☉重慶市大渡口區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校　廖帝學(xué)

☉重慶市第九十五初級(jí)中學(xué)校周曉東

立足學(xué)情注重關(guān)聯(lián)引領(lǐng)教學(xué)——從一道閱讀理解試題的編擬談起

☉重慶市大渡口區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校廖帝學(xué)

☉重慶市第九十五初級(jí)中學(xué)校周曉東

一、緣起

例1（2015年重慶市中考數(shù)學(xué)試題第23題）如果把一個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個(gè)位依次排出一串?dāng)?shù)字，與從個(gè)位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字完全相同，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做“和諧數(shù)”.例如：自然數(shù)64746從最高位到個(gè)位排出的一串?dāng)?shù)字是：6、4、7、4、6，從個(gè)位到最高位排出的一串?dāng)?shù)字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和諧數(shù)”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和諧數(shù)”.

（1）請(qǐng)你直接寫出3個(gè)四位“和諧數(shù)”，猜想任意一個(gè)四位“和諧數(shù)”能否被11整除，并說明理由；

（2）已知一個(gè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”，設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為x（1≤x≤4，x為自然數(shù)），十位上的數(shù)字為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

這是重慶市自直轄近二十年以來第一次在中考試題中出現(xiàn)閱讀理解型試題.由于此題涉及了數(shù)的整除——判斷一個(gè)數(shù)能否被11整除，很多學(xué)生對(duì)此很不適應(yīng)，所以此題得分率偏低.一些教師認(rèn)為命題者命制此題失之偏頗，因?yàn)槌踔袛?shù)學(xué)教材對(duì)這部分內(nèi)容很少或幾乎沒有涉及.其實(shí)，細(xì)究此題，命題者通過“閱讀”“理解”來考查“數(shù)、式、函數(shù)”等知識(shí)點(diǎn)，并無不妥.正是基于此，在2016年的一次區(qū)級(jí)中考模擬試題的命制過程中，我們?cè)僖淮螄L試命制了一道有關(guān)“數(shù)和式”的閱讀理解型試題.

二、一道閱讀理解試題的編擬過程

1.尋找素材

綜觀全國各地有關(guān)“數(shù)和式”的閱讀理解型試題，在命題立意、命制方法確實(shí)有很多值得學(xué)習(xí)與借鑒的地方.好的閱讀理解型試題，應(yīng)該基于學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)起點(diǎn)，供給學(xué)生“閱讀”和“理解”的材料和問題應(yīng)該與教材有“關(guān)聯(lián)性”.我們不提倡將高中的一些知識(shí)以“新定義”“新概念”的形式出現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)試卷上.

例2定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于-1，記為i2=-1，這個(gè)數(shù)i叫作虛數(shù)單位.那么和我們所學(xué)的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來就叫作復(fù)數(shù)，表示為a+bi（a，b為實(shí)數(shù)），a叫作這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫作這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加、減、乘法運(yùn)算與整式的加、減、乘法運(yùn)算類似.例如計(jì)算：（5+i）×（3-4i）=19-17i.

（1）填空：i3=______，i4=______.

（2）計(jì)算：（3+i）2.

估計(jì)有的老師會(huì)說，這樣的題目只要學(xué)生按“新定義”中所述法則操作即可，考查的仍是“數(shù)和式的計(jì)算”，有利于提高學(xué)生的“創(chuàng)新能力”.是的，估計(jì)學(xué)生根據(jù)理解確實(shí)能得出命題者所給正確結(jié)果.但是，做完這道題后會(huì)給學(xué)生留下什么呢？“如果一個(gè)數(shù)的平方等于-1，記為i2=-1”，單就這句話，估計(jì)就會(huì)讓很多學(xué)生產(chǎn)生疑問，因?yàn)樵谌甑某踔袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生知道的是“任何實(shí)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)”.現(xiàn)在突然出現(xiàn)“一個(gè)數(shù)的平方等于-1”，這完全超乎出學(xué)生的現(xiàn)有知識(shí)體系.這樣的題目并沒有指向教學(xué)，與初中數(shù)學(xué)的“關(guān)聯(lián)性”不大，不具有“生長性”，一定程度上不利于初中數(shù)學(xué)教學(xué).所以，命題時(shí)我們一直堅(jiān)持把素材確定在數(shù)和式的計(jì)算、整式的恒等變形等方面，重點(diǎn)體現(xiàn)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)方法的考查.我們決定對(duì)一道成題進(jìn)行改編.

例3若一個(gè)整數(shù)能夠表示成x2+2xy+2y2的形式，則稱該數(shù)為“好數(shù)”.

（1）判斷29是否為好數(shù)；

（2）寫出80，81，…，100中的好數(shù)；

（3）如果數(shù)m、n都是“好數(shù)”，試說明mn也是“好數(shù)”.

此題是多年前的一道競(jìng)賽題，要解答此題，需將x2+2xy+2y2變形為（x+y）2+y2，這里可以考查學(xué)生對(duì)完全平方公式、配方法的掌握情況.但就當(dāng)前初中數(shù)學(xué)的教學(xué)情況來看，因式分解中關(guān)于分組分解、拆項(xiàng)、添項(xiàng)的教學(xué)要求不高，學(xué)生解答此題難度大.我們認(rèn)為，這恰好為“閱讀理解”的編擬提供了用武之地.

2.改編定型

命題的目的不是把學(xué)生“難倒”，命題是為了有效地進(jìn)行教學(xué)評(píng)價(jià)，不是命題者與解題者的思維博弈.所以在對(duì)例3這道成題進(jìn)行改編時(shí)，考慮到很多學(xué)生不易想到將x2+2xy+2y2變形為（x+y）2+y2，我們把思維逐步“退后”，力爭“退”到讓學(xué)生通過“閱讀”后能夠真正“理解”.

例4若一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a，b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”.例如，5是“完美數(shù)”，因?yàn)?= 22+12.再如，M=x2+2xy+2y2=（x+y）2+y2（x，y是整數(shù)），所以M也是“完美數(shù)”.

（1）請(qǐng)你再寫一個(gè)小于10的“完美數(shù)”.

（2）判斷29是否為“完美數(shù)”.

（3）已知S=x2+4y2+4x-12y+k（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的k值，并說明理由.

（4）如果數(shù)m、n都是“完美數(shù)”，試說明mn也是“完美數(shù)”.

為了能夠讓不同層次的學(xué)生在此題上都有收獲，設(shè)計(jì)了四個(gè)由易到難的具有一定層次性的問題.第（1）、（2）問簡單地考查了學(xué)生對(duì)“完美數(shù)”的理解和領(lǐng)悟.第（3）問則需將式S通過配方變形為兩式的平方和形式.第（3）問和第（4）問是遞進(jìn)關(guān)系，第（3）問的正確解答為第（4）問做了較好的鋪墊.第（3）問中，根據(jù)題意，S=（x+2）2+（2y-3）2，k可取13.第（4）問中，設(shè)m=a2+b2，n=c2+d2（a，b，c，d都是整數(shù)），則mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2= a2c2+2abcd+b2d2+b2c2-2abcd+a2d2=（ac+bd）2+（bc-ad）2，mn也是“完美數(shù)”.

經(jīng)過改編后的題目背景對(duì)學(xué)生來說并不陌生，考查的知識(shí)點(diǎn)也是學(xué)生常見的，借“完美數(shù)”這一載體完成了對(duì)“數(shù)與式”的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)的考查，改編后的題無疑是較為成功的.

3.測(cè)試反饋

閱讀能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必備的一個(gè)重要能力之一.學(xué)生需在閱讀中掌握概念，在閱讀中體會(huì)定理內(nèi)涵，在閱讀中理解題意.提高學(xué)生的閱讀能力是數(shù)學(xué)教師教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn).閱讀理解型試題能夠很好地對(duì)學(xué)生的閱讀能力進(jìn)行評(píng)價(jià).例4的解答情況不很理想，此題滿分10分，全區(qū)約3000人參加考試，平均分3.6分，得分率36%，滿分率1.8%，零分率16.5%，難度為0.36.反映出來的問題有：對(duì)“小于10的完美數(shù)”，審題不仔細(xì)，寫出的數(shù)超過10；29是完美數(shù)，沒有說明理由；對(duì)式S進(jìn)行變形時(shí)沒注意“恒等”；“配方法”掌握不好；符號(hào)出錯(cuò)；（4y2-12y+9）-9中的“-9”易錯(cuò)；對(duì)（a2b2+c2d2）+（a2c2+b2d2）的配方，很多學(xué)生束手無策.

此題應(yīng)該說是“生長”于教材，難度按理說不算大.學(xué)生“閱讀”困難的很重要的原因是：此題的敘述方式、文字呈現(xiàn)方式和學(xué)生平時(shí)遇到的題目差異大，和學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣有差距，學(xué)生需花很多的時(shí)間和精力來閱讀理解.對(duì)第（4）問的拆項(xiàng)、添項(xiàng)部分新課標(biāo)教材沒要求，閱讀材料中并沒有拆項(xiàng)、添項(xiàng)一起進(jìn)行的示范，學(xué)生也沒這方面的意識(shí)，這導(dǎo)致解答困難.

三、教學(xué)啟思

1.試題的編擬要“立足學(xué)情”

試題是為學(xué)生而編擬的，所以在編擬試題時(shí)一定要立足于學(xué)情.要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣、考試心理.數(shù)學(xué)試題的風(fēng)格、呈現(xiàn)方式要與學(xué)生平時(shí)所接觸教材的方式一致.在閱讀理解型試題中，仍然要盡量避免用一些深?yuàn)W、晦澀、難懂的符號(hào)讓學(xué)生去“理解”，增大學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，直至影響學(xué)生解答其他題目.

2.試題的編擬要“注重關(guān)聯(lián)”

對(duì)于數(shù)學(xué)“關(guān)聯(lián)性”的認(rèn)識(shí)，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）中關(guān)于“課程目標(biāo)”下的第2點(diǎn)就指出：“體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系……”要命好試題，對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)與其他知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)要熟知，對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)所形成的知識(shí)鏈必須知曉.只有這樣教師的命題才會(huì)有“高觀點(diǎn)”“高立意”.

3.試題的編擬要“引導(dǎo)教學(xué)”

好的模擬試題，不僅有診斷、激勵(lì)的功能，更有對(duì)教師的“教”、學(xué)生的“學(xué)”能起到較好的導(dǎo)向、引領(lǐng)作用.“研題”是提高數(shù)學(xué)教師專業(yè)素養(yǎng)的重要途徑.“研題”，除了要研究題目的解法，更要研究試題的命制及其教學(xué)意義，進(jìn)而讓試題成為教學(xué)的重要資源，價(jià)值得到最大限度的發(fā)揮.

1.王道勇.讀出“新概念型”閱讀理解題的“種”和“類征”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（11）.

2.朱國桅.把握例題精髓彰顯示范功能［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（3）.

3.朱記松，等.命題要謹(jǐn)慎用題需質(zhì)疑——對(duì)一道中考模擬題的解答思考［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中），2016（3）.