□王康道

在數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)活動(dòng)中進(jìn)行概念教學(xué)*

□王康道

對(duì)概念的認(rèn)識(shí)不是從概念開始的，而是從圍繞著它的其他途徑（思維途徑）開始的，概念是認(rèn)識(shí)過程的結(jié)果。數(shù)學(xué)教學(xué)要通過數(shù)學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生親身經(jīng)歷對(duì)現(xiàn)實(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)化的過程，使數(shù)學(xué)變成他們自己“再創(chuàng)造”的產(chǎn)物，而不是成人強(qiáng)加給他們的東西。

數(shù)學(xué)化 概念 長方體的表面積

我國著名數(shù)學(xué)教育家曹才翰說過“概念是思維的”，數(shù)學(xué)概念作為數(shù)學(xué)課程最基本的思維“細(xì)胞”是構(gòu)成整個(gè)數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ)。所以說概念是數(shù)學(xué)的靈魂、根本。把握這些概念的教學(xué)，使學(xué)生領(lǐng)悟概念的本質(zhì)是實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)的根本。那么，如何領(lǐng)悟概念的本質(zhì)而不是記憶或背誦概念的形式化的定義？筆者認(rèn)為，教學(xué)時(shí)，關(guān)鍵是要把握兩個(gè)核心要素：一是學(xué)生經(jīng)歷怎樣的數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過程形成概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)？二是教師如何指導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)活動(dòng)中領(lǐng)悟概念的本質(zhì)？下面以“長方體的表面積”教學(xué)為例，談?wù)剶?shù)學(xué)化視角下小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略。

【探明學(xué)情】

課前，以“預(yù)習(xí)案”為拐杖，指導(dǎo)學(xué)生有序的“先學(xué)”。一是基于問題指導(dǎo)學(xué)生閱讀課本上的學(xué)習(xí)材料，學(xué)生初步感知教學(xué)內(nèi)容所指向的新的、未知的東西，知道要學(xué)什么數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)了什么，存在怎樣的困惑，從而帶著問題和思考走進(jìn)課堂；二是教師對(duì)學(xué)生預(yù)習(xí)的情況進(jìn)行檢查，分析和把握學(xué)情：學(xué)生現(xiàn)有發(fā)展水平怎樣？具有怎樣的數(shù)學(xué)知識(shí)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀康鹊?，基于學(xué)情設(shè)計(jì)適合學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化活動(dòng)的具體情境，學(xué)生在問題解決的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，建構(gòu)小學(xué)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如在教學(xué)“長方體的表面積”一課時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了如下的“預(yù)習(xí)”提綱：圖1是一個(gè)微波爐的包裝箱，填一填。

1.這個(gè)微波爐的包裝箱的正面是什么形狀？長和寬各是多少？和它相同的面是哪個(gè)？

2.它的右面是什么形狀？長和寬各是多少？和它相同的面是哪個(gè)？

3.哪幾個(gè)面的長是0.7米，寬是0.5米？

圖1

【學(xué)習(xí)過程】

活動(dòng)一：

電腦呈現(xiàn)一個(gè)微波爐的包裝箱（圖1）。

問題：你知道了哪些數(shù)學(xué)信息？

生：這個(gè)微波爐包裝箱是一個(gè)長0.7米，寬0.5米，高0.4米的長方體。

生：這個(gè)微波爐包裝箱有6個(gè)面，每個(gè)面都是長方形，上下面、前后面和左右面是完全相同的。

師：這個(gè)微波爐的包裝箱正面是什么形狀？長和寬各是多少？

生：正面是一個(gè)長方形，長0.7米，寬0.4米。

師：你是怎樣想到的呢？

生：（學(xué)生動(dòng)手描一描）微波爐包裝箱正面的長方形是由長方體的長、高這些棱圍成的。

生：長方體的長是0.7米，高是0.4米，所以這個(gè)微波爐的包裝箱正面是一個(gè)長0.7米，寬0.4米的長方形。

師：（閉上眼睛想一想）這個(gè)微波爐包裝箱的右面、上面各是什么形狀？長和寬各是多少？

生：右面是一個(gè)長0.5米，寬0.4米的長方形，上面是一個(gè)長0.7米，寬0.5米的長方形。

活動(dòng)二：

問題：做一個(gè)微波爐的包裝箱，至少要用多少平方米的硬紙板？（學(xué)生自主探究，合作交流）

方法一：

生：0.7×0.5+0.7×0.5+0.7×0.4+0.7×0.4+0.5× 0.4+0.5×0.4＝1.66（平方米）

師：大家能明白嗎？誰知道他算式中的每一步都在算哪個(gè)面的面積？

生：兩個(gè)0.7×0.5分別算的是上下兩個(gè)面，兩個(gè)0.7×0.4分別算的是前后兩個(gè)面，兩個(gè)0.5×0.4分別算的是左右兩個(gè)面。

師：誰來概括剛才這位同學(xué)的方法？

生3：長×寬+長×寬+長×高+長×高+寬×高+寬×高。

方法二：

生：根據(jù)長方體面的特征，我把它們分為三組，然后計(jì)算6個(gè)面的面積。算式是0.7×0.5×2+ 0.7×0.4×2+0.5×0.4×2＝1.66（平方米）。

師：為什么？

生：因?yàn)殚L方體相對(duì)的兩個(gè)面的面積相等，所以可以一對(duì)一對(duì)地算。

師：這個(gè)方法請(qǐng)每個(gè)同學(xué)用文字概括出來，自己讀一讀，想一想分別算了哪兩個(gè)面的面積。

生：長×寬×2+長×高×2+寬×高×2。

方法三：

生：根據(jù)長方體面的特征，我把長方體的6個(gè)面的面積分為兩組。不同的三個(gè)面為一組。比如，上面、正面、右面為一組。（0.7×0.5+0.7×0.4+0.5× 0.4）×2＝1.66（平方米）。

師：誰能解釋這個(gè)算式？

生：0.7×0.5+0.7×0.4+0.5×0.4分別算出上面、正面、右面三個(gè)面積的和，“×2”就是還有一組三個(gè)對(duì)應(yīng)的面，分別是下面、后面、左面。

師：請(qǐng)大家把這種計(jì)算方法用文字概括。

生：（長×寬+長×高+寬×高）×2。

活動(dòng)三：

師：比較解決“至少要用多少平方米的硬紙板”數(shù)學(xué)問題的三種方法，你得出什么結(jié)論？

生：第一種方法一個(gè)面一個(gè)面計(jì)算，比較麻煩，后面兩種方法一組一組地算，比較簡(jiǎn)便。

生：無論采用哪種方法，都是求長方體6個(gè)面的總面積。

師：長方體6個(gè)面的總面積，叫作它的表面積。通過研究，可以發(fā)現(xiàn)長方體的表面積和它的面有關(guān)，其實(shí)就是跟它的長、寬、高有關(guān)系，我們要找準(zhǔn)每個(gè)面的長和寬。

【思考】

一、在數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)過程中“再創(chuàng)造”概念的形式

數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過程應(yīng)遵循布魯納關(guān)于兒童思維發(fā)展的認(rèn)知規(guī)律：操作水平、表象水平和分析水平。那么，學(xué)生經(jīng)歷怎樣的數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過程“再創(chuàng)造”概念的形式，形成概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)呢？教學(xué)時(shí)，圍繞解決“做一個(gè)微波爐包裝箱，至少要用多少硬紙板？”這一實(shí)際問題，設(shè)計(jì)了三個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，活動(dòng)一：遵循點(diǎn)、線、面認(rèn)識(shí)圖形的規(guī)律，理解“要做一個(gè)怎樣的微波爐包裝箱”的這一數(shù)學(xué)信息。做一個(gè)長0.7米，寬0.5米，高0.4米長方體微波爐包裝箱，這個(gè)微波爐包裝箱是由6個(gè)相對(duì)面面積相等的長方形圍成的立體圖形，建構(gòu)長方體的每個(gè)面是由哪些棱圍成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，如前面的面是由長方體的長（0.7米）和高（0.4米）圍成的長方形，右面的面是由長方體的寬（0.5米）和高（0.4米）圍成的長方形，等等。那么，學(xué)生經(jīng)歷橫向數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過程，建立數(shù)學(xué)和生活之間的聯(lián)系，理解數(shù)學(xué)概念的本源?；顒?dòng)二：解決“至少要用多少硬紙板”這一實(shí)際問題，啟發(fā)思考“怎樣計(jì)算長方體6個(gè)面的總面積？”這一問題關(guān)鍵所在，引導(dǎo)學(xué)生把計(jì)算長方體每個(gè)面的面積轉(zhuǎn)化成計(jì)算每個(gè)長方形的面積，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，這樣，學(xué)生經(jīng)歷縱向數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過程，建立抽象數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，形成數(shù)學(xué)概念之間縱向聯(lián)結(jié)的網(wǎng)絡(luò)?；顒?dòng)三：在解決問題的學(xué)習(xí)過程中，通過比較、概括和抽象長方體表面積這一概念的形式化的定義，也就是長方體6個(gè)面的總面積?？傊趯W(xué)情和遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律設(shè)計(jì)體現(xiàn)不同水平的學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)生親歷概念的形成過程，在這一數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過程中逐步抽象和概括出概念形式化的定義。

二、在數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)活動(dòng)中指導(dǎo)學(xué)生把握概念的本質(zhì)

把握概念的本質(zhì)是有效教學(xué)的根本。長方體的表面積這一概念是由“長方體”“6個(gè)面”“總面積”這幾個(gè)頻繁出現(xiàn)的詞語構(gòu)成的，這是長方體的表面積形式化的定義，那么，這一數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)是什么呢？筆者認(rèn)為，是求6個(gè)長方形的總面積。既然如此，教學(xué)時(shí)，關(guān)鍵是要指導(dǎo)學(xué)生理解一個(gè)核心要素：每個(gè)長方形是由長方體的哪些棱圍成的？那么，教師如何指導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)活動(dòng)中把握概念的本質(zhì)，而不是記憶或背誦概念的形式化的定義？筆者認(rèn)為可以向?qū)W生提供現(xiàn)實(shí)的、有數(shù)學(xué)意義的、富有挑戰(zhàn)性的問題情境：用硬紙板做一個(gè)長0.7米，寬0.5米，高0.4米的微波爐包裝箱，至少要用多少平方米的硬紙板？指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)做一個(gè)微波爐包裝箱需要的硬紙板就是“求6個(gè)長方形的面積”這一數(shù)學(xué)事實(shí)；啟發(fā)學(xué)生思考一個(gè)數(shù)學(xué)問題：每個(gè)長方形的長和寬是由長方體的哪些棱圍成的？向?qū)W生提供充分的主動(dòng)進(jìn)行探究、推理和交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，建立長方體的三條棱（長、寬和高）和長方形的長和寬之間橫向聯(lián)系的紐帶。接著，引導(dǎo)學(xué)生親歷解決“至少要用多少平方米硬紙板”這一數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)，由于學(xué)生的思考角度不同，會(huì)選用不同的方法進(jìn)行計(jì)算，通過交流、比較，理解各種算法。最后，在解決問題的過程中形成解決問題的策略和方法，抽象、概括出長方體的表面積這一數(shù)學(xué)概念，從內(nèi)容到形式，從形式到內(nèi)容，自主建構(gòu)“長方體表面積”這一數(shù)學(xué)概念的形式和內(nèi)容。總之，教師的責(zé)任是創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化活動(dòng)的具體情境，有效地指導(dǎo)他們積極參與到數(shù)學(xué)化活動(dòng)中去，傾聽他們對(duì)概念本質(zhì)的理解。

（廣州市增城區(qū)教育局教研室 511300）

*本文是廣州市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“‘先學(xué)后導(dǎo)’在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：2013B461）的研究成果之一。