□朱希萍

逆向聯(lián)想 提升能力

□朱希萍

數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要敢于創(chuàng)設(shè)“反其道而思之”的練習(xí)素材，促使學(xué)生反過來聯(lián)想思考。具體來說，可以采取從問題的相反面深入探索、從結(jié)論往回推、倒過來思考等方式實施教學(xué)，從而發(fā)展學(xué)生的逆向思維，提升空間觀念、數(shù)感、計算能力、數(shù)據(jù)分析觀念和解決問題的能力。

逆向 聯(lián)想 思維 學(xué)習(xí)材料

逆向聯(lián)想是一種重要的思維方式，是對司空見慣的已成定論的事物或觀點反過來聯(lián)想思考的一種思維方式。下面就數(shù)學(xué)教學(xué)中如何創(chuàng)設(shè)逆向聯(lián)想材料、提升解決問題能力談幾點看法。

一、創(chuàng)設(shè)逆向聯(lián)想材料提升空間觀念及問題解決能力

空間觀念是課程改革的一個核心概念，主要表現(xiàn)在“能夠由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化”。這是一個包括觀察、想象、比較、綜合、抽象分析，由低級到高級不斷向前發(fā)展的認識客觀事物的過程。

小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何這部分內(nèi)容最重要的目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生具有初步的空間觀念和問題解決能力。

那么，如何在平面圖形的教學(xué)中創(chuàng)設(shè)逆向聯(lián)想材料來達到以上目的。下面筆者以復(fù)習(xí)“平面圖形的面積計算”為例來談具體做法。

出示思考題：如果已知一個圖形中兩條互相垂直的線段長度分別是8厘米、5厘米，就能計算出它的面積，你能想象出這是一個怎樣的平面圖形嗎？請在格子紙上畫一畫，并計算它的面積。（注：格子紙的每一小方格邊長為1厘米）

當(dāng)學(xué)生明白要求后，很快地就進入了想象的思考。教師在巡視中發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生，先想到的是長和寬分別是8厘米、5厘米的長方形，或者是直角邊分別為8厘米、5厘米的直角三角形；還有部分學(xué)生想到了底是8厘米、高是5厘米的其他三角形。思考片刻后有許多學(xué)生想到了平行四邊形。

接著教師又提出問題：除了三角形、平行四邊形之外，你還會想到什么圖形呢？

學(xué)生又一次進入沉思，在學(xué)生疑惑之時，教師在黑板上畫了兩條互相垂直，而垂足不在線段的端點上的情況。學(xué)生看到此圖忽然開朗，他們在格子紙上馬上畫出了如圖1的四邊形。并且很快地計算出了這個四邊形的面積是“8×3÷ 2+8×2÷2＝8×（3+2）÷2＝20（平方厘米）”。發(fā)現(xiàn)這個四邊形的面積與以上想到的所有三角形面積是相等的。

圖1

接著教師利用投影，先在投影上呈現(xiàn)一個底是8厘米、高是5厘米的三角形，并向?qū)W生提出問題：你們能繼續(xù)想象到與這個三角形面積相等的三角形嗎？你是通過怎樣的方法想到的？

教師根據(jù)學(xué)生的想象描述，在投影上演示（如圖2）。通過圖形的動態(tài)演示，使學(xué)生進一步理解等底、等高的三角形有無數(shù)個。

圖2

接著教師以同樣的方式，引導(dǎo)學(xué)生對同底、等高的平行四邊形進行想象變化（如圖3）。

圖3

再接著教師出示兩條對角線互相垂直的四邊形，如圖4中的左邊圖形。并提出問題：你觀察這個四邊形你還能想象到更多的面積相等的四邊形嗎？你是通過什么方法想到的？

教師根據(jù)學(xué)生的描述，利用投影作出動態(tài)的演示，如圖4中的右邊圖形。

圖4

學(xué)生觀察以上的動態(tài)演示，又領(lǐng)悟到了面積相等的四邊形也有無數(shù)個。在觀察中細心的學(xué)生還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這條5厘米的線段平移到在端點垂直時，剛好這個四邊形變成三角形了。

圖5

接著教師在投影上展示圖5，形成上、下兩個平行四邊形的圖形，讓學(xué)生計算這個圖形的面積。

通過計算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個圖形的面積與底與高分別是8厘米、5厘米的一個平行四邊形的面積是相等的。教師繼續(xù)引發(fā)學(xué)生想象，并再次利用投影的動態(tài)演示，使學(xué)生觀察驗證自己的想象，像這樣的圖形也有無數(shù)個。

以上教學(xué)給學(xué)生提供的條件，只是已知長度且互相垂直的兩條線段，并且通過這兩條線段就能計算出這個圖形的面積。要求學(xué)生把符合這樣條件的圖形重新進行想象，畫在格子紙上。顯然呈現(xiàn)這樣的逆向聯(lián)想素材，不僅僅是讓學(xué)生再次計算這些圖形的面積，而更重要的是讓學(xué)生在想象中再次認識計算這些圖形面積的相關(guān)條件，同時梳理出同底等高的三角形或同底等高的平行四邊形都有無數(shù)個。學(xué)生在想象中還延伸到對角線互相垂直的四邊形，并且知道這樣面積相等的四邊形也有無數(shù)個。更重要的是在圖4中學(xué)生能將四邊形變形成三角形，這樣的等積變形的思想是極其可貴的。

由此可見，我們采用這樣的逆向聯(lián)想方式，其主要目的是給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了更大的思維空間，學(xué)生以果索因，根據(jù)提供的條件，在想象聯(lián)想平面圖形的面積計算中熟練計算公式；在圖形動態(tài)想象、觀察中訓(xùn)練空間觀念，達到了最佳的梳理和訓(xùn)練效果。

二、創(chuàng)設(shè)逆向聯(lián)想材料提升數(shù)感與計算能力

（一）培養(yǎng)數(shù)感

數(shù)感是對數(shù)的感悟。對數(shù)意義的理解，是對數(shù)大小相對性的一種感覺，是對結(jié)果合理性的判斷，能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴ǖ取?shù)感的培養(yǎng)要體現(xiàn)在過程中，結(jié)合在教學(xué)實踐中。下面筆者結(jié)合“式與方程”來談?wù)劸唧w做法。

先說“式與方程”，它由“用字母表示數(shù)、解方程、用方程解決問題”三部分組成。學(xué)習(xí)這部分知識學(xué)生學(xué)習(xí)的薄弱點在哪里呢？在分析學(xué)生解題思維過程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生困難的根源是對未知數(shù)與已知數(shù)進行四則運算后，所表示出來的式子其含義的理解上出現(xiàn)了問題。為了突破這一難點，我們創(chuàng)設(shè)逆向聯(lián)想材料突出對意義的理解。

筆者在復(fù)習(xí)“式與方程”時先來回憶用字母表示數(shù)，如果用一個字母“x”表示一個數(shù)（板書：一個數(shù) x），你能想象一下這個字母“x”可以表示什么數(shù)呢？（學(xué)生說到了許多數(shù)，教師及時給予肯定：對了，這個字母可以表示我們所想象到的所有數(shù)）

緊接著教師隨手寫下“4x”，并提出問題：4x與x有什么關(guān)系呢？

生：4x表示x的4倍。

師：這里“x的4倍”的結(jié)果用“4x”表示，這“4x”就表示另一個數(shù)。

接著教師又隨手寫下“2x+4”，并提出問題：現(xiàn)在另一個數(shù)用這樣的式子表示，這另一個數(shù)又與x有什么關(guān)系呢？（學(xué)生又說出：另一個數(shù)是x的2倍還多4）

再接著教師又寫下“x÷2-4”，學(xué)生經(jīng)過思考說出：另一個數(shù)是x的一半還少4。

在以上教學(xué)中筆者特意突出另一個數(shù)與前一個數(shù)（用字母所表示的數(shù)）的關(guān)系，先出示式子，再讓學(xué)生針對式子表述與一個數(shù)的關(guān)系，使學(xué)生進一步理解一個式子同樣表示著一個數(shù)的含義。這樣倒過來根據(jù)式子理解意義，設(shè)計多元表征之間的轉(zhuǎn)換對學(xué)生來說既有趣又有意義。

（二）培養(yǎng)計算能力

運算能力是課程標(biāo)準(zhǔn)中重新加回的關(guān)鍵詞。運算能力的幾個基本特征是：正確、有據(jù)、合理、簡潔。如何培養(yǎng)學(xué)生正確、有據(jù)、合理、簡潔的運算能力呢？

如在復(fù)習(xí)六年級的“簡便計算”時，第一環(huán)節(jié)教師讓學(xué)生光做第一組的5道計算題，在學(xué)生計算后，又出示第二組的5道題。

與第一組的5道題比較，復(fù)習(xí)梳理了運算定律，接著通過改編各題的運算符號或數(shù)據(jù)提醒學(xué)生容易犯錯之處，從而小結(jié)引出：做題時要仔細觀察、認真分析、選擇方法。這樣既夯實了基礎(chǔ)，又重視了學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)。第二環(huán)節(jié)又出示3道題如下：

（20.8-12.49-7.51）÷2.5×40

（20.8-12.49+7.51）÷2.5÷40

(20.8-12.49-7.51)÷2.5÷40

在學(xué)生獨立計算后，通過與第一組題的學(xué)習(xí)比較，讓學(xué)生明確在計算中有時題目中的某一部分能簡便。運用運算定律簡便計算時一定要合理、靈活。

基于第一、第二環(huán)節(jié)中直接運用、部分應(yīng)用簡便計算的方法后，第三環(huán)節(jié)教師出示如下2題：

在這個環(huán)節(jié)中學(xué)生通過計算不由自主地得出轉(zhuǎn)化運用、過程應(yīng)用，再經(jīng)教師的點撥，梳理出簡便計算的4種類型（直接簡便、部分簡便、轉(zhuǎn)化簡便、過程簡便），讓學(xué)生形成了一個整體認識。

第四環(huán)節(jié)讓學(xué)生通過自主擴充算式，提升能力。

針對下面的算式，進行擴充算式，使擴充后的算式可以運用運算規(guī)律得到簡便。

出示第五組題如下：

學(xué)生在以上幾個環(huán)節(jié)中概括地掌握了簡便計算的幾種類型，在第四環(huán)節(jié)中讓學(xué)生根據(jù)提供的一步計算的式子擴編成可以運用運算規(guī)律簡便的式子。這樣的活動將教學(xué)推向了一個高潮，一方面源于學(xué)生對擴題有新鮮感，另一方面這樣讓學(xué)生自主編題，逆向思考題目的來源，可以使學(xué)生清晰理解簡便計算的幾種題型。

三、創(chuàng)設(shè)逆向聯(lián)想材料提升數(shù)據(jù)分析能力

新課程標(biāo)準(zhǔn)理念下將統(tǒng)計與概率改成數(shù)據(jù)分析。關(guān)鍵詞的改變，讓人們逐漸認識到對于這個領(lǐng)域的學(xué)習(xí)重要性絕不僅僅是畫統(tǒng)計圖、求平均數(shù)等技能的學(xué)習(xí)，而是要讓學(xué)生“親近”數(shù)據(jù)，加強對學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)。

例如在教學(xué)五年級下冊“折線統(tǒng)計圖”的復(fù)習(xí)課中，教師出示逆向聯(lián)想材料引發(fā)猜想。

教師給學(xué)生提供以下沒有標(biāo)題的三張圖，要求根據(jù)以下的學(xué)習(xí)要求讀懂圖的意思。

練習(xí)要求：

1.想一想：這三張圖分別統(tǒng)計了張亮和陳明的什么情況？給每張統(tǒng)計圖補上合適的標(biāo)題和橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的名稱。

學(xué)生經(jīng)過獨立思考小組交流后，教師組織學(xué)生集體交流。從反饋情況分析，學(xué)生合情地說出了第一張圖表示的是張亮和陳明兩位同學(xué)身高情況；第二張圖是表示這兩位同學(xué)的體重情況；第三張圖大部分同學(xué)都說出了是表示這兩位同學(xué)的考試分數(shù)情況。

2.讀了這三張統(tǒng)計圖后，你有什么想法想在小組里說一說嗎？

教師針對學(xué)生對每張圖的標(biāo)題、橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的表示組織評價，接著利用投影呈現(xiàn)三張完整的統(tǒng)計圖讓學(xué)生對照檢查。

再接著在每一圖上分別添加上標(biāo)準(zhǔn)身高、標(biāo)準(zhǔn)體重和班級的平均分（如下圖）。

以上我們先呈現(xiàn)的是張亮和陳明兩位同學(xué)的三張不同背景不完整的統(tǒng)計圖，要求學(xué)生從圖中相關(guān)數(shù)量的信息讀懂每張圖所反映的情況。這一過程也正是培養(yǎng)學(xué)生對折線統(tǒng)計圖解讀能力的過程。當(dāng)學(xué)生通過質(zhì)疑得到完整統(tǒng)計圖后，教師繼續(xù)在圖上呈現(xiàn)出標(biāo)準(zhǔn)身高、標(biāo)準(zhǔn)體重和班級平均分的折線，從而進一步豐富了學(xué)生的思考空間，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念。

四、創(chuàng)設(shè)逆向聯(lián)想材料提升解決問題能力

解決問題教學(xué)主要結(jié)合問題情境，注重問題情境的解讀，通過對數(shù)學(xué)問題的提煉、解題思路的訓(xùn)練、多種解題方法的展示，來培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。

在問題解決教學(xué)中變教師呈現(xiàn)問題為學(xué)生自主設(shè)計方案，他們針對自己所設(shè)計的方案、提供的材料進行觀察比較、質(zhì)疑或在拓展的過程中進行思考、提升、梳理。

例如給不同的商場設(shè)計不同的促銷方案。（同學(xué)們，前幾天老師逛街的時候，發(fā)現(xiàn)有三家商場出售作業(yè)本的價格都是每本0.5元，同一款商品，標(biāo)著不同的打折方法：耀達商場“九折優(yōu)惠”，你們說“三江購物”“陽光購物”該使用怎樣的促銷方案呢？這樣讓學(xué)生為兩個商場設(shè)計促銷方案，學(xué)生通過討論得出“三江購物”買5送1；“陽光購物”滿55元8折優(yōu)惠。再出示問題：六(1)班要買100本作業(yè)本,去哪家商店購買比較合算?請寫出思考過程。

這樣學(xué)生在設(shè)計方案的過程中要考慮：方案既要吸引顧客的眼球，又要讓商家有利可圖，然后通過問題解決提升能力。使學(xué)生在現(xiàn)實情境中思考，在方案設(shè)計中提升，在質(zhì)疑中梳理。

又如，在復(fù)習(xí)百分數(shù)應(yīng)用題時，教師與學(xué)生一起梳理了百分數(shù)應(yīng)用題的類型及解決方法后，讓學(xué)生回憶分數(shù)百分數(shù)應(yīng)用的類型有哪些，并用式子來表示，算式有：

①800×80% ②800÷80%

③ 800×（1-20%） ④800÷（1-20%）

⑤ 800×（1+20%） ⑥ 800÷（1+20%）

⑦800÷（1-20%-40%）……

讓學(xué)生再根據(jù)算式猜猜他們可能會碰到生活中的哪些問題，即根據(jù)算式編題。這樣提供逆向材料（算式）讓學(xué)生自主梳理百分數(shù)應(yīng)用題的類型，在編題的過程中清晰百分數(shù)的題型，提高了分析問題解決問題的能力。

總之，在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識提升解決問題能力的過程中，即要注重順應(yīng)、同化的教學(xué)手段，也可向?qū)W生呈現(xiàn)逆向聯(lián)想材料，以果索因，正逆互換，提升解決問題的能力。

（浙江省臨海大洋小學(xué) 317000）