāng)你找到了第一棵蘑菇后，再四處看看，它們總是成群生長的.”我們就要抓住這個實驗作為知識的生長點，引領(lǐng)學(xué)生思考，將學(xué)生的思維拓展開來，從而轉(zhuǎn)入對定理的證明.我們平時的課堂教學(xué)就是這樣，平平淡淡卻又實實在在，這樣的課堂教學(xué)讓人感覺真實、質(zhì)樸、理性而有實效.

2.細(xì)雨潤物才能“醒”——在“慢”教學(xué)中讓學(xué)生去領(lǐng)悟

當(dāng)下，以“大容量、快節(jié)奏、高密度”為特征的“高效課堂”模式盛行，對課堂教學(xué)效益的片面追求，不僅會加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，而且會使得教育失去了春風(fēng)化雨、無聲潤物的本來面目；日本知名教育學(xué)者佐藤學(xué)曾指出：“教育，需要在緩慢的過程中沉淀一些東西”，在課堂上的慢，是為了把發(fā)現(xiàn)的機會、鍛煉的機會讓給學(xué)生，讓學(xué)生有機會展現(xiàn)自我，有足夠的時空去慢慢消化積累，益于學(xué)生實現(xiàn)知識的有效內(nèi)化，是一種綠色的質(zhì)量追求.葉老師對于問題1的處理，可謂是下足了功夫：引導(dǎo)學(xué)生從審題開始——指出問題中的常量與變量；分析問題中的相關(guān)代數(shù)式表示的實際意義；列出函數(shù)解析式m=1.6t+1000；至此本節(jié)課要研究的課題——一次函數(shù)才初露端倪.這時葉老師就從函數(shù)解析式“m=1.6t+ 1000”，以及“y=40x、y=6x、y=16-x、Q=-312t+936”的特征入手，要求學(xué)生進(jìn)行歸納，這時我們發(fā)現(xiàn)：有的學(xué)生是“從變量的個數(shù)角度來歸”——有兩個變量；有的“從表示變量的字母的最高次數(shù)角度來歸納”——表示變量的字母的最高指數(shù)都是1次；有的是從“代數(shù)式的類型角度來歸納”——右邊的代數(shù)式是整式；有的是“用方程概念來歸”——它們都是方程.在引導(dǎo)學(xué)生給“一次函數(shù)”定義完后，葉老師除進(jìn)行及時鞏固及總結(jié)外，話鋒一轉(zhuǎn)提出了這樣一個問題“一次函數(shù)與二元一次方程有何區(qū)別與聯(lián)系？”不要小看這個問題的提出與解決，因為至此，我們才能說“一次函數(shù)”的概念教學(xué)第一階段才算完整（后面是應(yīng)用環(huán)節(jié)），因為筆者認(rèn)為：函數(shù)的概念教學(xué)必須從“兩個維度”去把握，即對概念理解的“深度”和理解的“寬度”，其中對概念的理解深度是指對概念本質(zhì)的理解；理解的寬度則是指對與概念相關(guān)的知識和性質(zhì)的理解，以及和之前學(xué)過的有聯(lián)系的知識的理解，從而將概念放在該知識體系的發(fā)展脈絡(luò)和整體架構(gòu)中去理解、去把握.葉老師不正是這樣做的嗎？

所以我們說要充分把握所授知識點的豐富思維內(nèi)涵，放慢教學(xué)的節(jié)奏，放慢思維的步伐，在“承前啟后，激發(fā)內(nèi)需，抓好起點，步步逼近”的“慢”等中，通過推出不同的問題，對不同層次的學(xué)生加以引導(dǎo)，教會他們?nèi)绾翁剿鳎探o他們必要的思維策略，這種春風(fēng)化雨、潤物無聲的引導(dǎo)方式，通過加以時日的訓(xùn)練，一定能使學(xué)生能夠自己引導(dǎo)自己獨立進(jìn)行問題的探究，學(xué)會思考問題及解決問題的方法.

3.曲徑通幽才算“本”——數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的數(shù)學(xué)探究活動是促使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識形成與掌握之根本所在

現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理論認(rèn)為：數(shù)學(xué)是一種活動，是人類運用數(shù)學(xué)的思想與方法，觀察、解決現(xiàn)實世界中的問題或?qū)σ延械臄?shù)學(xué)結(jié)論不斷抽象、概括形成新的結(jié)論和新的運用的探究活動.人類學(xué)和心理學(xué)研究表明：在人類的心靈深處，有多種根深蒂固的需要，那就是探究的需要、獲得認(rèn)可與欣賞的需要等，因此課堂教學(xué)中組織的各種形式的探究活動，有利于學(xué)生從事觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流活動，有利于學(xué)生問題提出過程中形成創(chuàng)新意識.當(dāng)然教學(xué)中的探究活動經(jīng)常不是一次完成的，而是以“探究—交流—統(tǒng)一思想—繼續(xù)探究”形式多次完成，學(xué)生與學(xué)生群體間的表達(dá)交流，將會有效地使思維開闊，促進(jìn)探究的深入.在此，教師的作用只是組織、指導(dǎo)、引領(lǐng)、監(jiān)控、適當(dāng)?shù)狞c撥與及時的“推波助瀾”活動.葉老師能立足于學(xué)生發(fā)展的角度，讓學(xué)生全方位地去體驗課堂，體驗發(fā)現(xiàn)問題、探索問題的過程.如學(xué)生對一組函數(shù)解析式特征從不同角度的總結(jié)，以及后面的環(huán)節(jié)3：參與嘗試概念運用的活動——合作解答有代表性的問題；環(huán)節(jié)4：參與回顧與思考的活動——合作進(jìn)行反思與總結(jié)等.縱觀這節(jié)課，學(xué)生從一次函數(shù)概念的發(fā)現(xiàn)、形成和發(fā)展過程，體驗到了探索的艱辛，到最后運用所學(xué)的一次函數(shù)知識來解決實際問題，又體驗到了成功的喜悅.在日常教學(xué)中，這樣的實例實在太多了，如負(fù)數(shù)的引入，可以引導(dǎo)學(xué)生從生活實際需要去探究；絕對值的幾何意義，學(xué)生可以借助數(shù)軸探究；整式的乘法法則，學(xué)生可以通過積極的拼圖活動去探究；函數(shù)的圖像，可以引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實生活中熟知的圖表為入手點來探究……再比如，在“一次函數(shù)圖像”教學(xué)中，我們還可以這樣設(shè)計：（1）猜想：一次函數(shù)圖像會是什么形狀？（2）驗證：在同一個平面直角坐標(biāo)系中畫出一個一次函數(shù)（學(xué)生自己選擇一個）的圖像.（3）結(jié)論：y=kx+b（k≠0）的圖像是一條直線.（4）深入思考：既然一次函數(shù)的圖像是一條直線，那么一般情況下，畫一次函數(shù)的圖像時，取幾個點？通常取什么樣的點？舉例說明.（5）進(jìn)一步觀察各組函數(shù)圖像分別有什么特點？能否從這些圖像中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律？……一連串的問題始終充滿了實驗、猜想、驗證、對比、推理與交流等豐富多彩的數(shù)學(xué)探究活動，使得數(shù)學(xué)課堂因探究而充滿活力.

三、結(jié)束語

總之，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)既是一門科學(xué)、又是一門藝術(shù).作為一門科學(xué)，它就有一定的規(guī)律可循，有一個評價標(biāo)準(zhǔn)；而作為一門藝術(shù)，貴在創(chuàng)新，就不應(yīng)該有唯一的評價標(biāo)準(zhǔn).無論如何，數(shù)學(xué)課堂也應(yīng)該崇尚那種行云流水般的自然流暢而非任何流于形式的“作秀”；應(yīng)該給予學(xué)生自由純真的探索空間而非人為的非自然的設(shè)置；應(yīng)該還給數(shù)學(xué)以其理性自然的真面目而非過于矯情的人文滲透；更應(yīng)該關(guān)注數(shù)學(xué)課堂中的“小主人”們的實際學(xué)習(xí)狀況而非陶醉在教者自己設(shè)計的世界里.孟子曰：教亦多術(shù)也；我們的改革先驅(qū)鄧公不也說過：不管它是白貓還是黑貓，只要抓到老鼠就是好貓.教學(xué)有法，但無定法.我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該是在“平淡中求實”、“潤物中求慢”、“曲徑中求通”和“以學(xué)生為本”、“人文關(guān)懷”中追尋，讓我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)回歸理性、回歸自然吧.

1.呂學(xué)江.走進(jìn)名師課堂［C］.濟南：山東人民出版社，2011.

2.葉須爾.基于過程教育的“一次函數(shù)（第一課時）”課例及說明［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（11）.

3.潘海平.淺談主動建構(gòu)理論下的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（10）.

4.劉鈺，張德柱.也談新課改中的誤區(qū)：忽視或弱化概念教學(xué)［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（中），2015（3）.

5.石生民.初中數(shù)學(xué)課例點評［C］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

6.崔春近.做好知識“嫁接”慢等思維花開［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（1-2）.

7.裴光亞.數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展：在書房與教室間穿行的教研人生［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2013.

8.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

*本文系安徽省合肥市2015年度教育科學(xué)規(guī)劃課題《初中函數(shù)數(shù)學(xué)現(xiàn)狀分析及難點突破的行動研究》（課題編號：HJG15186）的階段性研究成果.課題承擔(dān)人：劉鈺，衛(wèi)德彬.