山西省晉中市榆次區(qū)郭家堡鄉(xiāng)王村小學(xué) 胡玉馬
抽屜原理又叫做鴿巢原理,指的是一件簡單明了的事實(shí):為數(shù)眾多的鴿子飛進(jìn)為數(shù)不多的巢穴里,則至少有一個(gè)巢穴飛進(jìn)了兩只或者更多的鴿子。粗略的說就是如果有許多物體放進(jìn)不足夠多的盒子內(nèi),那么至少有一個(gè)盒子被兩個(gè)或多個(gè)物體占據(jù)。對抽屜原理教師感到難教、學(xué)生普遍感到難以理解,是教與學(xué)的難點(diǎn)。下面通過通過由淺到深,由簡單到復(fù)雜,循序漸進(jìn)的了解抽屜原理,不僅提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,還為他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下一定的基礎(chǔ)。
例:把4枝筆放進(jìn)3個(gè)筆筒里,總有一個(gè)筆筒里至少放進(jìn)幾枝筆?
所以,我們要確定問題“總有一個(gè)筆筒里至少放進(jìn)幾枝筆?”到底是在問什么,這是關(guān)鍵。
生:(1,1,2)(0,2,2)(0,1,3)(0,0,4)
師:師生合作探究,三個(gè)筆筒中肯定有一個(gè)筆筒中的筆大于2枝或等于2枝,即至少有2枝。具體哪個(gè)筆筒是這樣的,怎樣找出這個(gè)筆筒,就不是我們所要學(xué)習(xí)的了。這就是我們從今天開始要學(xué)習(xí)的抽屜原理。
例:把7本書放進(jìn)3個(gè)抽屜,不管怎么放,總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)3本書,為什么?
通過前面對抽屜原理的研究,我們已經(jīng)知道這道題說的是,當(dāng)要把7本書放進(jìn)3個(gè)抽屜里時(shí),這三個(gè)抽屜對于整體而言是沒有第一第二第三的順序之分的,三個(gè)抽屜完全處于同等的地位。題目里僅僅研究的是不論任何一個(gè)抽屜是放書或者不放書,也不論這個(gè)抽屜是多放書或是少放書,也就是讓我們?nèi)我獾碾S便的放,想怎么放就怎么放,只要我們能把這7本書放完就可以了。所以有很多種的放法,但它們會產(chǎn)生一個(gè)共同的現(xiàn)象,不論放還是不放,也不論多放還是少放,其中肯定能找到這樣一個(gè)抽屜,有3本書或者是比3本書多。
生:(3,3,1)(5,1,1)(1,2,4)(2,2,3)(0,3,4)(0,5,2)(0,6,1)(0,0,7)
師:當(dāng)學(xué)生們研究“總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)3本書”這個(gè)問題時(shí),很想知道為什么會這樣,于是他們就想方設(shè)法的去擺,努力去推翻這個(gè)答案。結(jié)果這個(gè)答案在任何時(shí)候都是推不翻的、是絕對正確的。這時(shí)侯學(xué)生通過相互討論或者自學(xué)課本,發(fā)現(xiàn)了下面的計(jì)算方法(7÷3=2……1),也可以說出“總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)3本書”的答案是這樣計(jì)算的,即:商+余數(shù)。
生:先每個(gè)抽屜都平均放2本,剩余的1本不論放進(jìn)哪個(gè)抽屜中,都會出現(xiàn)放3本書的情況。因?yàn)槲覀円芯康?個(gè)抽屜是在一起的,如果這個(gè)抽屜少放了那么其它抽屜就會多放,如果其它抽屜少放了那么這個(gè)抽屜又會多放。為了使3個(gè)抽屜一起都少放,所以我們按它們的平均數(shù)放,再把剩余的書也放進(jìn)去就可以了。
對于剩余的書如果大于1本時(shí),還是用上面的計(jì)算方法嗎?有的學(xué)生會直接說可以,有的學(xué)生經(jīng)過思考會說好象不行了。
例:把8本書放進(jìn)3個(gè)抽屜,不管怎么放,總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)多少本書呢?
通過前面對抽屜原理的認(rèn)識,學(xué)生會有下面的答案:8÷3=2……2,2+2=4。
生:我是按(3,3,2)擺的,里面就出現(xiàn)了比4本書還少的情況了。
師:先把能平均放到抽屜里的書放進(jìn)去,這樣平均每個(gè)抽屜就可以先都放2本書了。這時(shí)余下的2本書,此時(shí)學(xué)生就能很容易地想到為了少放,不要把余下的2本書都放進(jìn)一個(gè)抽屜里去,而是再分給2個(gè)抽屜,就會出現(xiàn)最少放3本書的答案了。所以為了找到“總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)多少本書”的答案,我們要對剩余下的課本繼續(xù)進(jìn)行再一次的分散,而絕對不能放在一起,就能找到至少放幾本書的情況了。
生:8÷3=2……2,2+1=3。
師:商加1。
所以只要有余下的書,不論余下多少本書,答案都是商加1,當(dāng)然前提是按平均分散的方法去放。
在數(shù)學(xué)問題中有一類與“存在性”有關(guān)的問題。例如,任意13人中,至少有兩人的出生月份相同。任意367名學(xué)生中,一定存在兩名學(xué)生,他們在同一天過生日。在這類問題中,只需要確定某個(gè)物體(或某個(gè)人)的存在就可以了,并不需要指出是哪個(gè)物體(或哪個(gè)人),也不需要說明是通過什么方式把這個(gè)物體(或人)找出來的。這類問題依據(jù)的理論,我們稱之為“抽屜原理”。
通過前面的研究,我們可以采用平均分散的方法來找這個(gè)物體(或這個(gè)人)?!俺閷显怼钡淖兓芏啵瑧?yīng)用更具靈活性。我們應(yīng)有意識地培養(yǎng)學(xué)生的“模型”思想。
所以當(dāng)我們面對一個(gè)具體問題時(shí),能否將這個(gè)具體問題和“抽屜問題”聯(lián)系起來,能否找到該問題中的具體情境和“抽屜原理”的“一般化模型”之間的內(nèi)在關(guān)系,能否找出該問題中什么是“待分的東西”,什么是“抽屜”,是影響能否解決該問題的關(guān)鍵。
抽屜原理簡單易懂,主要用于證明某些存在性或至少類的問題,在生活中抽屜原理的應(yīng)用非常廣泛,解決了生活中一些模糊不清的問題,方便了人們的生活。在這類問題中,只需要確定某個(gè)物體(或某個(gè)人)的存在就可以了,并不需要指出是哪個(gè)物體(或哪個(gè)人),也不需要說明通過什么方式把這個(gè)存在的物體(或人)找出來。這類問題依據(jù)的理論,我們稱之為“抽屜原理”。
本文通過循序漸進(jìn)的方法使學(xué)生逐步學(xué)會運(yùn)用一般性的數(shù)學(xué)方法來思考問題,發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。抽屜原理在小學(xué)課本上雖然沒有明確的定義,但是它的價(jià)值是非常高的。它雖然只是一個(gè)小原理,但是在數(shù)學(xué)中確是必不可少的,它的數(shù)學(xué)思想和技巧是我們值得深刻理解和探索的。在學(xué)習(xí)抽屜原理的過程中,學(xué)生會覺得它只有幾個(gè)原則,但我們不能忽略它所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,只有掌握了這種思想和把握了這種解題技巧,那么我們孩子的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就會有所提高。所以學(xué)好抽屜原理對學(xué)生有很大的益處。