線性方程組理論在高等代數(shù)中的應(yīng)用

◆李永玲 李煜玲

(隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；甘肅平?jīng)銮f浪縣臥龍中學(xué))

線性方程組理論在高等代數(shù)中的應(yīng)用

◆李永玲 李煜玲

(隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；甘肅平?jīng)銮f浪縣臥龍中學(xué))

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，社會(huì)對(duì)人才素養(yǎng)在質(zhì)和量方面的需求也在急劇的提升，作為我國(guó)高素質(zhì)專業(yè)人才培養(yǎng)基地的高等院校，其近年來(lái)也取得了巨大的發(fā)展，不僅在教學(xué)理念及模式方面予以了適當(dāng)?shù)母母飫?chuàng)新，在教學(xué)質(zhì)量方面，也取得了一定程度的提高，高等院校的健康可持續(xù)發(fā)展，對(duì)于我國(guó)的社會(huì)建設(shè)事業(yè)的全面推進(jìn)，有著重要意義。

線性方程組理論 高等代數(shù) 教學(xué)方法

一、引言

高等代數(shù)是大學(xué)階段課程結(jié)構(gòu)體系中，最為重要的一門數(shù)學(xué)課程之一，其作為基礎(chǔ)性工具性課程，其在我國(guó)自然科學(xué)研究領(lǐng)域及基礎(chǔ)教育領(lǐng)域中，有著十分廣泛的應(yīng)用。在以往研究高等代數(shù)時(shí)，主要采用矩陣這個(gè)數(shù)學(xué)研究工具進(jìn)行研究，隨著高等數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的不斷發(fā)展，線性方程組理論在高等代數(shù)研究中的作用越來(lái)越為顯著，其也成為了當(dāng)前高等代數(shù)領(lǐng)域最為重要的一種研究工具。線性方程組理論共涉及到多個(gè)定理。如定理一：齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是:它的系數(shù)矩陣A的秩小于它的未知量的個(gè)數(shù)n等。其在研究高等代數(shù)中，起著有效的指導(dǎo)作用。下文將就線性方程組理論，在高等代數(shù)的多項(xiàng)式、矩陣，及線性空間中的應(yīng)用情況進(jìn)行詳細(xì)探討。

二、在多項(xiàng)式中的應(yīng)用分析

三、在矩陣中的應(yīng)用分析

線性方程組理論在高等代數(shù)的矩陣中，也有著廣泛的應(yīng)用，如其在證明矩陣秩等相關(guān)問(wèn)題的過(guò)程中，就可以使用到齊次線性方程組理論。如題2：“證明R(A，B)≤min{R(A)，R(B)}”的矩陣問(wèn)題時(shí)，其證明過(guò)程如下：首先設(shè)定Am×n，和Bm×n，根據(jù)齊次線性方程組可知，其中 Bx=0，ABx=0。我們可以知道，方程式Bx=0的解，同樣也是方程式ABx=0的解，由此我們可以得到s-R(B)≤s-R(AB)，兩邊約簡(jiǎn)一下，可得到R(B)≥R(AB)，由同樣方法，可得到R(A)≥R(AB)，由此此題即可得到證明。因?yàn)楦鶕?jù)線性方程組理論，s-t≥i≥s-q+1，所以，Ay=0，其向量個(gè)數(shù)達(dá)到(s-t)-(s-q)=q-t以上，從而可得到 R(AB)≥R(A)+R(B)-n。該題在使用線性方程組理論解題時(shí)，其解題效果就非常好，根據(jù)這題的解題過(guò)程，我們還可以將其解題思路進(jìn)一步拓展，使其可以用于類似的矩陣問(wèn)題解答中，如Ai(1≤i≤k)，可將其設(shè)定為m×n型矩陣，由此可以得到∑R(Ai)-m(k-1)≤R(A1A2...Ak)。

四、在線性空間中的應(yīng)用分析

線性方程組理論在高等代數(shù)線性空間中，也有著很好的應(yīng)用效果，如其在線性相關(guān)等類型問(wèn)題的判定中，就有著良好的應(yīng)用，如題3：“如果設(shè)V是實(shí)數(shù)域R中全部函數(shù)組成的線性空間，請(qǐng)判斷V中函數(shù)t,t2,e2t的線性相關(guān)性？”此題可以對(duì)t分別求解其1階及2階導(dǎo)數(shù)，同時(shí)將它們聯(lián)立起來(lái)，得到以下方程組：

因?yàn)槠涫遣豢赡艿扔?的，因此線性方程組(1)沒(méi)有非零解，故t,t2, e2t線性無(wú)關(guān)。

由以上可以看出，線性方程組理論在高等代數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，其除了能在多項(xiàng)式、矩陣及線性空間中的應(yīng)用外，還能在歐氏空間及替換證明中有效應(yīng)用，因此加大對(duì)線性方程組理論在高等代數(shù)中應(yīng)用的相關(guān)研究，有著深遠(yuǎn)的意義。

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