夏金艷

“楊輝三角中的一些秘密”是人教A版選修2—3第一章后的“探究與發(fā)現(xiàn)”。楊輝三角蘊含了豐富的數(shù)字規(guī)律和數(shù)學思想方法，具有數(shù)學中的對稱美、簡潔美、和諧美以及數(shù)字的神奇美和數(shù)形結(jié)合的統(tǒng)一美。筆者以這節(jié)課的教學為例，談?wù)勅绾卧跀?shù)學課堂中滲透美育。

一、在情境中欣賞美

為了激發(fā)學生的學習興趣，教師利用生活實例——縱橫路線圖導入新課。

2012年倫敦奧運會上，為了節(jié)省時間，導引人員必須引導觀眾按照最短路徑從一個場館到另一個場館。假設(shè)奧運場館的分布如圖1所示：節(jié)點表示場館，網(wǎng)線表示倫敦比賽區(qū)域的交通道路，每個方格內(nèi)均有建筑物，觀眾只能沿著網(wǎng)線行走。請問，“從A處走到B處，從A處走到E處，從A處走到G處，各有多少種不同的走法？”學生通過觀察思考，很快得出了答案。教師在每個節(jié)點的位置上標出走法數(shù)，就得到楊輝三角的一部分（圖2）。如此導入，既讓學生感受到數(shù)學應(yīng)用于生活，又讓學生欣賞到了生活中的實際問題與數(shù)學的轉(zhuǎn)化之美。

楊輝三角是我國古代數(shù)學的偉大成就之一，為了激發(fā)學生的愛國熱情和學習興趣，教師還利用多媒體向?qū)W生介紹了楊輝三角的簡史：楊輝三角最早是由我國北宋數(shù)學家賈憲在進行高次開方運算時使用的，之后由南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》中記載并保存。在歐洲，直到600年后，法國數(shù)學家帕斯卡才提出了“帕斯卡三角”。由此可見，我國古代數(shù)學的成就非常偉大。

二、在探究中感受美

楊輝三角中蘊含了豐富的數(shù)字規(guī)律，教師按照由易到難的順序設(shè)計了五個探究活動，引導學生通過自主探究、合作交流探索其中的奧秘。

探究1：（1）觀察楊輝三角（圖3），你能發(fā)現(xiàn)每一行數(shù)字的規(guī)律嗎？（2）你能發(fā)現(xiàn)組成它的相鄰兩行的數(shù)字間有什么關(guān)系嗎？

探究1是基礎(chǔ)性探究，學生結(jié)合現(xiàn)有知識，很容易觀察出楊輝三角橫行數(shù)字間的規(guī)律。因此，教師要求學生獨立思考后，相互交流補充。通過交流，學生發(fā)現(xiàn)：問題（1）中，三角形兩條腰上都是數(shù)字1；三角形每一行中的數(shù)字左右對稱，即[Crn=Cn-rn（n∈N？，r∈N）]；三角形每一行中的數(shù)字先增大再減小，在中間取得最大值；三角形的第n行的和為[2n（n∈N）]。問題（2）中，三角形的兩條腰都是由數(shù)字1組成的，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)字之和，即：

這兩個簡單的探究從學生已有的知識切入，既引起了他們對楊輝三角的關(guān)注，又讓他們感受到了數(shù)學的對稱美和簡潔美。接下來，教師依次出示探究2—5，引導學生多角度發(fā)現(xiàn)楊輝三角的奧秘。

探究2：（1）觀察斜線上的數(shù)字（圖4），你有什么發(fā)現(xiàn)？

（2）觀察下列斜線中的數(shù)字（圖5），你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請用組合數(shù)表示出來。

（3）根據(jù)上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能進一步猜想出一般結(jié)論嗎？

（4）利用組合數(shù)的定義和性質(zhì)證明這個結(jié)論。

探究3：按照圖示（圖6）的方法寫出斜線上的各行數(shù)字的和。仔細觀察這些和，你有什么發(fā)現(xiàn)？

探究2和探究3是引導學生觀察、發(fā)現(xiàn)楊輝三角斜行數(shù)字間的規(guī)律，其中探究2是本節(jié)課的難點。根據(jù)本班學生的實際情況，教師將其分解成四個小問題，引導學生由易到難逐步解決，最終得到一般結(jié)論。

對于第（1）個問題，教師的預(yù)設(shè)是，學生會發(fā)現(xiàn)1+2+3+4+5+6=21， 1+3+6+10+15=35，1+4+10+20=35，并觀察到第2條斜線上的數(shù)字和在下一行的第3個位置。然而，學生并沒有按照教師的設(shè)想來回答，他們有的認為，每條斜線上從第二項起，每一項與前一項的差構(gòu)成了等差數(shù)列，可以利用累加法求出這條線上的某個數(shù)字；有的認為，每條斜線上的數(shù)字和都可以寫成[n（n+1）2]的形式。這種發(fā)現(xiàn)超出了教師的預(yù)期，教師及時給予了肯定與鼓勵。

或許是受圖形中連線的影響，學生的思維始終拘泥于斜線上的數(shù)字，再難有新的發(fā)現(xiàn)。于是，教師給出了第二組圖形（圖5），提示學生注意拐角處增加的短線。學生激烈地討論著，有的說1+2+3+4+5=15，1+3+6+10+15=35，1+4+10+20=35；有的說可以把這些數(shù)用組合數(shù)表示出來，得出這樣的結(jié)論：

教師抓住時機，順勢導入問題（3），讓學生猜想一般結(jié)論。學生通過觀察三條斜線在楊輝三角中的位置以及這三個式子，較容易地得出了一般結(jié)論：

[Crr+Crr+1+Crr+2+？？？+Crn-1=Cr+1n（n>r，r∈N？）]

教師沒有滿足于這點收獲，向?qū)W生提出了有一定難度的問題（4）。這個問題看似有一定的難度，但學生只要結(jié)合以前所學的知識并利用探究1中的結(jié)論，就能找到解題途徑。事實上，大部分學生也正是用這種方法證明出了

隨著這四個問題的逐個解決，本節(jié)課的難點也就突破了。教師及時出示了探究3（圖6），促使學生熟練運用并鞏固所學的思考方法。學生經(jīng)過獨立思考，得出了結(jié)果：從第3條斜線中的數(shù)字起，其后各斜線中的和是前兩條斜線中數(shù)字和之和，即[an-2+an-1=an（n≥3）]，這就是著名的菲波拉契數(shù)列。教師簡單地介紹了斐波那契數(shù)列及其應(yīng)用，讓學生體會到了數(shù)字的神奇之美。

楊輝三角之妙絕不僅限于此，為了讓學生進一步體會其中的奧妙，教師設(shè)計了探究4和探究5，引導他們探究楊輝三角中的數(shù)字與行數(shù)間的關(guān)系。

探究4：（1）觀察楊輝三角中的第2，3，5，7行（圖7），思考這幾行的數(shù)字與行數(shù)之間有什么關(guān)系？（2）滿足這種規(guī)律的行的行數(shù)有什么特征？請說明理由。

自主探究后，有的學生說，這幾行數(shù)字除了1以外，都能被行數(shù)整除；有的說，2，3，5，7都是質(zhì)數(shù)，滿足這種規(guī)律的行的行數(shù)都是質(zhì)數(shù)。有一名學生提出疑問：所有的質(zhì)數(shù)行都滿足這樣的規(guī)律嗎？大家通過驗證發(fā)現(xiàn)：第13行除去兩端的數(shù)字外，都可以被13整除；第17行除去兩端的數(shù)字外，也都可以被17整除。于是，大家猜想到，所有的質(zhì)數(shù)行中除去1以外的每個數(shù)都能被行數(shù)整除。可是，問題出現(xiàn)了，楊輝三角中有無數(shù)個質(zhì)數(shù)行，不可能一一去驗證?。?/p>

學生陷入了沉思，不知道從哪個角度來說明。教師及時給予提示：要證明這個問題，需要說明質(zhì)數(shù)行中除去1以外的每個數(shù)都能被行數(shù)整除，而這些數(shù)都可以寫成組合數(shù)的形式，我們能否利用組合數(shù)來證明呢？這樣一提示，學生有了新的思路。一名學生說，第n行中第r個數(shù)可以寫成[Crn]，[Crn=n·（n-1）？？？2？1r！]，n為質(zhì)數(shù)，不能被[2？？？r]中的任何數(shù)整除，所以[Crn]能被n整除。另一名學生做了補充：[n？（n-1）？？？2？1r！]寫成這樣的形式[n？（n-1）？？？2？1r！]，[n？（n-1）？？？2？1r！]為整數(shù)，由于n為質(zhì)數(shù)，不能被任何數(shù)整除，則[（n-1）？？？2？1r！]為整數(shù)，所以[Crn]能被n整除。還有學生進一步補充：除去兩端的1，還需要限制[r≠0，r≠n]。

這個過程中，學生通過討論、合作、交流、互動，不僅碰撞了思維，解決了問題，而且感受到了數(shù)學的邏輯美。

探究5：（1）觀察楊輝三角（圖8）中的第0，1，3，7行，你發(fā)現(xiàn)這幾行的數(shù)字有什么規(guī)律？（2）哪些行有這種規(guī)律？請說明理由。

第（1）問，學生解決得很順利：這幾行數(shù)字都是奇數(shù)，并且第[2n-1（n∈N）]行都具有這樣的規(guī)律。問題（2）由于坡度太大，學生一時找不到思考路徑。經(jīng)過教師引導，一名學生談了自己的想法：把每一行到下一行的過程看作一次從奇數(shù)到偶數(shù)或者從偶數(shù)到奇數(shù)的變換過程，從第0行到第1行經(jīng)過1次變換，從第1行到第3行經(jīng)過2次變換，從第3行到第7行經(jīng)過4次變換，從第7行到第15行經(jīng)過8次變換，按照這種規(guī)律可以得出答案。雖然他的說明有道理，但不能作為嚴格的證明。由于時間問題，也只能把這個問題留到課后讓學生自己去探究了。

因教師預(yù)設(shè)時考慮不周，導致這個階段耗時耗力而收效甚微，這也是這節(jié)課最值得引以為戒的地方。如果說到收獲，這個過程中最大的收獲在于，學生體會到了從特殊到一般的歸納方法，并感受到了數(shù)字的神奇之美。

三、在延伸中領(lǐng)悟美

課即將結(jié)束時，教師向?qū)W生提出了一個具有延伸性質(zhì)的問題：探究5（1）中，我們只是憑推測得出了規(guī)律，卻沒有說明為什么第[2n-1=0]行的數(shù)字都是奇數(shù)。現(xiàn)在，請大家發(fā)揮聰明才智，嘗試著證明這個問題。學生經(jīng)過討論交流，找到了這樣的解題思路：規(guī)定奇數(shù)記為1，偶數(shù)記為0，則楊輝三角可以變形成如下形式（圖9）。

利用數(shù)學歸納法：當n=0時，[2n-1=0]是第0行，第0行中所有的數(shù)都是奇數(shù)；當n=1時，[2n-1=1] 是第1行，第1行中所有的數(shù)都是奇數(shù)。假設(shè)當n=k時，第[2k-1]行中所有的數(shù)為奇數(shù)，那么當n=k+1時，由假設(shè)知道，第[2k-1]行中所有的數(shù)為奇數(shù)。按照探究1（2）中得到的結(jié)論（楊輝三角中每行除兩腰的數(shù)字外，其他的數(shù)字都等于它肩上的兩個數(shù)字的和），由1+0=1，0+0=0可得，第[2k]行中除了兩端的數(shù)字為1外，其他的數(shù)字都為0，即第[2k]行中間就有[2k-1]個0，每計算一次，下一行與上一行相比中間位置減少1個0。從第[2k]行中間位置有[2k-1]個0到中間位置沒有0，則需要[2k-1]次計算，[2k+2k-1=2k+1-1]，因此[2k+1-1]行的中間位置沒有0，全部為1；而其他位置經(jīng)過偶數(shù)次變換得到0，經(jīng)過奇數(shù)次變換得到1，而[2k-1]是奇數(shù)，因此第[2k+1-1]行全部為奇數(shù)。綜上可知，第[2n-1（n∈N）]行中的所有數(shù)字全部是奇數(shù)。

這個探究過程中，學生的思維十分活躍，在縝密的思考和推理中，學生感受到了數(shù)學的嚴謹之美，靈活之美。

（作者單位：江漢油田廣華中學）

數(shù)學的語言、符號、圖形、形式無不體現(xiàn)出美學因素，比如數(shù)與形的統(tǒng)一、符號和圖形的對稱、動態(tài)和靜態(tài)等都透著濃郁的美感。教學中，教師如果能將這些美充分挖掘和展示出來，學生就能在學習中享受數(shù)學之美，進而增強學習的興趣。

在一次數(shù)學實驗課上，我與學生一起進行了用紙折圓錐曲線的實驗。

首先，我要求學生在一張白紙上畫一個圓，圓心為O，在圓內(nèi)取一個異于圓心的點A；在圓上任取一點，對折，使該點與A點重合，用直尺與鉛筆將折痕畫出來；在圓上取不同的點，重復上述過程。學生畫出許多條折痕后，驚喜地發(fā)現(xiàn)，這些直線圍成的圖形竟是一個橢圓。在此基礎(chǔ)上，我利用計算機模擬了紙折圓錐曲線的過程（這其實是利用直線的運動痕跡來模擬折痕，這個模擬實驗在幾何畫板軟件中很好實現(xiàn)）。這個過程中，學生先是經(jīng)歷了動手操作發(fā)現(xiàn)結(jié)論的喜悅，又在信息技術(shù)的幫助下感受到了直線運動帶來的視覺沖擊，心里激動不已。

接著，我引導學生對上述過程的結(jié)論（這些直線能夠圍成一個橢圓，說明這些直線上都有且僅有一個橢圓上的點）進行推理論證。學生經(jīng)過討論交流，有了這樣的思維過程（圖略）：圓O的半徑為R，A點是圓內(nèi)異于O的一點，B點是圓上任意一點，直線L是線段AB的中垂線，L與線段OA交于P點。那么P點的軌跡是什么？學生連接OA，根據(jù)橢圓的第一定義發(fā)現(xiàn)了軌跡是橢圓。這也就說明了前面的每條折痕上都有一個點在以O(shè)、A為焦點，以R為長軸長的橢圓上。那么，折痕上是否還有其他的點在橢圓上呢？這個問題既是解決上述問題的需要，又能體現(xiàn)思維的批判性。學生解決完這些問題后，對橢圓定義的理解更深刻了，對數(shù)學的嚴謹性和數(shù)學思維的批判性有了更深的認識。

最后，我引導學生結(jié)合橢圓、雙曲線、拋物線的定義的統(tǒng)一性進行思考：能否用紙折雙曲線、拋物線？如果可以，該如何操作？學生帶著這些問題主動思考與探究，體驗到了數(shù)學探究與發(fā)現(xiàn)的樂趣。

（江漢油田廣華中學 柯 麗）

普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》中蘊含著大量的數(shù)學美育素材，教師有意識地挖掘、整理并引導學生發(fā)現(xiàn)和欣賞，能讓學生在創(chuàng)造的過程中體驗到數(shù)學的美。

教學選修2-1的《圓錐曲線與方程》，在曲線軌跡探究過程中，我引導學生用套在細線上的鉛筆尖畫成橢圓，用拉鏈的拉開或閉攏帶動筆尖畫出雙曲線，并觀察幾何畫板演示動點的拋物線軌跡，以及在由點動成線的過程中實現(xiàn)的量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化。學生在操作和觀察中感受到了數(shù)學的動態(tài)美。

此外，在這節(jié)課的教學中，學生還從不同建系方式取得方程的比較中，感受到了數(shù)學的簡潔美；從橢圓與雙曲線都關(guān)于坐標軸與原點對稱中，感受到了數(shù)學的對稱美；從由圓錐曲線一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)反射后，其反射光線所在直線必須經(jīng)過另一個焦點中，感受到了數(shù)學的統(tǒng)一美。

這些美遙相呼應(yīng)，構(gòu)成了數(shù)學教學的亮麗風景。

（江漢油田廣華中學 徐洪軍）

華羅庚說：“認為數(shù)學枯燥無味，沒有藝術(shù)性，這種看法是不正確的，就像人站在花園外面，說花園里枯燥無味一樣?！睌?shù)學老師善于捕捉和引導，能讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學之美。

教學《橢圓及其標準方程》時，為了讓學生在獲取數(shù)學知識的同時獲得美的感受，我先播放了“神舟5號”飛船發(fā)射的視頻及飛船運動軌跡的動畫；接著要求學生兩人一組，互相協(xié)作，在事先準備好的白紙上，利用課本上介紹的方法繪制橢圓；然后鼓勵學生利用幾何畫板軟件在電腦屏幕上繪制橢圓，并對橢圓設(shè)置參數(shù)；最后安排各學習小組通過觀察身邊的事物，或者上網(wǎng)查閱資料，列舉橢圓在生活中的應(yīng)用。

課堂上，學生表現(xiàn)十分出色。觀看視頻時，學生在愉悅的氛圍中欣賞著優(yōu)美的畫面，既感受到了橢圓與大自然的密切聯(lián)系，又生發(fā)了學好數(shù)學創(chuàng)造美好事物的迫切愿望；繪制橢圓時，學生看到隨著參數(shù)的改變，自己親手繪制的橢圓發(fā)生一系列神奇變化后，發(fā)出陣陣驚嘆，在不知不覺中由數(shù)學的顯性美悟出了數(shù)學的隱性美；拓展應(yīng)用這個環(huán)節(jié)，學生在兩天后作了“美麗的橢圓”專題匯報，有的小組展示了橢圓形腕表，有的小組展示了手工制作的地球繞太陽運行的軌道模型，有的小組展示了“黃金橢圓”……每一件作品都顯現(xiàn)出了獨有的美。

美國數(shù)學家哈爾斯說，“數(shù)學是創(chuàng)造性的藝術(shù)”。教師用創(chuàng)造的眼光來審視數(shù)學，就能不斷地發(fā)現(xiàn)數(shù)學之美。

（江漢油田廣華中學 劉旭光）

用數(shù)學美的思想解題是培養(yǎng)學生數(shù)學思維品質(zhì)的重要策略。它能引導學生進行直覺思維，發(fā)現(xiàn)問題的內(nèi)在聯(lián)系，從中欣賞數(shù)學之美，感受解題樂趣。更重要的是，它能開拓學生的思維空間，啟迪他們的智慧，培養(yǎng)他們的多元思維和創(chuàng)新精神，使其獲得學習的愉悅感。

（江漢油田廣華中學 張希杰）

責任編輯 姜楚華