闞麗波

平面向量與幾何問題的綜合及應(yīng)用通常涉及角度、平行、垂直、共線、共點(diǎn)等問題。我們將通過下面的典型問題向大家展示向量作為強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，在解決幾何問題方面不俗的表現(xiàn)。

一、利用向量共線解決兩直線平行問題

在平面向量中兩個向量平行指如果有一個實(shí)數(shù)λ，使b=λa（a≠0），那么b與a是共線向量；反之，如果b與a（a≠0）是共線向量，那么有且只有一個實(shí)數(shù)λ，使b=λa。而兩直線平行并不能等同為兩條直線共線，它要求兩直線不重合。

例1 已知A（0，-2），B（2，2），C（3，4），求證：A，B，C三點(diǎn)共線。

分析 點(diǎn)共線可以與向量共線相互轉(zhuǎn)化。

二、利用向量數(shù)量積為0解決垂直問題

利用平面向量的數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算可以用來解決解析幾何中有關(guān)軌跡方程的問題。

例2 證明：圓x²+y²=r²上一點(diǎn)M（x₀，y₀）處的切線的方程為xx₀+yy₀=r²。

分析 過圓上的一點(diǎn)的切線性質(zhì)即：切線與過切點(diǎn)的半徑互相垂直。

證明 設(shè)切線上除切點(diǎn)M外任意一點(diǎn)P（x，y），由圓的切線性質(zhì)可知，OM⊥MP，

點(diǎn)評 利用向量的方法，我們可以省去對直線的斜率存在情況的討論，這體現(xiàn)了向量方法的簡捷性。

三、利用兩向量所成的角求兩直線所成的角

在平面向量中兩個向量所成角的范圍是[0，π]，而兩條直線所成的角指兩直線相交所成的四個角中最小的一個角，即兩條直線所成的角的范圍是[0，π/2]。

例3 已知直線l₁：x一2y=0和l₂：x+3y-1-0，求直線l₁和l₂的夾角。

分析 我們只要分別在兩直線上截取向量，運(yùn)用向量所成的角與直線所成的角的相互關(guān)系即可解決。

解 在l₁上取兩點(diǎn)，如（2，1），（0，0），記向量a=（2，1）-（0，0）=（2，1）；在l₂上取兩點(diǎn)，如（4，-1），（1，0），記向量b=（4，-1）-（1，0）=（3，-1），

所以θ=π/4，因?yàn)閘₁和l₂的夾角為銳角，所以直線l₁和l₂的夾角為π/4。

向量作為一種解題工具，它的靈活運(yùn)用能夠簡化我們的運(yùn)算。同學(xué)們只要細(xì)心觀察，還將有好多的例子，相信你們能更加“喜歡”向量。