平面向量夾角問題的易錯剖析

李鵬

通過向量的數(shù)量積及其相關(guān)運算探究兩個向量的夾角問題，考生常常因為概念不清、考慮問題不全面等原因而導(dǎo)致錯誤，現(xiàn)就此類問題在解題中常見的易錯點剖析如下。

1.向量夾角的概念不清

剖析 在本題中，向量α，b的夾角并不是∠ABC，因為它們并沒有從同一個起點出發(fā)，我們可以通過平移讓兩個向量的起點重合（圖2），不難發(fā)現(xiàn)它們的夾角其實是∠ABC的補角。

總結(jié) 尋找向量的夾角時，必須讓兩個向量從同一個起點出發(fā)，即將兩個向量的起點通過平移放到同一點處，這時所形成的角才是向量的夾角。

2.忽視向量夾角的范圍

此外本題還能利用數(shù)形結(jié)合的思想，將向量a，b在坐標系中畫出來，如圖3所示，將兩個向量的起點都放在坐標原點，此時向量a的終點落在第二象限，向量b的終點落在y軸上半軸上，很明顯它們的夾角是α-π/2。

總結(jié) 根據(jù)向量夾角的定義，平面內(nèi)任意兩個向量夾角的取值范圍為[0，丌]，做題中不能忽視這一點，以免出現(xiàn)錯誤。

3.忽視向量夾角為特殊值的情況

剖析 本題錯解誤認為兩非零向量α與c夾角為銳角的充要條件是α·c>0。事實上，當夾角為0時，對于非零向量α和c，仍有α·c>0成立。

總結(jié) 從這道題可看出，在判斷兩非零向量夾角的范圍時，不能簡單通過數(shù)量積大于0或者小于0來判斷。非零向量的夾角與數(shù)量積存在如下關(guān)系：

向量夾角雖然在教材中所占內(nèi)容不多，求夾角的公式也只是數(shù)量積公式的變形，但是在實際解題中，經(jīng)常會出現(xiàn)一些錯誤，同學(xué)們一定要引起足夠的重視。endprint