辨析平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)

李紅

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)從不同側(cè)面給我們提供了同一組數(shù)據(jù)的面貌，都是描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的“特征數(shù)”.三者都可以作為一組數(shù)據(jù)的代表，但是它們反映數(shù)據(jù)的特征有所不同.學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的難點(diǎn)是理解這三個(gè)量之間的區(qū)別，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

1. 意義和求法不同

平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的商叫這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從大到小（或從小到大）排列，處在最中間位置的一個(gè)數(shù)或最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).只要找，不必計(jì)算就可求出.

例1 若五個(gè)正整數(shù)的中位數(shù)是3，唯一的眾數(shù)是7，則這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)是_______.

【分析】首先根據(jù)眾數(shù)與中位數(shù)的定義，得出這五個(gè)數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，再根據(jù)一組數(shù)據(jù)由五個(gè)正整數(shù)組成，得出其它兩個(gè)數(shù)，最后由平均數(shù)的意義得出結(jié)果.

解：∵五個(gè)正整數(shù)的中位數(shù)是3，唯一的眾數(shù)是7，

∴知道的三個(gè)數(shù)是3，7，7.

∵一組數(shù)據(jù)由五個(gè)正整數(shù)組成，

∴另兩個(gè)為1，2.

∴這五個(gè)正整數(shù)的平均數(shù)是（1+2+3+7+7）÷5=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的意義，掌握平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

2. 個(gè)數(shù)不同

在一組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)和中位數(shù)都具有惟一性，但眾數(shù)有時(shí)不具有唯一性.在一組數(shù)據(jù)中，可能不止一個(gè)眾數(shù)，也可能沒(méi)有眾數(shù).

3. 呈現(xiàn)形式不同

平均數(shù)：是一個(gè)“虛擬”的數(shù)，是通過(guò)計(jì)算得到的，它不是數(shù)據(jù)中的原始數(shù)據(jù)，它可能與原數(shù)據(jù)中的某一個(gè)相同，也可能與原數(shù)據(jù)中的任何一個(gè)都不同.

中位數(shù)：是一個(gè)不完全“虛擬”的數(shù).當(dāng)一組數(shù)據(jù)是奇數(shù)個(gè)時(shí)，它就是該組數(shù)據(jù)排序后最中間的那個(gè)數(shù)據(jù)，是這組數(shù)據(jù)中真實(shí)存在的一個(gè)數(shù)據(jù)；但在數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)的情況下，中位數(shù)是最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，只有當(dāng)中間的兩個(gè)數(shù)相同時(shí)，它才與這組數(shù)據(jù)中的兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)據(jù)相同，是數(shù)據(jù)中的一個(gè)真實(shí)的數(shù)，如果正中間的兩個(gè)數(shù)不同，此時(shí)的中位數(shù)就是一個(gè)“虛擬”的數(shù).

眾數(shù)：是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的原數(shù)據(jù)，它是真實(shí)存在的.但當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都出現(xiàn)相同次數(shù)時(shí)，這組數(shù)據(jù)就沒(méi)有眾數(shù)了.

例2 公園里有甲、乙兩群游客正在做團(tuán)體游戲，兩群游客的年齡如下（單位：歲）：

甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；

乙群：3，4，4，5，5，6，6，6，54，57.

解答下列問(wèn)題（直接填在橫線上）：

（1） 甲群游客的平均年齡是_______歲，中位數(shù)是_______歲，眾數(shù)是_______歲，其中能較好反映甲群游客年齡特征的是_______.

（2） 乙群游客的平均年齡是_______歲，中位數(shù)是_______歲，眾數(shù)是_______歲，其中能較好反映乙群游客年齡特征的是_______.

【分析】平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)都是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量，當(dāng)一組數(shù)據(jù)的大小比較接近時(shí)（如甲群游客），三個(gè)量也比較接近；當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有個(gè)別數(shù)特別大或特別小時(shí)（如乙群游客），它就會(huì)影響平均數(shù)的大小，但不影響中位數(shù)、眾數(shù)，此時(shí)可由中位數(shù)或眾數(shù)反映這組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).

【答案】（1） 15，15，15，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；

（2） 15，5.5，6，中位數(shù)、眾數(shù).

4. 代表不同

平均數(shù)：反映了一組數(shù)據(jù)的平均大小，常用來(lái)代表數(shù)據(jù)的總體 “平均水平”.

中位數(shù)：像一條分界線，將數(shù)據(jù)分成前后兩部分，因此用來(lái)代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”.

眾數(shù)：反映了出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，用來(lái)代表一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”.

這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量雖然有所不同，但都可以反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，都可以作為一組數(shù)據(jù)一般水平的代表.

例3 某車間準(zhǔn)備采取每月任務(wù)定額，超產(chǎn)有獎(jiǎng)的措施提高工作效率，為制定一個(gè)恰當(dāng)?shù)纳a(chǎn)定額，從該車間200名工人中隨機(jī)抽取20人統(tǒng)計(jì)其某月產(chǎn)量如下：

（1） 請(qǐng)應(yīng)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，為制定生產(chǎn)定額的管理者提供有用的參考數(shù)據(jù)；

（2） 你認(rèn)為管理者將每月每人的生產(chǎn)定額定為多少最合適？為什么？

（3） 估計(jì)該車間全年可生產(chǎn)零件多少個(gè)？

【分析】在確定生產(chǎn)定額時(shí)，需參考的數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)有：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù). 合理的生產(chǎn)定額應(yīng)確定在使多數(shù)人經(jīng)過(guò)努力能夠完成或超額完成的基礎(chǔ)上. 如果將眾數(shù)280定為生產(chǎn)定額，則絕大多數(shù)工人不需太努力就可完成任務(wù)，這就不利于提高工作效率；若將平均數(shù)305定為生產(chǎn)定額，則多數(shù)工人不可能超產(chǎn)，甚至完不成定額，會(huì)挫傷工人的積極性.

解：（1） 平均數(shù)305，中位數(shù)290，眾數(shù)280；

（2） 取中位數(shù)290作為生產(chǎn)定額較合適，原因是這個(gè)定額使多數(shù)工人經(jīng)過(guò)努力能完成或超額完成；

（3） 305×12×200=7.32×105（個(gè)），估計(jì)全年總產(chǎn)量約為7.32×105個(gè).

5. 特點(diǎn)不同

平均數(shù)的計(jì)算中要用到每一個(gè)數(shù)據(jù)，因而它反映的是一組數(shù)據(jù)的總體水平，選擇特征數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)時(shí)，我們用得最多的是平均數(shù)，用它作為一組數(shù)據(jù)的代表，比較可靠和穩(wěn)定， 但容易受到極端數(shù)據(jù)的影響.

中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)的中間量，代表了中等水平.中位數(shù)在一組數(shù)據(jù)的數(shù)值排序中處于中間位置，在統(tǒng)計(jì)學(xué)分析中扮演著“分水嶺”的角色，由中位數(shù)可以對(duì)事物的大體趨勢(shì)進(jìn)行判斷和掌控.如果在一組相差較大的數(shù)據(jù)中，用中位數(shù)作為這組數(shù)據(jù)特征的統(tǒng)計(jì)量往往更有意義.

眾數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平，若一組數(shù)據(jù)中眾數(shù)的頻數(shù)比較大，并且與其他數(shù)據(jù)的頻數(shù)相差較大時(shí)，我們一般選用眾數(shù).還要特別注意如下例題：某班42名同學(xué)，年齡11歲的有24個(gè)人，年齡10歲的有8個(gè)人，年齡12歲的有6個(gè)人，年齡超過(guò)12歲的有4個(gè)人.則該班同學(xué)年齡分布的眾數(shù)為11歲，它表明該班年齡為11歲的同學(xué)最多（注意眾數(shù)不是24人）.

例4 某班7個(gè)合作學(xué)習(xí)小組人數(shù)如下：4、5、5、x、6、7、8，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是6，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）.

A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 7

【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義先求出這組數(shù)據(jù)中的x，再將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，然后找出最中間的數(shù)即可.

解：∵4、5、5、x、6、7、8的平均數(shù)是6，

∴（4+5+5+x+6+7+8）÷7=6， 解得：x=7，

將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為4、5、5、6、7、7、8， 最中間的數(shù)是6.

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6，故選C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了中位數(shù)，掌握中位數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個(gè)數(shù)（最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）.

這三種特征數(shù)都可以作為一組數(shù)據(jù)的代表，但它們所表示的意義是不同的.選用它們表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)時(shí)，一般是遵循“多數(shù)原則”，即哪種特征數(shù)能代表這組數(shù)據(jù)的絕大多數(shù).我們解題時(shí)要正確選用合適的特征數(shù)來(lái)說(shuō)明、評(píng)價(jià)、分析實(shí)際問(wèn)題，避免誤用和濫用.

6. 作用不同

平均數(shù)：是統(tǒng)計(jì)中最常用的數(shù)據(jù)代表值，平均數(shù)既可以描述一組數(shù)據(jù)本身的整體平均情況，也可以用來(lái)作為不同組數(shù)據(jù)比較的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).因此，它在生活中應(yīng)用最廣泛，比如我們經(jīng)常所說(shuō)的平均成績(jī)、平均身高、平均體重等.

中位數(shù)：作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性比較差，因?yàn)樗焕昧瞬糠謹(jǐn)?shù)據(jù).但當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個(gè)別數(shù)據(jù)偏大或偏小時(shí)，用中位數(shù)來(lái)描述該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)就比較合適.

眾數(shù)：作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性也比較差，因?yàn)樗仓焕昧瞬糠謹(jǐn)?shù)據(jù).在一組數(shù)據(jù)中，如果個(gè)別數(shù)據(jù)有很大的變動(dòng)，且某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多，此時(shí)用該數(shù)據(jù)（即眾數(shù)）表示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”就比較適合.

例5 某校為舉行百年校慶，決定從高二年級(jí)300名男生中挑選80人組成儀仗方隊(duì)，現(xiàn)隨機(jī)抽測(cè)10名高二男生的身高如下（單位：米）：1.69，1.75，1.70，1.65，1.72，1.69，

1.71，1.68，1.71，1.69. 試確定參加儀仗方隊(duì)學(xué)生的最佳身高值.

【分析】理想的儀仗方隊(duì)?wèi)?yīng)由身材較高，且高矮一致的人組成，因此身高的挑選標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)由身高中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值所確定.

解：上面10個(gè)數(shù)據(jù)中的眾數(shù)為1.69米，說(shuō)明全年級(jí)身高為1.69米的男生最多，估計(jì)約有90人，因此將挑選標(biāo)準(zhǔn)定在1.69米，便于組成身高整齊的儀仗方隊(duì).

例6 甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在6次百米跑訓(xùn)練中成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬好耄?/p>

請(qǐng)你比較這兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)，談?wù)勀愕目捶?

【分析】本題需比較兩人成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來(lái)衡量?jī)扇顺煽?jī)水平情況.

解：甲運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)的眾數(shù)是10.8，中位數(shù)是10.85，平均數(shù)為10.9；

乙運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)是10.9，中位數(shù)是10.85，平均數(shù)為10.8.

從兩人成績(jī)的眾數(shù)看，甲的成績(jī)好于乙的成績(jī)；

從兩人成績(jī)的中位數(shù)看，兩人的成績(jī)相同；

從兩人成績(jī)的平均數(shù)看，乙的成績(jī)好于甲的成績(jī).

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）