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讓變式教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂中大放光彩

■江蘇省海門(mén)市實(shí)驗(yàn)學(xué)校陳麗華

變式教學(xué)正是通過(guò)變更數(shù)學(xué)概念的非本質(zhì)特征來(lái)暴露問(wèn)題本質(zhì)特征的教學(xué)方法.通過(guò)對(duì)問(wèn)題結(jié)構(gòu)的改變，體會(huì)變式教學(xué)下結(jié)構(gòu)的發(fā)生、發(fā)展、異化遷移等，從而揭示規(guī)律，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)化；求同存異，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維；優(yōu)化方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度和深度；融會(huì)貫通，培養(yǎng)學(xué)生思維的整合性.

在平時(shí)的教育教學(xué)中開(kāi)展變式教學(xué)，使例題富有內(nèi)涵，一題多用，以題帶面，充分發(fā)揮一道例題的教學(xué)功能，使數(shù)學(xué)教科書(shū)上“冰冷的美麗”變?yōu)椤盎馃岬乃伎肌保患ぐl(fā)學(xué)生的興趣和求知欲，讓學(xué)生有進(jìn)一步學(xué)習(xí)和探索的欲望，從而讓學(xué)生在問(wèn)題的解決中獲得成功的體驗(yàn)，從而激發(fā)、培養(yǎng)學(xué)生良好的質(zhì)疑、求實(shí)的思維習(xí)慣和能力．下面筆者結(jié)合平時(shí)的教學(xué)經(jīng)歷談?wù)勛兪浇虒W(xué)的一些做法，不當(dāng)之處，歡迎指正.

一、利用變式教學(xué)引入新課

建構(gòu)主義者認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非是一個(gè)被動(dòng)的接受過(guò)程，而是一個(gè)主動(dòng)的建構(gòu)過(guò)程.數(shù)學(xué)知識(shí)不能從一個(gè)人遷移到另一個(gè)人，一個(gè)人的數(shù)學(xué)知識(shí)必須基于個(gè)人已有的經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)反省來(lái)主動(dòng)建構(gòu).因此基于學(xué)生已有的認(rèn)知，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行變式，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，并作進(jìn)一步探究，進(jìn)而引入新課，學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié)提煉，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，有利于將知識(shí)學(xué)活，提高解題能力.

案例1根據(jù)蘇教版《選修2-1》第41頁(yè)例3，以及第55頁(yè)探究，筆者將其改編為如下題目：平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）的連線斜率之積是λ（λ是常數(shù)），當(dāng)λ滿(mǎn)足下列條件時(shí)，分別求出點(diǎn)M的軌跡：

（1）λ＜-1；（2）λ=-1；（3）-1＜λ＜0；（4）λ=0；（5）0＜λ＜1；（6）λ＞1；（7）λ=1.

學(xué)生的解答：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由題意知，kAM·

（1）焦點(diǎn)在y軸上的橢圓除去兩端點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）；

（2）圓心為（0，0），半徑為a的圓；

（3）焦點(diǎn)在x軸上的橢圓除去兩端點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）；

（4）直線y=0除去兩點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）；

（5）（6）（7）焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線除去兩端點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）.

由此題給出變式：

【變式1】平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）的連線斜率之商是λ（λ是常數(shù)），求點(diǎn)M的軌跡.

【變式2】平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）的連線斜率之差是λ（λ是常數(shù)），求點(diǎn)M的軌跡.

在變式2中，當(dāng)λ≠0時(shí)，得到了拋物線的軌跡方程，由此引入拋物線.在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教材例題的探究過(guò)程中，圓錐曲線的很多知識(shí)點(diǎn)被串了起來(lái)，加深了對(duì)求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法的理解，實(shí)質(zhì)上探究結(jié)果并不重要，但在探究的過(guò)程中，通過(guò)合作交流，反思總結(jié)去追根溯源，極大地提高了學(xué)生的解題能力，使所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化.

二、利用變式教學(xué)深化問(wèn)題解決重難點(diǎn)

眾所周知，“重點(diǎn)”是指本課時(shí)的主要知識(shí)或方法，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)或解題有著重要的作用．“難點(diǎn)”是指教材中難以理解和掌握的部分內(nèi)容．教學(xué)中，我們對(duì)重、難點(diǎn)應(yīng)是眾星捧月，從多角度、多方面、多層次的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生積極開(kāi)動(dòng)腦筋，與教師一起來(lái)攻克重難點(diǎn)．

案例2雙曲線的定義：“平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值的差是常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線［1］．”為突出這一重要定義，我們可以設(shè)置下述系列變式：

1.將“小于|F1F2|”換為“等于|F1F2|”，其余條件不變，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？

2.將“小于|F1F2|”換為“大于|F1F2|”，其余條件不變，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？

3.將絕對(duì)值號(hào)去掉，其他條件不變，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？

4.若定義中的常數(shù)為0，其余條件不變，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？

這一系列的變式問(wèn)題，使學(xué)生的思維自始至終處于積極活動(dòng)中，既開(kāi)闊了學(xué)生的視野，使此重點(diǎn)知識(shí)在腦海中形成整體印象，又突破了難點(diǎn)，從而在本質(zhì)上把握定義．“教”是為了“不教”，學(xué)生自己探索得到的知識(shí)會(huì)給他們留下更深刻的印象．

案例3下面是線性規(guī)劃中的一道常規(guī)題，對(duì)其進(jìn)行變式引申，可以讓學(xué)生對(duì)此類(lèi)問(wèn)題有了更深刻的認(rèn)識(shí).

本例從“截距型”，變式為“斜率型”，再到“距離型”.求解涉及分式、配方等變形技巧，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，可以使學(xué)生較好地掌握線性規(guī)劃中最基本的問(wèn)題.題目講評(píng)貴在方法，重在思維，關(guān)注延伸.因此平時(shí)上課中不應(yīng)只是就題論題，而要不斷挖掘、變換角度盡量發(fā)揮試題的輻射作用.

三、利用變式教學(xué)揭示例題隱含的規(guī)律

例題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中不容忽視的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，它能向?qū)W生展示運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的思路、方法、手段．但例題的數(shù)量應(yīng)適當(dāng)控制，要做到舉一反三，即對(duì)于某一類(lèi)問(wèn)題，教師要抓住典型范例，解剖麻雀，揭示規(guī)律，而把同一類(lèi)教材的其他問(wèn)題留給學(xué)生自己解決，以取得事半功倍的效果．

案例4蘇教版選修教材2-1“橢圓”一節(jié)中有這樣一道題目：“△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-6，0）和（6，0），邊AC，BC所在直線的斜率之積等于，求點(diǎn)C的軌跡方程.”依題意求出此題的結(jié)果是：（x≠±6）.此題是比較典型的一習(xí)題，為了讓學(xué)生再進(jìn)一步理解題目隱含的本質(zhì)，對(duì)此，我們可以引導(dǎo)學(xué)生做到以下幾個(gè)方面：

（1）思考引申

（2）結(jié)論應(yīng)用

學(xué)生對(duì)自己推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)論一定會(huì)興奮不已，教師趁此給予相關(guān)性的題目，讓學(xué)生對(duì)此結(jié)論加以應(yīng)用.例如，2013年安徽省高三聯(lián)考卷某題的第二問(wèn)：已知橢圓，設(shè)P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A，關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，線段PQ與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為CQ的中點(diǎn)，若直線AD與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為B，試判斷直線PA，PB是否互相垂直？并證明你的結(jié)論.本題條件較多，若抓不住入手點(diǎn)，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量大、得不出結(jié)果，若課堂上，教師引領(lǐng)學(xué)生對(duì)上面的習(xí)題加以引申，那么學(xué)生對(duì)本題就會(huì)迎刃而解.

分析：點(diǎn)P，A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)B也在橢圓上，則kBA·，由題意又易得出則，即，所以很快能夠判斷出直線PA，PB是互相垂直的，按照此思路給予證明即可.

（3）類(lèi)比拓展

由橢圓中這一習(xí)題，聯(lián)想到高中階段所學(xué)的解析幾何中中心對(duì)稱(chēng)的曲線——圓、雙曲線，是否也有類(lèi)似的結(jié)論呢？

①圓

②雙曲線

（4）綜合應(yīng)用

蘇教版教材上的一練習(xí)題（選修2-1，80頁(yè)）：△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-6，0）和（6，0），邊AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），求點(diǎn)C的軌跡方程.本題很好地綜合了以上三種曲線的共同問(wèn)題，軌跡方程為：mx2-y2=36m，m的范圍不同，所表示的曲線也不同.

①當(dāng)m＞0時(shí)，軌跡是雙曲線；

②當(dāng)m=-1時(shí)，軌跡是圓；

③當(dāng)-1＜m＜0或m＜-1時(shí)，軌跡是橢圓.

對(duì)一道試題深度挖掘，脫離了以往的死板、照本宣科的教學(xué)，溝通了知識(shí)之間的聯(lián)系，顯示了課堂教學(xué)的靈活性，激發(fā)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的探究欲望，有利于培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般，從具體到抽象地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.通過(guò)例題解法多變的教學(xué)則有利于幫助學(xué)生形成思維定式，而又打破思維定式，有利于培養(yǎng)思維的變通性和靈活性.

四、利用變式教學(xué)完善知識(shí)結(jié)構(gòu)

波利亞說(shuō)：在你找到第一個(gè)蘑菇（或做出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)）后，要環(huán)顧四周，因?yàn)樗鼈兛偸浅啥焉L(zhǎng)的.很多問(wèn)題都潛藏著進(jìn)一步擴(kuò)展研究的教學(xué)功能，通過(guò)合理變式，構(gòu)造題組，讓學(xué)生在變的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)，在不變的本質(zhì)中探究變的規(guī)律，加深對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，在提高能力的同時(shí)完善知識(shí)結(jié)構(gòu).

案例5（蘇教版高中數(shù)學(xué)必修2，127頁(yè)）已知過(guò)點(diǎn)M（-3，-3）的直線l被圓C：x2+y2+4y-21=0所截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程.

【變式1】已知過(guò)點(diǎn)M（-3，3）的直線l被圓C：x2+y2+4y-21=0所截得的弦長(zhǎng)為8，求直線l的方程.

【變式2】已知過(guò)點(diǎn)M（-3，3）的直線l被圓C：x2+y2+4y-21=0所截得的弦長(zhǎng)為求直線l的方程.

【變式3】已知過(guò)點(diǎn)M（-3，-3）的直線l被圓C：x2+y2+ 4y-21=0所截得的弦長(zhǎng)為10，求直線l的方程.

直線與圓的位置關(guān)系是解析幾何中比較重要和核心的關(guān)系.設(shè)置變式1的目的是提醒學(xué)生勿忘斜率不存在的情況，變式2與變式3分別是求過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)弦長(zhǎng)最短與最長(zhǎng)的直線方程，答案是唯一的.解題后可以啟發(fā)學(xué)生思考為何前兩個(gè)問(wèn)題有兩條直線，而后兩個(gè)問(wèn)題則只有一個(gè)答案？從而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)：垂直于CM的弦最短，最短弦長(zhǎng)為；直徑（過(guò)C，M兩點(diǎn)）最長(zhǎng)，最長(zhǎng)弦為10；在區(qū)間的弦長(zhǎng)有兩條.

在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中要做到：源于教材，高于教材，專(zhuān)題有新意，考卷有新意，總結(jié)內(nèi)容也要有新意，切忌同一問(wèn)題以同一形式多次重復(fù)，以免學(xué)生覺(jué)得單調(diào)乏味，沒(méi)有新意.

借助變式教學(xué)，引發(fā)思維沖突，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極嘗試，參與辨析，深刻反思，讓學(xué)生在質(zhì)疑中品味思維的魅力，在問(wèn)題的解答中獲得成功的體驗(yàn)，從而激發(fā)、培養(yǎng)了他們良好的質(zhì)疑、求實(shí)的思維習(xí)慣和能力，使教學(xué)過(guò)程成為一種學(xué)生渴望不斷探索真理，帶有情感色彩的意向活動(dòng)，這將為我們的教學(xué)帶來(lái)很好的效果.