☉江蘇省如皋市第一中學(xué)　田利劍

反思數(shù)學(xué)解題的偶然性提高學(xué)生思維的內(nèi)升力

☉江蘇省如皋市第一中學(xué)田利劍

恩格斯指出：“人類對于事物的研究都是從表面開始的，從大量的表象研究中尋找規(guī)律，得到結(jié)論，偶然性和必然性在事物發(fā)展中形成相互交替的前行.”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)初期，學(xué)生對于問題的解決充滿了偶然性，通過大量教學(xué)引導(dǎo)和訓(xùn)練，學(xué)生的這種偶然性漸漸向必然性轉(zhuǎn)變和過渡，我們可以認(rèn)為是其學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累和學(xué)習(xí)能力的提高得到的一種“質(zhì)變”.

數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，從解題效果來看，我們發(fā)現(xiàn)沒有思考的解題往往是就題論題.筆者遇到過這樣的問題：對于類似的問題，學(xué)生這次解錯，下次又是在同一個地方解錯.例如，已知一次函數(shù)f（x）=ax+ b，當(dāng)1≤f（1）≤2，2≤f（-1）≤4，求f（2）的取值范圍.筆者相信很多學(xué)生在初學(xué)不等式或線性規(guī)劃問題中，都很難正確解決上述問題.哪怕是第一次偶然做對的學(xué)生，第二次卻又做錯了！問題在哪？在于其對于錯誤的問題缺乏必要的反思，對正確的解法也沒有合理的思考.在心理學(xué)研究中，將這種偶然性的解決稱之為“下意識”思考，教師要引導(dǎo)的正是將這種合理的“下意識”思考轉(zhuǎn)換為必然性的東西，進(jìn)而優(yōu)化學(xué)生的思維，提高其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力.

一、反思解題方法的偶然性，優(yōu)化學(xué)生思維的批判性

思維的批判性是指思維活動中獨(dú)立分析和批判的程度，它表現(xiàn)為能夠在解決數(shù)學(xué)問題的過程中不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，進(jìn)行回顧和反思，自覺調(diào)控思維的進(jìn)程，自我評價解題思路或方法，辨別正誤，排除障礙的一種思維品質(zhì).在平時的教學(xué)中，若能夠?qū)忸}中出現(xiàn)的偶然性加以思考，提高學(xué)生辨別是非的能力，正是培養(yǎng)學(xué)生思維批判性的有效途徑.

案例1若f（cosx）=sin2x，則f（sinx）等于__________.

學(xué)生3：由f（cosx）=sin2x=2sinx·cosx，得f（t）=±2t·，所以f（sinx）=±sin2x，即上述兩者都對.（全班是一片愕然?。。?/p>

反思：上述三種解法解答的過程和本身的方法均沒有錯誤，若不去認(rèn)真分析其中的原因，勢必會造成解題結(jié)果的偶然性，究竟為什么會產(chǎn)生這種現(xiàn)象呢？這其中也存在著必然嗎？事實(shí)上，問題產(chǎn)生在它的源頭——題目本身有錯！從第三位同學(xué)的解法可以看出，一個自變量t對應(yīng)著兩個函數(shù)值，所以由函數(shù)的定義可知，滿足上述條件的函數(shù)是不存在的.在平時的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)教會學(xué)生敢于質(zhì)疑解題中的偶然性，敢于質(zhì)疑權(quán)威，及時監(jiān)控自己的思維活動，提高思維的批判能力.

二、反思解題結(jié)果的偶然性，優(yōu)化學(xué)生思維的廣闊性

思維的廣闊性是指善于全面地分析問題，多方面思考問題，多角度研究問題，善于對數(shù)學(xué)問題的特征、差異和隱含關(guān)系等進(jìn)行具體分析，作出廣泛的聯(lián)想，尋求最佳答案的一種思維品質(zhì).因此當(dāng)解題中出現(xiàn)偶然性時，及時地尋找一題多解，一題多變，這對培養(yǎng)學(xué)生思維廣闊性是非常有益的.

分析：從問題的角度來說，證明四點(diǎn)共圓一般是利用直線到直線的到角公式，這首先得解決斜率問題，學(xué)生從解決問題最直接的角度是解決四個點(diǎn)的坐標(biāo).

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則利用點(diǎn)差法可得，求得直線AB的方程為y=x+1，代入雙曲線方程，得A（-1，0），B（3，4）.同理可得

反思1：筆者讓學(xué)生運(yùn)算本題，有不少學(xué)生對于本題的解決方式正是按照上述方式處理的，筆者想說這個問題處理的偶然性在于學(xué)生對于角度選擇的時候是隨意的、偶然的，且在直線到直線的到角運(yùn)算上，大部分學(xué)生很難正確運(yùn)算，少數(shù)學(xué)生正確地解決了問題，這樣的偶然性解法我們需要反思.再仔細(xì)看看直線所反映的相互特征，直線CD是AB的垂直平分線，那么如果A，B，C，D四點(diǎn)共圓，則線段必CD是此圓的直徑，此時問題解決過程中選擇對角互補(bǔ)必定是∠DAC=∠DBC=90°，去選擇證明kAC·kAD=-1，kBD·kBC=-1，從而有∠DAC+∠DBC=180°，進(jìn)而大大簡化了問題的運(yùn)算.

反思2：若正確分析出線段CD是此圓的直徑，后續(xù)可以通過進(jìn)一步分析線段CD的中點(diǎn)M是此圓的圓心，利用韋達(dá)定理解決點(diǎn)M，再證明圓心M到兩點(diǎn)A，B的距離|MA|=|MB|相等即可.

反思3：直線系是很多學(xué)生了解過的，那么類比到曲線系，我們可以猜想只要找到經(jīng)過A，B，C，D四點(diǎn)的圓方程即可，因此構(gòu)建曲線系：（x-y+1）·（x+y-3）+λ（2x2-y2-2）=0，（1+2λ）x2+（-1-λ）y2-2x+4y+（-3-2λ）=0，（*）則1+ 2λ=-1-λ，即λ=-，可以驗(yàn)證此時（*）代表的就是所求圓方程.筆者認(rèn)為，這種思考對于挖掘問題的廣度還是很有思維價值的，這種高于就題論題的思考，優(yōu)化了學(xué)生思維的廣闊性.

三、反思解題思路的偶然性，優(yōu)化學(xué)生思維的創(chuàng)造性

思維的創(chuàng)造性是指思考問題和解決問題時的方式、方法或結(jié)果的新穎、獨(dú)特，別出心裁，善于發(fā)現(xiàn)問題、解決并引申問題的一種思維品質(zhì).它是思維的高級狀態(tài).在平時的教學(xué)中應(yīng)當(dāng)提倡多思多想，善于從偶然的因素中提煉出必然的研究結(jié)果.

案例3已知圓錐曲線C的一個焦點(diǎn)是F（1，0），相應(yīng)的準(zhǔn)線是y軸，以過焦點(diǎn)F并與x軸垂直的弦為直徑的圓截y軸所得弦長為2，當(dāng)過焦點(diǎn)F的直線l的傾斜角θ在何范圍內(nèi)取值時，圓錐曲線C上有且只有兩個不同點(diǎn)關(guān)于直線l對稱？

分析：易得圓錐曲線C的方程為（x+1）2-y2=2，經(jīng)檢驗(yàn)知.設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）是雙曲線C上關(guān)于直線l對稱的兩點(diǎn).設(shè)l：y=k（x-1），線段PQ中點(diǎn)為P0（x0，y0）.由于P、Q在雙曲線上，則相減并整理得又直線l的斜率為k=從而x0=0，y0=-k，故直線PQ：再代入雙曲線方程由判別式Δ>0，整理得到k>1或k<-1，故直線l的傾斜角θ取值范圍是

反思：注意到所求的“k>1或k<-1”與雙曲線的漸近線的斜率似乎有很大的關(guān)系.那么讓我們思考這其中是偶然呢，還是必然？不妨考慮一般情形：設(shè)雙曲線方程為，直線l：y=k（x-c），直線PQ：y=-線段PQ中點(diǎn)為P0（x0，y0）.由消去y并由判別式Δ>0化簡整理得k2m2+k2b2-a2>0.（☆）類似于上面的“點(diǎn)差法”得（注意到橫坐標(biāo)在準(zhǔn)線上，這與案例3中結(jié)果是相同的）.得直線因此有，代入（☆）式，得k4b2+（b2-a2）k2-a2>0，即（k2+1）·（b2k2-a2）>0，故有b2k2-a2>0，即k>.這也就解釋了案例4的答案中為什么具有偶然性.但是從答案中進(jìn)一步反思，我們發(fā)現(xiàn)答案仍然與漸近線有密切的關(guān)系，這又是為什么呢？我們作進(jìn)一步的研究便可得到以下簡便的方法：以焦點(diǎn)F為圓心作圓與雙曲線交于四點(diǎn)Q1，P1，P2，Q2，且這四點(diǎn)依次在第一、二、三、四象限內(nèi)，則θ就是弦P1Q1，或弦P2Q1的中垂線的傾斜角，易知k>

從上面的案例我們可以看出，在平時的解題教學(xué)中，要善于從看似偶然的結(jié)果中反思出必然的因素，不但有利于學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，而且有利于學(xué)生的思維品質(zhì)的優(yōu)化.

從數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀來看，筆者比較擔(dān)心教學(xué)過程的快速化、粗放化.隨著新課程改革實(shí)施多年后的教學(xué)疲態(tài)，筆者也深深感受到現(xiàn)狀數(shù)學(xué)教學(xué)對于解題反思是愈來愈不足，對于問題解決的偶然性反思也非常的不足.我們往往針對問題做的是一題多解、一題多變，卻沒有思考學(xué)生為何會這樣解？學(xué)生為何是這樣錯？記得顧泠沅先生在教學(xué)中說過：“題有千變，但是教有定法，我提倡做一個問題就要做好做通，好好反思我為什么走入了這樣的解題路徑？錯誤的是否下次可以避免？正確的能否下次堅(jiān)持？”說得太好了.

因此筆者建議：對于學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決過程中遇到的偶然性，教師要及時給予關(guān)注和反思，這種思考在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程和積累中有著極為重要的幫助：其一，無論正確與否對于學(xué)生思維的廣闊性都是一種極好的啟發(fā)，這種偶然性是學(xué)生思維的閃光點(diǎn)，對于其多方面、多角度思考問題都有著引導(dǎo)作用；其二，解題偶然性對于學(xué)生而言比較多，學(xué)生往往在這其中有著令人驚訝的創(chuàng)造力和創(chuàng)新精神，及時鞏固和總結(jié)對于這種偶然性形成為必然的內(nèi)在是一種必不可少的途徑.最后，筆者認(rèn)為當(dāng)下題海訓(xùn)練、應(yīng)試教學(xué)又有重回老路的趨勢，對于很多具備“靈光一現(xiàn)”的偶然性思路，教師往往關(guān)注太少而磨滅了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)工作應(yīng)該多關(guān)注偶然性解題之后的思考，進(jìn)而引導(dǎo)思維的發(fā)展和能力的提高.

1.任樟輝.數(shù)學(xué)思維論［M］.南寧：廣西教育出版社，1996.

2.段訓(xùn)明.增強(qiáng)反思意識優(yōu)化思維品質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2003（6）.

3.桑亞.利用特殊化方法培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)初探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2003（1）.Z