□周英

在操作中理解 在對比中建構(gòu)
——以“有余數(shù)的除法”教學(xué)為例

□周英

計算教學(xué)是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)的重要組成部分，并且貫穿于整個小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。因此在計算教學(xué)中通過有效的活動體驗(yàn)，加深學(xué)生對于計算模型的意義理解，促進(jìn)知識概念的整體建構(gòu)和運(yùn)算能力的發(fā)展，顯得尤為重要和迫切。以“有余數(shù)的除法”一課教學(xué)為例，教師可以嘗試以數(shù)學(xué)活動操作為抓手，強(qiáng)化“有余數(shù)除法”計算模型整體建構(gòu)，以求有所突破。

操作 對比 理解建構(gòu) 有余數(shù)的除法

人教版數(shù)學(xué)教材二年級下冊的“有余數(shù)的除法”是表內(nèi)除法知識的延伸和拓展。鑒于有余數(shù)的除法與表內(nèi)除法的這種密切聯(lián)系，以及考慮到通過操作和對比更有利于學(xué)生對這部分內(nèi)容的理解，修訂后的教材將本單元從三年級上冊調(diào)整到了二年級下冊。教材安排了表內(nèi)除法與有余數(shù)的除法的含義、余數(shù)和除法的關(guān)系、有余數(shù)的除法豎式和表內(nèi)除法的豎式、試商和解決問題五課時?！坝杏鄶?shù)的除法”作為除法筆算的起始課，理解除法算式中各數(shù)的意義是這一內(nèi)容學(xué)習(xí)的前提。

一、注重操作，促進(jìn)學(xué)生對知識的理解

動手操作是幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)的一種簡便易行的方法，這是這個單元教學(xué)的重要支撐。教材中的例1對余數(shù)概念的理解、對有余數(shù)的除法含義的理解，都是借助操作來進(jìn)行的，由直觀操作到符號表征，使學(xué)生從多方面、多角度理解所要學(xué)習(xí)的知識。

根據(jù)二年級學(xué)生的認(rèn)知能力、自學(xué)能力等特點(diǎn)，進(jìn)行操作實(shí)驗(yàn)時，離不開教師的指導(dǎo)，課堂教學(xué)中要遵循有序性的原則。此外，學(xué)生在實(shí)際生活中對“有余數(shù)除法”會有一些感性的認(rèn)識和經(jīng)驗(yàn)，但缺乏清晰的概念認(rèn)識。因此，教學(xué)時要有意識地聯(lián)系學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，來溝通有余數(shù)除法和表內(nèi)除法的關(guān)系，在具體情境中感知“有余數(shù)的除法”的意義。

（一）微課視頻中的操作，激活前認(rèn)知

【教學(xué)片段1】

師：我們之前經(jīng)常會用小棒（PPT出示）幫助我們開展學(xué)習(xí)活動，今天我們又會用小棒來做點(diǎn)什么呢？請仔細(xì)看大屏幕！

視頻1：（有8根小棒，每4根搭1個“□”）學(xué)生操作。

視頻2：（有9根小棒，每4根搭1個“□”）學(xué)生操作。

播放結(jié)束，畫面定格，變成一張PPT。

學(xué)生在學(xué)習(xí)表內(nèi)除法時，教材通過直觀圖和文字，已呈現(xiàn)了平均分的過程，課堂教學(xué)中教師讓學(xué)生借助學(xué)具平均分一分、擺一擺，或者在圖中連一連、圈一圈，從動作表征和表象表征開始，使學(xué)生積累了豐富的平均分的活動經(jīng)驗(yàn)；進(jìn)而組織學(xué)生用語言表述自己的操作過程，再寫出相應(yīng)的算式，最后讓學(xué)生說說算式表示的意思。學(xué)生經(jīng)歷了“學(xué)習(xí)除法”的全過程，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)“有余數(shù)的除法”，借助微視頻動態(tài)地記錄下學(xué)生“用8根小棒擺正方形，剛好擺完”和“9根小棒擺正方形，有剩余”的過程，不僅能激活學(xué)生的前認(rèn)知，而且能讓學(xué)生關(guān)注到擺的結(jié)果，避免了實(shí)物操作過程中的無關(guān)因素的干擾。

（二）問題解決中的操作，圈畫后理解

【教學(xué)片段2】等分與包含，多種表征促理解

圈一圈，畫一畫：

（1）9支鉛筆，每人分2支，可以分給（ ）人，還剩（）支。

9÷2=□（人）……□（支）

（2）9支鉛筆，平均分給4人，分一分，把分的結(jié)果畫出來。

每人分得（ ）支，還剩（ ）支。

9÷4=□（人）……□（支）

做完后請學(xué)生自己上來講一講：對應(yīng)著圖說一說算式中每個數(shù)表示的意義。

該練習(xí)是先用語言描述操作要求，再讓學(xué)生圈、畫、填，最后用除法算式表示。即多種表征形式相互映襯，幫助學(xué)生理解余數(shù)及有余數(shù)的除法的含義，并學(xué)會確定商和余數(shù)的名數(shù)。且此題涵蓋了平均分的兩種情況（包含和等分），除繼續(xù)鞏固相關(guān)知識外，可使學(xué)生進(jìn)一步體會在有余數(shù)的除法中，商和余數(shù)的名數(shù)什么時候相同（等分），什么時候不同（包含）。

【教學(xué)片段3】包含中開放，助理解除法本質(zhì)

一共有18個彩球，請你任選一種盒子來裝彩球，可以裝滿幾盒？

學(xué)生可能會有三種不同的結(jié)果：

18÷5=3（盒）……3（個）裝滿3盒，剩余3個；

18÷6=3（盒） 裝滿3盒，沒有剩余；

18÷7=2（盒）……4（個） 裝滿2盒，剩余4個。

此題以學(xué)生生活中熟悉的“分彩球”為素材，利用平均分中的“包含”的情況，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解余數(shù)及有余數(shù)的除法的含義。在裝18個彩球時，有三種不同的包裝盒（5個/盒、6個/盒、7個/盒），在編排上體現(xiàn)了開放性，學(xué)生可以任選一種裝法圈一圈并列出算式。同時，這道題也將有余數(shù)的除法的不同表征形式放在一起，利于學(xué)生理解，進(jìn)一步感受商和余數(shù)的名數(shù)的不同。

本課練習(xí)設(shè)計中充分關(guān)注到了有余數(shù)除法多種表征方式的轉(zhuǎn)換。每題都是根據(jù)文字的意思先進(jìn)行操作，然后把操作的結(jié)果填在括號中，最后完成有余數(shù)除法的橫式書寫，讓學(xué)生邊圈（邊分）邊說邊寫，使學(xué)生充分感受到操作、文字、橫式所表達(dá)意義的統(tǒng)一，理解除法的本質(zhì)。

二、通過對比，助推有余除模型的建構(gòu)

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的根本任務(wù)就是正確揭示概念的內(nèi)涵和外延。對于“有余數(shù)除法”的概念，不僅要準(zhǔn)確地解釋它的內(nèi)涵，而且要挖掘它的外延，使學(xué)生對概念的理解逐步完善?！坝杏鄶?shù)的除法”不僅是表內(nèi)除法知識的延伸和拓展，也是今后繼續(xù)學(xué)習(xí)一位數(shù)除多位數(shù)等除法的重要基礎(chǔ)。這部分知識的學(xué)習(xí)具有承上啟下的作用，因此教學(xué)時需要不斷將有余數(shù)的除法與剛學(xué)習(xí)的表內(nèi)除法的兩種情況對比呈現(xiàn)，使學(xué)生體會有余數(shù)的除法與表內(nèi)除法的關(guān)系，為建構(gòu)起合理的除法知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)提供支撐點(diǎn)。

（一）表征形式中的對比，由表及里

【教學(xué)片段4】

師：剛才的視頻，你看懂了嗎？兩次分小棒，哪里不一樣呢？

活動要求：請你在學(xué)習(xí)單上，通過畫一畫、列一列、寫一寫的方式，把剛才分的過程和結(jié)果通過文字或者符號表示出來。

反饋學(xué)生作品：

（1）8根小棒擺正方形。

實(shí)物投影學(xué)生的作品：□□ 8÷4=2（個）

（2）9根小棒擺正方形。

實(shí)物投影學(xué)生的作品：□□| 2×4+1=9（根） 9÷4=2……1

師：剛才同學(xué)們有的用了畫圖的方法，有的用了2×4+1=9（根）這樣的算式，還有的同學(xué)用了除法算式，其實(shí)都想要表達(dá)9里面有幾個4。

幾何直觀是《課標(biāo)（2011年版）》提出的十大核心概念之一，和除法有關(guān)的例題教學(xué)都是建立在直觀的基礎(chǔ)上的。教學(xué)時教師要充分運(yùn)用直觀和算式的對比，幫助學(xué)生理解余數(shù)及有余數(shù)的除法的含義。在實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生學(xué)習(xí)除法經(jīng)歷如下圖的表征過程，這種表征是單向的，有去無回的，學(xué)生只經(jīng)歷了由具體到抽象的過程。通過對比，溝通操作過程、語言表達(dá)、算式之間的轉(zhuǎn)換，使學(xué)生明白它們的意思是一樣的，只是表達(dá)形式不同，促使學(xué)生進(jìn)一步理解除數(shù)、商和余數(shù)的名數(shù)的確定。

本課除了在探究新知這個環(huán)節(jié)通過對比喚起學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，加深學(xué)生對有余數(shù)的除法的理解外，還在探索余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系時，也采用了對比的方法，幫助學(xué)生感受在平均分物的過程中的兩種情況，以及剩余部分的可能性。

（二）平均分物中的對比，拾級而上

【教學(xué)片段5】

師：剛才我們通過畫圖、列式的方法把擺小棒的過程清楚地表示出來，如果有10根小棒，能擺幾個正方形又余幾根呢？

板書：10÷4=2（個）……2（根）

師：大家發(fā)現(xiàn)了嗎？原來余數(shù)也會隨著根數(shù)變化而有所變化，再加1根呢？

板書：11÷4=2（個）……3（根）

師：繼續(xù)加1根，會怎么樣？你們先想一想，再寫寫看。

生：12÷4=2（個）……4（根）

12÷4=3（個）

師：這兩個算式到底哪一個是正確的呢？

生：余數(shù)不能為4，因?yàn)?根又可以變成1個“□”了，就“沒有”余數(shù)了。所以應(yīng)該是12÷4=3（個）。

教師把算式寫到8÷4=2（個）的下面。

師：如果有13根小棒，再往下想，14根呢？（余2根）15根呢？（余3根）那16根呢？（沒有余數(shù)，正好擺4個“□”）。

師：仔細(xì)觀察這些算式及算式中的余數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：余數(shù)要小于除數(shù)。

教師用板書記錄下除法的兩種不同的分類，讓學(xué)生感受到“分到不能再分一份”或“不夠每份再分一個”所剩下的是“余數(shù)”。教學(xué)中，始終將“有余數(shù)的除法”放在“平均分”這個大背景下，將平均分中“恰好分完”“分后有剩余”這兩種不同的結(jié)果進(jìn)行對比，不僅幫助學(xué)生建構(gòu)起合理的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，而且還培養(yǎng)了學(xué)生分析、比較、歸納的能力。

總的來說，要落實(shí)《課標(biāo)（2011年版）》提出的運(yùn)算能力培養(yǎng)目標(biāo)，教師在運(yùn)算概念教學(xué)時就要充分利用學(xué)生原有的知識經(jīng)驗(yàn)和活動經(jīng)驗(yàn)，通過操作、比較等數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生理解四則運(yùn)算的基本概念，以實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)主體能力的全面提升。

（浙江省杭州市學(xué)軍小學(xué)紫金港校區(qū) 310012）