程瑞云

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在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用幾何畫(huà)板的探索

程瑞云

幾何畫(huà)板作為一個(gè)實(shí)用的數(shù)學(xué)軟件，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中越來(lái)越受到教師的青睞，有的學(xué)校還將它列入校本課程，開(kāi)發(fā)成為學(xué)生探究數(shù)學(xué)的工具。幾何畫(huà)板的功能十分強(qiáng)大，有直尺、圓規(guī)、測(cè)量、計(jì)算、多種圖形變化等功能，還可以繪制多種函數(shù)圖像，制作復(fù)雜的動(dòng)畫(huà)并且進(jìn)行演示。幾何畫(huà)板對(duì)初中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)以及學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)十分重要。

一、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣 提高學(xué)生有意注意

幾何畫(huà)板打破了傳統(tǒng)的用尺規(guī)教學(xué)的方法。它具有動(dòng)態(tài)、直觀，數(shù)形結(jié)合，色彩豐富，變化無(wú)窮的特點(diǎn)，可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時(shí)對(duì)開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力、提高思維能力也很有幫助。長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)的抽象性和復(fù)雜性使得數(shù)學(xué)的魅力只有那些執(zhí)著于數(shù)學(xué)并且深入進(jìn)去的人才能真正感受到。幾何畫(huà)板具有“動(dòng)畫(huà)”的功能，可以化“抽象”為“形象”，變“靜止”為“運(yùn)動(dòng)”，數(shù)學(xué)的變化和奧秘可以清晰地展現(xiàn)在學(xué)生的面前。例如，幾何畫(huà)板中有“萬(wàn)花筒”，它可以經(jīng)過(guò)動(dòng)畫(huà)處理演變出無(wú)數(shù)個(gè)絢麗的對(duì)稱(chēng)圖形，讓學(xué)生在贊嘆與震驚中感受到數(shù)學(xué)神奇的魅力。幾何畫(huà)板中還有“勾股樹(shù)”，它由勾股圖形多次迭代而成，它是一棵“活”的樹(shù)，可以隨著直角三角形形狀的變化舞動(dòng)起兩個(gè)五顏六色的“樹(shù)干”，顯示出無(wú)限的生機(jī)和活力。通過(guò)幾何畫(huà)板的展示，學(xué)生普遍感到數(shù)學(xué)不再是些枯燥乏味的計(jì)算和證明，而是一門(mén)神奇的科學(xué)，其中有無(wú)窮的奧秘。由此，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興奮點(diǎn)明顯提升，注意力也更加專(zhuān)注，對(duì)相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)也變得更加積極。

二、研究數(shù)學(xué)中“特殊”與“一般”的關(guān)系

在幾何教學(xué)中，七年級(jí)為實(shí)驗(yàn)幾何教學(xué)階段，在教學(xué)上注重讓學(xué)生從觀察、測(cè)量、折疊等動(dòng)作中發(fā)現(xiàn)幾何規(guī)律，因此，經(jīng)常會(huì)用到從“特殊”推導(dǎo)出“一般”這一邏輯思維方法，從而找出事物中帶有規(guī)律性的東西。但這些規(guī)律是否普遍存在于事物中？有沒(méi)有例外？一些愛(ài)思考的學(xué)生也經(jīng)常會(huì)有這樣的疑問(wèn)。

例如：是不是所有圓的周長(zhǎng)都是直徑的多少倍？?jī)芍本€平行，同位角一定相等嗎？利用幾何畫(huà)板的測(cè)量功能，學(xué)生可以很輕松地解決這些問(wèn)題。又如，在《圓的周長(zhǎng)》章節(jié)教學(xué)中，可以讓學(xué)生用幾何畫(huà)板操作：先用畫(huà)圓工具畫(huà)一個(gè)圓，找到它的直徑，測(cè)量圓的周長(zhǎng)和直徑，并計(jì)算它們的比值。然后拖動(dòng)圓上的點(diǎn)，這時(shí)可以看到圓的大小隨之發(fā)生改變，圓的直徑和周長(zhǎng)也都隨之發(fā)生了改變，然而周長(zhǎng)與直徑的比值不變。如果要了解更精確的圓周率的值，可以調(diào)整比值的屬性，把精確度調(diào)整為十萬(wàn)分之一，就可以得到五位小數(shù)的近似值，還可以通過(guò)幾何畫(huà)板的參數(shù)選項(xiàng)調(diào)整測(cè)量的精度，借助更精確的計(jì)算器來(lái)計(jì)算，得出更精確的數(shù)值。短短幾分鐘的一個(gè)操作，就可以讓學(xué)生體驗(yàn)到任意圓的周長(zhǎng)與它的直徑的關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生研究問(wèn)題的方法和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式。

三、幫助學(xué)生理解一些抽象的幾何概念

正如一位教師所說(shuō)：“幾何畫(huà)板把動(dòng)態(tài)的圖形展現(xiàn)在學(xué)生面前，使他們有了一個(gè)溝通幾何圖形和幾何符號(hào)、幾何語(yǔ)言的工具，了解了幾何發(fā)現(xiàn)的歷史，這是傳統(tǒng)幾何教學(xué)做不到的?！睅缀萎?huà)板不僅可以幫助學(xué)生理解幾何的概念，更可以讓他們經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)之路，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索、思考問(wèn)題的習(xí)慣和能力，提高創(chuàng)新意識(shí)。

七年級(jí)的學(xué)生最初接觸幾何會(huì)有許多無(wú)法理解的概念，如射線和直線的無(wú)限延伸性，鈍角三角形的高，等腰三角形三線合一的性質(zhì)等，這些都可以用幾何畫(huà)板來(lái)幫助學(xué)生理解。

等腰三角形三線合一是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，學(xué)生難以理解的是：“明明只有一條線，怎么偏說(shuō)是三線合一？”這個(gè)問(wèn)題借助幾何畫(huà)板就可以迎刃而解了。如任意三角形在BC邊上有一條高、一條中線、和對(duì)角的平分線，而當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到三角形成為一個(gè)等腰三角形時(shí)，就可以清晰地看到“三線合一”的過(guò)程，而繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，還可以看到一線變?nèi)€的過(guò)程。經(jīng)過(guò)這樣的體驗(yàn)再加上適當(dāng)?shù)木毩?xí)鞏固，學(xué)生就能夠很好地掌握等腰三角形的這一性質(zhì)。

“圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折”是學(xué)習(xí)全等三角形、四邊形、相似三角形等知識(shí)的基礎(chǔ)，幾何畫(huà)板同樣也是展示這些圖形變化以及變化前后圖形中不變關(guān)系的最好的工具之一。通過(guò)教師的幾何畫(huà)板演示，學(xué)生可以更好地理解圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的概念，認(rèn)識(shí)更多的生活中的對(duì)稱(chēng)圖案和圖形，通過(guò)自己動(dòng)手操作，學(xué)生還可以探索這些圖形的性質(zhì)，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)奧秘的樂(lè)趣。

四、用幾何畫(huà)板幫助學(xué)生體驗(yàn)“數(shù)形結(jié)合” 理解函數(shù)的圖像與性質(zhì)

函數(shù)教學(xué)也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，特別是函數(shù)的圖像和性質(zhì)的教學(xué)。讓學(xué)生建立坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系還不算困難，可是要讓學(xué)生建立一個(gè)函數(shù)的解析式和函數(shù)圖像之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系卻很難。然而幾何畫(huà)板卻可以通過(guò)軌跡追蹤這一功能，使“點(diǎn)”連成 “線”，從而建立起函數(shù)解析式與函數(shù)圖像之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如，在二次函數(shù)圖像的教學(xué)中，可以先在x軸上取一點(diǎn)X，度量出它的坐標(biāo)，拖動(dòng)點(diǎn)X使它在x軸上運(yùn)動(dòng)，這時(shí)可以觀察到點(diǎn)與它的坐標(biāo)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，還可以順便體驗(yàn)到x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為零的特點(diǎn)；度量出點(diǎn)X的橫坐標(biāo)x，并計(jì)算x2的值，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出點(diǎn)P（X，x2），拖動(dòng)點(diǎn)X并追蹤點(diǎn)P的軌跡，就可以看到一組或疏或密的點(diǎn)，于是學(xué)生就可以理解原來(lái)所有的這些點(diǎn)組合在一起就是y=x2函數(shù)的圖像。

至于讓學(xué)生研究函數(shù)圖像的性質(zhì)就更簡(jiǎn)單了，通常學(xué)生自己都可以完成：在 x軸上取一點(diǎn)A，度量出它的橫坐標(biāo)a作為參數(shù)，在直角坐標(biāo)系中繪出函數(shù)y=ax2的圖像，拖動(dòng)點(diǎn)A就可以觀察函數(shù)圖像會(huì)隨著系數(shù)a的變化而變化，從而總結(jié)出函數(shù)y=ax2的圖像具有怎樣的性質(zhì)和特點(diǎn)。如果再進(jìn)一步研究y=ax2+c的圖像，只要再確定一個(gè)點(diǎn)C以及它的橫坐c，重新繪制函數(shù)圖像，拖動(dòng)點(diǎn) C就可以了。同樣的方法還可以讓學(xué)生去探索函數(shù)y=a（x + m）2，y= a（x + m）2+k，y = ax2+bx +c的圖像，它們都可以如此構(gòu)造。

用幾何畫(huà)板研究函數(shù)問(wèn)題，不僅可以讓學(xué)生更好地理解函數(shù)解析式與函數(shù)圖像之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且為學(xué)生自主探索問(wèn)題、解決問(wèn)題提供了有用的工具，從而改變了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提高了課堂教學(xué)效率。

五、幾何畫(huà)板的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室功能

北京大學(xué)附屬中學(xué)王鵬遠(yuǎn)老師說(shuō)“幾何畫(huà)板為我們創(chuàng)設(shè)了個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，提供了一個(gè)理想的做數(shù)學(xué)的環(huán)境。學(xué)生可以從‘聽(tīng)’數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變到‘做’數(shù)學(xué)，即以研究者的方式，參與包括發(fā)現(xiàn)、探索獲得知識(shí)的全過(guò)程。”

例如：在八年級(jí)勾股定理的教學(xué)過(guò)程中，筆者利用幾何畫(huà)板的優(yōu)勢(shì)安排了以下兩個(gè)環(huán)節(jié)。

環(huán)節(jié)一，動(dòng)手操作，猜想、驗(yàn)證直角三角形的特殊性質(zhì)。在這一環(huán)節(jié)，讓學(xué)生拖動(dòng)幾何畫(huà)板中3個(gè)點(diǎn)的位置，測(cè)量出三角形三邊的長(zhǎng)度并計(jì)算它們的平方，觀察當(dāng)三角形的形狀改變時(shí)它們的三邊平方之間的關(guān)系，總結(jié)出直角三角形的特殊性質(zhì)，并通過(guò)幾何畫(huà)板進(jìn)行驗(yàn)證。

環(huán)節(jié)二，拼圖游戲，證明勾股定理。在這一環(huán)節(jié)中讓學(xué)生通過(guò)教師制作的學(xué)件進(jìn)行拼圖游戲，并以小組為單位研討勾股定理的證明方法。

通過(guò)兩個(gè)環(huán)節(jié)的自主探究，學(xué)生通過(guò)拼圖與研討，猜想、驗(yàn)證了勾股定理，整個(gè)過(guò)程都是讓學(xué)生進(jìn)行自主體驗(yàn)和操作。當(dāng)學(xué)生真正認(rèn)識(shí)了勾股定理后，都能體驗(yàn)到作為一個(gè)研究者和探索者的快樂(lè)。這時(shí)教師再輔之一定的練習(xí)和拓展，學(xué)生就能很好地掌握這一定理并且用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

六、幾何畫(huà)板在題組教學(xué)和變式題訓(xùn)練中的作用

所謂數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練，是指在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中對(duì)概念、性質(zhì)、定理、公式以及問(wèn)題從不同的角度、不同的層次、根據(jù)不同的情形、不同的背景做相應(yīng)的變化，使其表現(xiàn)形式發(fā)生變化，但本質(zhì)特征卻不變。利用變式訓(xùn)練可以把一個(gè)個(gè)看似孤立的問(wèn)題從不同的角度向外擴(kuò)散，形成一個(gè)有規(guī)律可循的系列，幫助學(xué)生在問(wèn)題的解答過(guò)程中尋找解決類(lèi)似問(wèn)題的思路和方法，展現(xiàn)教學(xué)過(guò)程中教師與學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析和解決問(wèn)題的能力，大膽創(chuàng)新、勇于探索的精神，真正把學(xué)生能力的培養(yǎng)落到實(shí)處，學(xué)生也不需要大量、重復(fù)地做同一類(lèi)型的題目，從題海中走出來(lái)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)上的減負(fù)與增效。

參考文獻(xiàn)

［1］ 彭學(xué)軍，高曉玲.“幾何畫(huà)板”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究［J］.四川教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2003（S1）:9-10.

［2］ 李洪波.幾何畫(huà)板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的優(yōu)勢(shì)和不足［J］.學(xué)周刊，2015（11）:174.

作者信息

程瑞云，本科，一級(jí)教師。河北省唐山市樂(lè)亭縣姜各莊鎮(zhèn)姜各莊初級(jí)中學(xué)，063608