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      平面向量夾角問題的易錯剖析

      2018-03-13 18:58:09李鵬
      新高考·高二數(shù)學(xué) 2017年8期
      關(guān)鍵詞:易錯剖析夾角

      李鵬

      通過向量的數(shù)量積及其相關(guān)運算探究兩個向量的夾角問題,考生常常因為概念不清、考慮問題不全面等原因而導(dǎo)致錯誤,現(xiàn)就此類問題在解題中常見的易錯點剖析如下。

      1.向量夾角的概念不清

      剖析 在本題中,向量α,b的夾角并不是∠ABC,因為它們并沒有從同一個起點出發(fā),我們可以通過平移讓兩個向量的起點重合(圖2),不難發(fā)現(xiàn)它們的夾角其實是∠ABC的補角。

      總結(jié) 尋找向量的夾角時,必須讓兩個向量從同一個起點出發(fā),即將兩個向量的起點通過平移放到同一點處,這時所形成的角才是向量的夾角。

      2.忽視向量夾角的范圍

      此外本題還能利用數(shù)形結(jié)合的思想,將向量a,b在坐標系中畫出來,如圖3所示,將兩個向量的起點都放在坐標原點,此時向量a的終點落在第二象限,向量b的終點落在y軸上半軸上,很明顯它們的夾角是α-π/2。

      總結(jié) 根據(jù)向量夾角的定義,平面內(nèi)任意兩個向量夾角的取值范圍為[0,丌],做題中不能忽視這一點,以免出現(xiàn)錯誤。

      3.忽視向量夾角為特殊值的情況

      剖析 本題錯解誤認為兩非零向量α與c夾角為銳角的充要條件是α·c>0。事實上,當夾角為0時,對于非零向量α和c,仍有α·c>0成立。

      總結(jié) 從這道題可看出,在判斷兩非零向量夾角的范圍時,不能簡單通過數(shù)量積大于0或者小于0來判斷。非零向量的夾角與數(shù)量積存在如下關(guān)系:

      向量夾角雖然在教材中所占內(nèi)容不多,求夾角的公式也只是數(shù)量積公式的變形,但是在實際解題中,經(jīng)常會出現(xiàn)一些錯誤,同學(xué)們一定要引起足夠的重視。endprint

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