錢(qián)德春

解題，無(wú)論對(duì)發(fā)展思維能力，還是提升應(yīng)試水平都有著不可替代的作用.如何發(fā)揮解題的教學(xué)價(jià)值，通過(guò)問(wèn)題的探究與解決，讓學(xué)生思維上通下達(dá)、左關(guān)右聯(lián)？筆者以為，必須抓住四個(gè)關(guān)鍵詞：回歸、遷移、優(yōu)化、發(fā)展.本文擬從一道幾何填空題的探究與解答、遷移與推廣的過(guò)程，談?wù)劰P者關(guān)于解題教學(xué)的啟示與思考.圖1

源問(wèn)題如圖1，AB=4，O為AB的中點(diǎn)，⊙O的半徑為1，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，以PB為直角邊的等腰直角三角形PBC（點(diǎn)P、B、C按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，則線段AC的長(zhǎng)的取值范圍為.

1探究與解答

由于源問(wèn)題中A是定點(diǎn)，故AC長(zhǎng)度的范圍由點(diǎn)C位置的變化而決定，問(wèn)題的焦點(diǎn)是點(diǎn)C如何變化.解決線段長(zhǎng)度范圍的最大值最小值問(wèn)題最常見(jiàn)的有代數(shù)法與幾何法兩種思路.

代數(shù)法

將線段表示成某一變量的函數(shù)，由這個(gè)變量的范圍確定這條線段的范圍（即由定義域確定值域）.具體到本題，能否將線段AC的長(zhǎng)表示成某一變量的函數(shù)，關(guān)鍵是看能否找到AC與圖形中某些變量之間的數(shù)量關(guān)系.結(jié)合題干中“等腰直角三角形”的條件和幾何中求線段長(zhǎng)度的常用方法，考慮構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來(lái)建立數(shù)量關(guān)系.

解答1如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AB上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于F，過(guò)C分別作CH⊥AB于H，CE⊥PF于E.設(shè)EC=FH=PF=x，EP=FB=y，則CH=EF=x+y，HB=y-x.AH=4-（y-x）.在Rt△ACH中，AC2=CH2+AH2=（x+y）2+（4-y+x）2=2x2+2y2+8x-8y+16，又OF=|OB-FB|=|2-y|，所以x2+（2-y）2=1，即x2+y2-4y=-3，所以AC2=8x+10.當(dāng)x=0時(shí)ACmin=10；當(dāng)x=1時(shí)ACmax=18=32.同理，若P在AB的下方時(shí)，AC2=10-8x，當(dāng)x=0時(shí)ACmax=10，x=1時(shí)ACmin=2，所以2≤AC≤32.

幾何法

初中幾何中求線段長(zhǎng)度范圍的相關(guān)方法有：（1）若任意3個(gè)點(diǎn)中，兩兩間的距離分別為a、b、c，則a的范圍為|b-c|≤a≤b+c（a、b、c可輪換）；（2）平面內(nèi)一點(diǎn)P到圖形L上各點(diǎn)的連線段：①當(dāng)圖形L是線段AB時(shí)，連接點(diǎn)P與線段L上各點(diǎn)XA（與點(diǎn)A重合）、X1、X2、…、XB（與點(diǎn)B重合）的線段，設(shè)PXA≥PXB，過(guò)點(diǎn)P作線段AB所在直線的垂線，垂足為X0.則PX的范圍分兩種情況：（?。┤鬤0不在線段AB上（如圖3①），有PXB≤PX≤PXA；（ⅱ）若X0在線段AB上（如圖3②），有PX0≤PX≤PXA.②當(dāng)圖形L為⊙O時(shí)（如圖3③），⊙O交線段PO于點(diǎn)A，交線段PO延長(zhǎng)線于點(diǎn)B，則PA≤PX≤PB.③同理，結(jié)論可以推廣到任意封閉曲線或包含兩端點(diǎn)的連續(xù)曲線（如圖3④），此類(lèi)問(wèn)題超出初中范圍，不在本文研究之列.圖3

源問(wèn)題如何探究？由于A是定點(diǎn)，點(diǎn)C隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)具有不確定性，求CA的范圍的關(guān)鍵是點(diǎn)C的變化特征.這里就需要畫(huà)圖嘗試：作出符合條件的一些點(diǎn)，由點(diǎn)C是否在一條直線上來(lái)判斷屬于圖3中的哪一種情形.圖4

如圖4，畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)：C1、C2、C3、……這些點(diǎn)不在同一直線上，故考慮這些點(diǎn)是否在某個(gè)圓上.如果是，那么圓心位置、半徑大小如何？由畫(huà)圖初步判定：圓心M在AB的垂直平分線上，遂再思考△MOB與動(dòng)態(tài)△CPB在形狀、大小方面有無(wú)聯(lián)系，于是作大膽猜想：△MOB∽△CPB！如圖5，過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線l，在l上截取MO=OB，則△MOB、△CPB都為等腰直角三角形，易證△BMC∽△BOP，所以有CMPO=BMBO=2，所以CM=2PO=2.至此，問(wèn)題迎刃而解.

解答2由分析可知：點(diǎn)C在以M為圓心、2為半徑的圓上.如圖5①，直線AM與⊙M有兩個(gè)交點(diǎn)C1、C2，因此，當(dāng)C處于C1時(shí)AC最短為2，處于C2時(shí)AC最長(zhǎng)32，故2≤AC≤32.

問(wèn)題也可直接由|AM-CM|≤AC≤AM+CM解決.如圖5②，CM=2，而AM=22，所以|AM-CM|≤AC≤AM+CM，即22-2≤AC≤22+2，故2≤AC≤32.圖5

我們知道，刻畫(huà)圖形數(shù)量特征的有效載體之一是直角坐標(biāo)系，源問(wèn)題還可以通過(guò)建立直角坐標(biāo)系來(lái)解決.但在表示線段數(shù)量關(guān)系時(shí)，無(wú)論是構(gòu)造三角形用勾股定理，還是置于直角坐標(biāo)系中解決，都需要根據(jù)點(diǎn)P、C的位置變化而分類(lèi)討論，過(guò)程比較繁瑣.而解法2不需要考慮分類(lèi)，對(duì)于點(diǎn)P、C的任意位置都適用，更具有一般意義.

2遷移與推廣

如圖5③，源問(wèn)題中，由兩個(gè)等腰直角三角形△MOB、△CPB相似得到BMC∽△BOP，進(jìn)而解決問(wèn)題.這讓筆者聯(lián)想到蘇科版教材九年級(jí)下冊(cè)[1]《64探索相似三角形的條件》的兩個(gè)例題（為了方便說(shuō)明，筆者將教材中的圖形和字母進(jìn)行了統(tǒng)一）：圖6

第58頁(yè)的例4：如圖6，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，點(diǎn)E在△ABC外，∠1=∠2，∠3=∠4，△DBE與△ABC相似嗎？為什么？

第60頁(yè)的例5：如圖6，D是四邊形ABEC內(nèi)一點(diǎn)，且ABBD=ACDE=BCBE.

（1）∠1與∠2相等嗎？為什么？

（2）判斷△ABD與△CBE是否相似，并說(shuō)明理由.

筆者將教材例題圖形稱(chēng)為“位似旋轉(zhuǎn)”型相似：將△ABC（如圖7①）以點(diǎn)B為位似中心縮（放）至△FBG（如圖7②），再將△FBG繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至△DBE（如圖7③），△ABC與△DBE如圖7④所示，連接EC、AD可證得△ABD與△CBE相似.事實(shí)上，在△ABC與△DBE、△ABD與△CBE這兩對(duì)三角形中，只要有一對(duì)相似，另一對(duì)必然相似，這是經(jīng)典的基本圖形模型.教材在三角形相似兩個(gè)判定定理的例題中都用了這個(gè)模型，可見(jiàn)其重要性.圖7

回頭再來(lái)看源問(wèn)題，所構(gòu)造的三角形與原動(dòng)態(tài)三角形之間具有“位似旋轉(zhuǎn)”的位置關(guān)系，這兩對(duì)三角形都是特殊三角形，而課本例題的條件與結(jié)論都是對(duì)任意三角形而言的.此外，條件中的“O是AB的中點(diǎn)”也具有特殊性.于是，筆者思考：源問(wèn)題可否進(jìn)行一般性推廣呢？

思考1將源問(wèn)題條件中的“等腰Rt△PBC”改為任意直角三角形，可以求AC的范圍嗎？圖8

如圖8，Rt△PBC中，PC∶PB=k∶1，AB=2a，⊙O半徑為r，其他條件不變，求AC的范圍.

仿源問(wèn)題幾何法，以線段BO為一邊作△OBM∽△BPC，則有MOBO=CPBP=k，所以MO=kBO=ka.由△OBM∽△PBC得∠MBO=∠CBP、MBCB=OBPB，所以∠CBM=∠PBO，MBOB=CBPB，所以△CBM∽△PBO，所以CMPO=CBPB=k2+1，故CM=k2+1r，而AM=MB=k2+1a，由|AM-CM|≤AC≤AM+CM，得|k2+1a-k2+1r|≤AC≤k2+1a+k2+1r，即|a–r|k2+1≤AC≤（a+r）k2+1.

思考2將源問(wèn)題條件中的“O為AB中點(diǎn)”改為“O為線段AB上任意一點(diǎn)”，結(jié)論又如何呢？

如圖9，AO=a，BO=b，⊙O的半徑為r，其他條件不變，求AC的范圍.圖9

仿源問(wèn)題幾何法，以線段BO為直角邊作等腰Rt△OBM，則有△OBM∽△PBC，易證△CBM∽△PBO，所以CMPO=MBOB=2，所以CM=2PO=2r.在Rt△AOM中，AM=a2+b2，由|AM-CM|≤AC≤AM+CM，得|a2+b2-2r|≤AC≤a2+b2+2r.

思考3源問(wèn)題可否進(jìn)行更一般的推廣呢？如O為線段AB上任意一點(diǎn)，△BPC為任意三角形，源問(wèn)題的結(jié)論又如何？

如圖10①，O為線段AB上任意一點(diǎn)，AO=a，BO=b，以r為半徑作⊙O，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，以PB為一邊作△BPC（B、P、C位置按順時(shí)針順序），使PB∶BC∶CP=m∶n∶t，能確定AC的范圍嗎？圖10

問(wèn)題的關(guān)鍵是能否找到定點(diǎn)M與定長(zhǎng)CM？如圖10②，仿照上述方法，以線段BO為一邊作△BOM∽△BPC，則有MOOB=CPPB，△CBM∽△PBO，所以∠MOB=∠CPB，CMPO=CBPB.從而有下列結(jié)論：①由CMPO=CBPB得CM=CB·POPB=nrm；②由MOOB=CPPB得MO=CP·OBPB=tbm；③由于△BPC三邊比確定，所以∠MOB=∠CPB確定，所以∠MOA=180°-∠CPB確定.綜上，在△AOM中，CM=nrm，MO=tbm，∠MOA一定，故AM長(zhǎng)為定值（運(yùn)用高中余弦定理可求）.設(shè)求得的AM長(zhǎng)為k，由|AM-CM|≤AC≤AM+CM，得|k-nrm|≤AC≤k+nrm.由此可見(jiàn)：本題結(jié)論可以推廣到更一般的情形.

3啟示與思考

經(jīng)歷問(wèn)題的探究與解答、遷移與推廣過(guò)程，筆者得到許多啟示，也引發(fā)一些思考：解題教學(xué)要強(qiáng)化教材內(nèi)涵與數(shù)學(xué)本質(zhì)的回歸、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的遷移，力求解題策略與思想方法的優(yōu)化、問(wèn)題潛能與數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成.

3.1回歸教材內(nèi)涵與數(shù)學(xué)本質(zhì)

俗話(huà)說(shuō)：萬(wàn)變不離其宗，數(shù)學(xué)的“宗”就是基本概念、通性通法.解題教學(xué)要強(qiáng)化“回歸”意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將解題思路回到通性通法、回歸教材.源問(wèn)題通過(guò)畫(huà)圖初步感知圖形的變與不變，再將問(wèn)題從動(dòng)態(tài)向靜態(tài)轉(zhuǎn)化、思路從模糊向清晰轉(zhuǎn)化、策略從定性向定量轉(zhuǎn)化，就是回歸通性通法；教材為何高頻選用“位似旋轉(zhuǎn)”型例題，正緣于其方法的典型性、應(yīng)用的廣泛性.課堂教學(xué)要重視教材例習(xí)題的的作用，引導(dǎo)學(xué)生回歸課本和知識(shí)本源，從數(shù)學(xué)教材中探“源”——問(wèn)題的源頭與原型，充分挖掘教材例題的教學(xué)價(jià)值；從數(shù)學(xué)本質(zhì)上尋“宗”——揭示問(wèn)題與教材、問(wèn)題與問(wèn)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，深入淺出地開(kāi)展教學(xué)活動(dòng).

3.2遷移知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

國(guó)家從戰(zhàn)略層面提出了“核心素養(yǎng)體系”的概念，核心素養(yǎng)“不是知識(shí)和技能，而是獲取知識(shí)的能力[2].”如何獲取知識(shí)？由已有認(rèn)知、經(jīng)驗(yàn)遷移獲取新知就是一種重要的方式.一是基本思路經(jīng)驗(yàn)的遷移，如求線段長(zhǎng)度的范圍常用方法源于各種方法的不斷積累；二是直觀操作經(jīng)驗(yàn)的遷移，通過(guò)畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)符合條件的C點(diǎn)不在同一直線上，繼續(xù)取點(diǎn)發(fā)現(xiàn)看似圍成一個(gè)圓，而且圓心位置在AB垂直平分線上；三是策略判斷經(jīng)驗(yàn)的遷移，如由題干的“等腰直角三角形”、“O為AB中點(diǎn)”等條件作出“構(gòu)造等腰直角三角形”的策略判斷；四是數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的遷移，由兩個(gè)圖形具有“位似旋轉(zhuǎn)”的位置關(guān)系，聯(lián)想到課本例題由“一對(duì)位似旋轉(zhuǎn)相似三角形”得到另外一對(duì)三角形相似，從而嘗試將問(wèn)題進(jìn)行一般性推廣.

3.3優(yōu)化解題策略與思想方法

解題的過(guò)程就是數(shù)學(xué)的方法、策略和思想不斷積累、反思與優(yōu)化的過(guò)程.本題分別運(yùn)用了代數(shù)法與幾何法，由“中點(diǎn)”、“等腰直角三角形”等條件，進(jìn)而構(gòu)造圖形尋找數(shù)量關(guān)系，直指代數(shù)法，但代數(shù)法的局限性也顯而易見(jiàn)：一是AC2的表達(dá)式是含有x、y的二次式，通過(guò)整體代換轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一次式，如何轉(zhuǎn)化對(duì)解題者是一種心理考驗(yàn)；二是這里的代數(shù)法依賴(lài)“等腰Rt△PBC”和“O為AB中點(diǎn)”等特殊條件，將條件弱化或退化，代數(shù)法就顯得力不從心；三是由構(gòu)造直角三角形找數(shù)量關(guān)系需根據(jù)圖形位置分類(lèi)，也是難點(diǎn).而運(yùn)用位似加旋轉(zhuǎn)的幾何法，可以通過(guò)“從特殊到一般”的問(wèn)題解決過(guò)程，實(shí)現(xiàn)解題策略的優(yōu)化與數(shù)學(xué)思想的飛躍.

3.4發(fā)展探究潛能與數(shù)學(xué)思維

著名的數(shù)學(xué)家希爾伯特說(shuō)過(guò)：“一個(gè)問(wèn)題的解決意味著一系列新的問(wèn)題的誕生.當(dāng)我們解題成功時(shí)，不要忘記提出新的問(wèn)題，因?yàn)檫€有許多寶藏尚未開(kāi)發(fā)出來(lái).”對(duì)于源問(wèn)題，可以從兩個(gè)方面開(kāi)發(fā)“寶藏”：一是問(wèn)題的發(fā)展性開(kāi)發(fā)；二是數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng).源問(wèn)題蘊(yùn)含著多向的問(wèn)題發(fā)展性和豐富的思維發(fā)展性，比如△PBC由“等腰直角三角形”退化為“任意直角三角形”再退化為“任意三角形”；圓心O由“線段AB中點(diǎn)”退化為“線段AB上任意一點(diǎn)”等.問(wèn)題的這種發(fā)展是隱性的、潛在的，教師要以敏銳的視角引導(dǎo)學(xué)生去挖掘與探究，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知下抵?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)、上達(dá)思維“高地”.或許有人會(huì)質(zhì)疑：思考3有探究的必要嗎？筆者認(rèn)為很有必要.這是因?yàn)椋罕M管“任意三角形中已知兩邊及夾角求第三邊”的情形用現(xiàn)有知識(shí)還難以解決，但通過(guò)定性分析可以強(qiáng)化對(duì)“兩邊及夾角一定的三角形確定，進(jìn)而第三邊長(zhǎng)也一定”結(jié)論的理解，也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的定量計(jì)算打下伏筆，如果就題論題就失去了源問(wèn)題的教學(xué)價(jià)值.參考文獻(xiàn)

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