案例教學(xué)法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中的應(yīng)用*

王 芬

（廣東金融學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東 廣州 510521）

案例教學(xué)法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中的應(yīng)用*

王 芬

（廣東金融學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東 廣州 510521）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象及其規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，是高等本科院校的一門重要公共基礎(chǔ)課。針對案例教學(xué)法在概率統(tǒng)計課程中的應(yīng)用問題，結(jié)合教學(xué)實踐與理論思考，文章從案例的收集、教學(xué)手段和考核方式等幾個方面進行了分析。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計；案例教學(xué)；數(shù)學(xué)期望

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象及其規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，其在工程技術(shù)、社會科學(xué)和自然科學(xué)的各個領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用［1］。概率論是一門歷史悠久的古老學(xué)科，起源于十七世紀(jì)中葉。近幾十年來，概率統(tǒng)計在金融、醫(yī)學(xué)、保險、生物等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。正是概率統(tǒng)計的這種廣泛應(yīng)用性，使得這門課程已經(jīng)成為了各類專業(yè)大學(xué)生的最重要的數(shù)學(xué)必修課之一［2］。

在我國中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010-2020）中明確提出了“支持學(xué)生參與科學(xué)研究，強化實踐教學(xué)環(huán)節(jié)”的要求。因而，引導(dǎo)學(xué)生通過實踐手段來學(xué)習(xí)、驗證和理解問題，培養(yǎng)學(xué)生從實踐中學(xué)習(xí)概率知識、探索數(shù)學(xué)規(guī)律和培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力是目前必須探索的教學(xué)方式之一［3］。

一、在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中引入案例教學(xué)的必要性

十九世紀(jì)七十年代，美國學(xué)者克里斯托弗.哥倫布.朗代爾（C.C.Langdell）首創(chuàng)了案例教學(xué)法。案例教學(xué)是一種開放式、互動式的新型教學(xué)方式。案例教學(xué)是通過模擬或者重現(xiàn)現(xiàn)實生活中的一些場景，讓學(xué)生把自己納入案例場景，通過研討來進行學(xué)習(xí)的一種方法。案例教學(xué)法可以把學(xué)生引入到實際生產(chǎn)生活中去，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高概率論與數(shù)理統(tǒng)計課堂教學(xué)的教學(xué)質(zhì)量。

案例教學(xué)法是聯(lián)系在實踐與理論之間的橋梁，它成功地把理論知識和實際生產(chǎn)生活中的現(xiàn)實問題聯(lián)系了起來。使用案例教學(xué)法進行教學(xué)，既提高了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的趣味性，也讓學(xué)生能夠深切地體會到學(xué)有所用，從而加強了對所學(xué)習(xí)課程重要性的認(rèn)識。因此，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的課堂教學(xué)中提倡案例教學(xué)是十分有必要的，并且具有其獨特的意義。

二、案例的選取

接下來，作者結(jié)合多年來進行概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)的教學(xué)經(jīng)驗，給出幾個具體的教學(xué)案例。

案例1：數(shù)學(xué)期望是概率統(tǒng)計中一個古老而著名的概念。1657年由荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯在《論賭博中的計算》中明確提出。數(shù)學(xué)期望源于賭博中參與者對于所能期望獲得收入的計算。基于數(shù)學(xué)期望概念的起源，教師可首先設(shè)問：大多數(shù)賭徒都期望能在賭場上大撈一把，結(jié)果陪個精光，這是為什么呢？從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)期望概念的積極性。既然期望的概念源于賭博，那么隨后我們在選取具體教學(xué)案例的時候也可以用期望在博彩業(yè)中的應(yīng)用來進行教學(xué)。

例如，可以選取下述例子：美國的輪盤賭博中，常用的輪盤上平均分布有38個數(shù)字。如果輪盤的輸出數(shù)和押注數(shù)相等，則下賭者可以將相當(dāng)于賭本35倍的獎金和原賭注拿回。若輸出值和下壓數(shù)字不同，則賭注就輸?shù)袅恕Ｔ囉嬎阋?美元賭注押在一個數(shù)字上獲利的期望值。

根據(jù)離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望的計算方法，我們不難計算出以1美元賭注押在一個數(shù)字上獲利的期望值為-0.0526＜0。從而，可以清楚地告訴學(xué)生：上述輪盤賭博沒有建立在公平競賽的基礎(chǔ)之上。每賭1美元，平均就會輸?shù)?美分。借此奉勸學(xué)生遠(yuǎn)離博彩，健康生活。

案例2：貝葉斯公式是概率論中一個古老的公式，最早由18世紀(jì)英國學(xué)者托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes，1702-1761）提出。目前貝葉斯公式在大數(shù)據(jù)、人工智能、垃圾郵件的過濾、海難搜救、疾病診斷等方面都有著重要的應(yīng)用。作為教師，可以首先對學(xué)生講授貝葉斯公式的提出歷史，應(yīng)用領(lǐng)域，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。隨后介紹貝葉斯公式由果索因的特點，接著給出案例，以此說明貝葉斯公式的具體應(yīng)用。

例如，可以選取下述例子：某地區(qū)患有肝癌的人口占總?cè)丝跀?shù)的0.005，肝癌患者對甲胎蛋白試驗反應(yīng)呈陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應(yīng)呈陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)呈陽性，問此人確實患有肝癌的概率有多大？

依據(jù)貝葉斯公式，不難計算出當(dāng)試驗反應(yīng)呈陽性的時候，被檢測者確實患有肝癌的概率為0.1066。即1000個試驗反應(yīng)呈陽性的人中大約只有107人確實患有肝癌。因此，若僅以甲胎蛋白試驗反應(yīng)結(jié)果為唯一判斷依據(jù)，誤診率將會很高。教師隨后可以在上例的前提條件下，要求學(xué)生分組討論，嘗試計算：試驗反應(yīng)呈陰性時，被檢測者確實沒有患肝癌的概率。

案例3：講授中心極限定理時，可首先列舉客觀世界中遇到的諸多近似服從正態(tài)分布的隨機變量。說明在客觀實際中有許多隨機變量，它們被大量的相互獨立的微小的隨機因素綜合影響。而其中每一個因素在總的影響中所起的作用都是微不足道的。那么，這種隨機變量往往近似地服從正態(tài)分布。這種現(xiàn)象就是中心極限定理的客觀背景，也是為何正態(tài)分布能在概率統(tǒng)計中大放異彩的主要原因。通過介紹應(yīng)用背景能夠大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，然后介紹獨立同分布的中心極限定理、Lyapunov定理、棣莫弗-拉普拉斯定理等［4］。隨后給出以下案例：

某人壽保險公司開辦一年期保險業(yè)務(wù)，被保險人每年需交付保費200元，若一年內(nèi)患重疾，可獲21000元賠償金。若某地區(qū)人員一年內(nèi)患重疾的概率為0.006，已知6500人參與投保，則該項保險業(yè)務(wù)能為該人壽保險公司獲利25萬-45萬的概率是多少［2］？

首先可引入下述隨機變量："X"i=1，第i個被保險人一年內(nèi)患重疾；xi=0，第i個被保險人一年內(nèi)未患重疾，其中i=1，2，…，6500。隨后使用棣莫弗-拉普拉斯定理可以計算出該概率值。

綜上所述，由于概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的案例教學(xué)涉及的知識面十分廣泛，這無疑會對教師和教學(xué)單位提出更高的要求。如何不斷豐富案例？怎樣將案例內(nèi)容與學(xué)生所學(xué)專業(yè)相結(jié)合？這些問題值得我們思考。相關(guān)教學(xué)單位可以采取集中備課、舉辦案例教學(xué)競賽或設(shè)計教改基金項目等措施，鼓勵案例的收集建設(shè)，為廣大數(shù)學(xué)教師的發(fā)展提供有力的支持［5］。

三、案例教學(xué)中教師的角色

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的案例教學(xué)過程中，可考慮開放式的教學(xué)方式，同時確立學(xué)生的主體地位。教師應(yīng)該充當(dāng)引導(dǎo)者的角色，引導(dǎo)開放討論。教師要啟發(fā)學(xué)生積極參與、勇于嘗試、不斷試錯、及時調(diào)整、融會貫通地掌握知識。教師應(yīng)充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，引導(dǎo)學(xué)生將專業(yè)知識與數(shù)學(xué)知識聯(lián)系起來，從而提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力［6］。

四、引進多媒體輔助教學(xué)，提高教學(xué)效果

作為與實際生活緊密聯(lián)系的概率統(tǒng)計課程，教師除了介紹常用的Matlab和Mathematics軟件，還可以為學(xué)生介紹諸如SAS、SPSS等專業(yè)統(tǒng)計軟件。有條件的高校，可以考慮開設(shè)概率統(tǒng)計實驗課程，讓學(xué)生在理解理論知識的同時，學(xué)會運用統(tǒng)計軟件解決實際問題或?qū)I(yè)問題。當(dāng)然，這需要任課教師平時除了不斷豐富自己的理論知識以外，還應(yīng)該不斷提升自己在軟件應(yīng)用方面的教學(xué)技能。高校還可以定期在學(xué)生中舉辦軟件應(yīng)用大賽，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

五、改革評價指標(biāo)

傳統(tǒng)評價只注重學(xué)生的考試結(jié)果，結(jié)合案例教學(xué)的目的可考慮突出過程評價?？梢钥紤]給出平時分組討論的分?jǐn)?shù)，解決實際問題寫出小論文的分?jǐn)?shù)等等。當(dāng)然，在考察概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程學(xué)習(xí)效果的時候，應(yīng)該分清主次，不能舍本逐末，應(yīng)該控制好基礎(chǔ)理論考查與應(yīng)用考查之間的比例?？梢試L試命題中傳統(tǒng)題型與創(chuàng)新題型共存，在不忽略學(xué)生基礎(chǔ)的同時，培養(yǎng)學(xué)生分析與解決問題的綜合運用能力。理論是基礎(chǔ)，應(yīng)用是目的，融入是手段。沒有扎實的理論知識，就談不上應(yīng)用創(chuàng)新。

六、結(jié)束語

在傳統(tǒng)的概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中融入案例教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生將理論知識與實踐相結(jié)合的能力，更好地服務(wù)于社會，是當(dāng)今數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革一個大的趨勢。這是一個循序漸進、逐漸提升的過程，不能一蹴而就。這需要教師在教學(xué)中不斷提升教學(xué)技能，不斷激發(fā)學(xué)生的主動性和積極性，同時需要學(xué)生在學(xué)習(xí)中勇于探索、勇于嘗試、不斷試錯、適時調(diào)整。

如何更好地將案例教學(xué)融入到概率統(tǒng)計的日常教學(xué)過程中？怎樣才能將案例內(nèi)容與學(xué)生的專業(yè)知識相結(jié)合？采取什么樣的考核方式更為合理？這些問題值得我們教育工作者思考。文章從案例的收集、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段和考核方式等幾個方面對上述內(nèi)容進行了探討。

［1］向小紅.數(shù)學(xué)建模思想的概率統(tǒng)計學(xué)探討［J］.中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2012，35：57-58.

［2］王松桂，張忠占，程維虎，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計［M］.北京：科學(xué)出版社，2011.

［3］孫蕾，谷德峰.概率論與數(shù)理統(tǒng)計實驗教學(xué)案例設(shè)計［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2014，17（1）：100-102.

［4］盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［5］王芬，夏建業(yè)，趙梅春，等.金融類高校高等數(shù)學(xué)課程融入數(shù)學(xué)建模思想初探［J］.教育教學(xué)論壇，2016，1（1）：156-157.

［6］張景祥，唐旭清.概率統(tǒng)計課程的改革與實踐［J］.江南大學(xué)學(xué)報（教育科學(xué)版），2007，27（2）：89-92.

As an important public basic course in colleges and universities，probability theory and mathematical statistics is a discipline that studies random phenomenon and its laws.In view of the application of case teaching method in the course of probability statistics，combined with teaching practice and theoretical thinking，this paper makes analysis from the perspective of collection of cases，teaching methods and examination method.

probability theory and mathematical statistics；case teaching；mathematical expectation

G642

A

2096-000X（2016）20-0074-02

本文受廣東省自然科學(xué)基金（編號：2015A030310426）；廣東省高等學(xué)校優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)計劃（編號：YQ2015118）；廣東省普通高校青年創(chuàng)新人才項目（自然科學(xué)類）（編號：2014KQNCX187）；廣東金融學(xué)院創(chuàng)新強校工程“隨機擾動下具有反應(yīng)擴散的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性與混沌同步研究”項目資助。

王芬（1980-），女，漢族，湖北省天門人，廣東金融學(xué)院，博士，副教授，研究方向：動力系統(tǒng)與數(shù)學(xué)建模研究。