抓住基本圖形 巧添輔助線

張瓊

七年級(jí)同學(xué)們剛剛接觸平面幾何，難免會(huì)碰到需要添加輔助線的題目，此時(shí)，同學(xué)們普遍感覺這類題目比較難.許多同學(xué)常常會(huì)向老師提出這樣的問題：“老師，為什么要添加這條輔助線？”要解決這些問題，同學(xué)們就要掌握添加輔助線更一般的規(guī)律.

平面幾何可以通過不同圖形的不同組合而發(fā)生無窮變化，一個(gè)幾何問題，經(jīng)過分析后，都一定會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)事實(shí)：它是由一個(gè)或若干個(gè)最簡(jiǎn)單最基本的圖形組成的，我們把這些最簡(jiǎn)單最基本的圖形稱為基本圖形.

下面以《七年級(jí)下冊(cè)補(bǔ)充習(xí)題》上一道習(xí)題為例.

如圖1，已知AB∥CD.

求證：∠ABE+∠BEC+∠DCE=360°.

首先，學(xué)會(huì)基本圖形的識(shí)別.

人們常常感嘆于優(yōu)秀生反應(yīng)快，并把原因歸結(jié)為“此人天生聰穎”.實(shí)際上，優(yōu)秀生之所以快，是因?yàn)樗麄兩朴趯⒁恍┗締栴}進(jìn)行模塊化，把它們的結(jié)構(gòu)和圖形儲(chǔ)存在腦海中，到用的時(shí)候能迅速浮現(xiàn)出來.這好比電腦快是因?yàn)閮?chǔ)存了大量的程序一樣.因此，要想做到快速識(shí)別基本圖形，平時(shí)就應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地歸納和識(shí)記基本圖形.譬如要解答此題，就應(yīng)當(dāng)先熟練掌握“兩條平行線被第三條直線所截”的基本圖形.

本題條件中出現(xiàn)了一組平行線：AB∥CD，所以考慮用“兩條平行線被第三條直線所截”的基本圖形進(jìn)行證明.給出的圖形中，發(fā)現(xiàn)基本圖形不完整，所以需要添加輔助線，根據(jù)思考規(guī)律，分為兩種情況：

①添加第三條直線；

②添加平行線.

其次，添加輔助線，構(gòu)造基本圖形.

（一） 添加第三條直線

在給出的圖形中，沒有直接與AB、CD都相交的第三條直線，所以根據(jù)這個(gè)基本圖形的思考規(guī)律，需要添加第三條直線.由于兩平行線AB、CD可能被各種位置不同的第三條直線所截，所以就會(huì)出現(xiàn)添加輔助線的多種可能情況.

（1） 若兩平行線AB、CD被直線BC所截，由于圖中沒有直線BC，故連接BC，如圖2.

證明（略）.

（2） 若兩平行線AB、CD被直線BE（或CE）所截，由于BE與CD沒有相交，所以基本圖形不完整，故延長(zhǎng)BE、DC交于F，如圖3.

證明（略）.

（3） 若兩平行線AB、CD被過點(diǎn)C且與AB、CD相交的直線所截，則可以過點(diǎn)C作CF交AB于F，如圖4.

證明（略）.

（二） 添加平行線

若把BE（或CE）看作是截一組平行線的第三條直線，那么還缺少一條平行線，故過點(diǎn)E作EF∥AB.這里有兩種情況：

（4） 平行線AB、CD與EF構(gòu)成同旁內(nèi)角，如圖5.

證明（略）.

（5） 平行線AB、CD與EF構(gòu)成內(nèi)錯(cuò)角，如圖6.

證明（略）.

第三，對(duì)添加輔助線再思考.

基本圖形的輔助線添加，首先需要根據(jù)題目條件和結(jié)論識(shí)別出基本圖形，要做到這一點(diǎn)，需要在做完題后，進(jìn)行如下的反思：自己是怎樣想出來的？有沒有別的方法？不同的解法有沒有共同的東西？能把這個(gè)共同的東西應(yīng)用于另外一些題目嗎？如果發(fā)現(xiàn)這個(gè)思考方法具有普遍性，那么要把它整理出來，因?yàn)檫@就是一個(gè)基本圖形.當(dāng)我們總結(jié)的基本圖形越多，再碰到相關(guān)題目的時(shí)候，就越容易識(shí)別基本圖形，使之容易得到解決.

（作者單位：江蘇省丹陽(yáng)市華南實(shí)驗(yàn)學(xué)校）