茹峰

【摘要】 如何解決中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)內(nèi)容多、參考資料雜而課時有限的困境？本文借賞析藤麗老師《平面直角坐標系中的平行直線》一課中對一道中考復(fù)習(xí)題的支架式教學(xué)，指出中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)該借助重點習(xí)題的教學(xué)構(gòu)建一個遞進式的知識體系，讓學(xué)生消化得了，并形成數(shù)學(xué)思考與方法，學(xué)生舉一反三。

【關(guān)鍵詞】 中考題 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 支架

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2016）02-073-030

一、背景

面對歷年的中考數(shù)學(xué)難題，不少老師總是感到變化無常而無規(guī)律可循，導(dǎo)致復(fù)習(xí)時械重復(fù)訓(xùn)練很多且收效甚微。近年來，筆者聽過不少復(fù)習(xí)課，但印象頗深的要數(shù)寧波蛟川書院藤麗老師的課了。藤老師借助2012年中考數(shù)學(xué)寧波卷第26題的第（3）問，以兩條平行線為基本模型，由平面直角坐標系中的簡單的平行線設(shè)計開放性問題讓學(xué)生積極探索，充分挖掘平行線在數(shù)學(xué)中考中的廣泛應(yīng)用，科學(xué)地設(shè)置了知識的結(jié)合點和生長點，通過模型的不斷變式，有效地啟發(fā)和培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式，使在場教師受益匪淺。

原題：如圖，在平面直角坐標系中，一條拋物線經(jīng)過點A（-2，0）、B（0，-1）、C（1，0）。在此拋物線上是否存在點F，使得以F為圓心、為半徑的圓和直線AB相切 ？若存在，請求出所有點F的坐標；若不存在，請說明理由。

很明顯，這一習(xí)題的解答對知識的綜合運用程度極高，依現(xiàn)行的初中數(shù)學(xué)畢業(yè)班備考階段的通行做法，本題講解的一般思路是：考點分析——解題分析——解題過程講解——方法總結(jié)。選擇這種習(xí)題講授法的教師占多數(shù)，主要原因是心理上所承受的中考應(yīng)試壓力大，理念上受“雙基”的影響，行為上采取“滿堂灌”式的傳授。但依伍德的學(xué)習(xí)支架理論來進行教學(xué)診斷，這種常規(guī)講解方法屬于支架過度：教師代替并束縛了學(xué)生的思維，就算學(xué)生聽懂了也只是達成了一個短期的記憶效果，并沒有讓大多數(shù)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想上的認知或收獲。還有部分教師選擇的是先學(xué)后教的方式，讓學(xué)生以合作探究或獨立思考方式先進行自我嘗試，然后再進行全面講解。但由于第（3）問不易想出解題方法，學(xué)生的“已知區(qū)”與“最近發(fā)展區(qū)”之間鴻溝過大，多數(shù)學(xué)生都會束手無側(cè)。本文擬結(jié)合藤老師的教學(xué)過程作一個賞析評價，與同行分享并研討。

二、學(xué)習(xí)支架的遞進構(gòu)建

支架性問題1：如圖，在平面直角坐標系中，直線AB 分別交x軸，y軸于點A（-2，0），B（0，-2）。（1）求直線AB的函數(shù)解析式；（2）若直線l與直線AB平行，增加一個怎樣的條件就可以確定直線l的解析式？（3）若直線AB 向下平移2個單位，求所得的函數(shù)解析式？

分析：對于（2）的解答有學(xué)生提出增加“直線l過一個定點（0，1）”。因為通過第一小題可得直線AB的函數(shù)解析式為y=-x-2，再結(jié)合已知條件兩直線平行，則x的系數(shù)是相等的，所以只要再知道一個點的坐標就可以確定函數(shù)解析式了。

有學(xué)生認為，若知道直線l與AB之間距離為22，應(yīng)該可以得出函數(shù)解析式的。

有的則說可以增加“將直線AB向右平移1個單位”。還有的認為可以求出點A和點B的對應(yīng)點，從而兩點決定一條直線。有一個學(xué)生則認為：平移后的直線和原直線平行，所以k=-1，如增加（3），則直線l與y軸的交點為（0，-4）”函數(shù)解析式為y=-x-4。

教學(xué)評析：通過開放性問題的設(shè)問，能有效打開學(xué)生的思維，可以讓學(xué)生積極探索，歸納總結(jié)兩平行直線解析式的

特征和決定一直線的條件，

為下面的教學(xué)埋下了伏筆。

支架性問題2：如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-12x-1分別交x軸， y軸于點A、B. 若直線l與直線AB平行，且與直線AB的距離等于55.求直線l的解析式。

師生解析：過A作PA⊥AB，使得PA=55，再過點P作PM⊥x軸，

則△AOB∽△PAM，得到AM=15，PM=25，所以點P（-95，25），過P作直線l∥AB，設(shè)直線l為y=-12x+b代入點P得b=-12，類似地在直線AB下方也可以求出b=-32.

既然只要再求出一個點就可以確定解析式了，那么我們這個點就可以取得特殊點，在y軸上找一點P，使得PM⊥AB，則△BMP∽△BOA，得到點P（0，-12），所以直線l為y=-12x-12，類似直線下方的解析式為y=-12x-32.

教學(xué)評析：用特殊點和方程思想來解決問題，其實線段與點的坐標也存在著一定的關(guān)系，得出y=-12x-12是由原來直線向上平移12個單位，或者向下平移12個單位得到進一步強化通過平行線之間的距離來求解析式，強化用特殊到一般，熟練掌握用方程的思想在幾何中的運用。

支架性問題3：如圖，在平面直角坐標系中，一條拋物線經(jīng)過點A（-2，0），B（0，-1），C（1，0）。問題1：在此拋物線上是否存在點D，使得以A、B、C、D為頂點、BC為腰的四邊形是梯形？

若存在，請求出所有點D的坐標；若不存在，請說明理由。

師生解析：當AC為底時，過點B作BD∥AC，得點D1 （-12，-1）；當AB為底時，過點C作CD∥AB，點D為直線CD與拋物線的交點，求得D2 （-3，2）。

教學(xué)評析：用分類思想探究問題，方程思想解決問題，從而求出點D坐標。這里已經(jīng)逐步過渡到第26題的第3問，讓學(xué)生回憶并用轉(zhuǎn)化的思想。讓分類更為完備，逐步加大平行線想象難度，培養(yǎng)學(xué)生的分類思想，同時也強化了兩平行線的函數(shù)特征。

支架性問題4：如圖，在平面直角坐標系中，一條拋物線經(jīng)過點A（-2，0）、B（0，-1）、C（1，0）。問題2：在此拋物線上是否存在點E，使得△ABE的面積等于0.5 ？若存在，請求出所有點E的坐標；若不存在，請說明理由。

師生解析：由SΔABC=12和AB=5，可得AB邊上的高為55，那么就是學(xué)生7所求的兩直線和已知拋物線的交點，計算得E1（-2-1，22），E2（2-1，-22），E3（-1，-1）。

教學(xué)評析：逐步過渡到第26題的第3問，把這個問題轉(zhuǎn)化為剛才我們所解的直線方程與拋物線的交點，運用了方程的思想求解，讓學(xué)生回憶并用轉(zhuǎn)化的思想。

支架性問題5：如圖，在平面直角坐標系中，一條拋物線經(jīng)過點A（-2，0）、B（0，-1）、C（1，0）。問題3：在此拋物線上是否存在點F，使得以F為圓心、55為半徑的圓和直線AB相切 ？若存在，請求出所有點F的坐標；若不存在，請說明理由。

師生解析：這個問題可以轉(zhuǎn)化為就是拋物線上的點到直線AB的距離為55.

三、值得借鑒之處

藤麗老師的課為我們老師怎樣上一節(jié)高效的復(fù)習(xí)課指明了方向，從課堂的教學(xué)評價來看，學(xué)生顯然做到了舉一反三，形成了解決所有類似問題的技能。

1.巧妙整合，形成探究支架

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)支架是指學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中老師所給予的、讓學(xué)生順利地跨越“已知區(qū)”到“最近發(fā)展區(qū)”、甚至“未知區(qū)”的支持，它具有過渡性與支撐性兩個特點。復(fù)習(xí)課最忌“題海戰(zhàn)術(shù)”與“炒冷飯”，藤老師注意知識的整合，把一道復(fù)雜習(xí)題的解析過程演變?yōu)橐粋€平行線的系列問題進行剖析。通過一個個問題的遞進式解決，最終大題的解決已經(jīng)水到渠成，同時又系統(tǒng)地復(fù)習(xí)了相關(guān)知識，形成了解題能力。

2.開放性設(shè)問，留給學(xué)生思考

藤麗老師的很多問題都沒有固定答案，她將問題的多種思考方向留給學(xué)生自己去探究，這有助于學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)。

3.提煉方法，引導(dǎo)舉一反三

數(shù)學(xué)是解決現(xiàn)實問題的工具與方法，更是一種思維方式與思想模型。藤老師的教學(xué)設(shè)計使學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)問題發(fā)生與發(fā)展的全過程，把綜合題分解為基本題，又能把基本題整合成綜合題。

四、小結(jié)

在例題教學(xué)中，我們先通過設(shè)置具有開放性的學(xué)習(xí)支架來暴露問題本質(zhì)要素，引發(fā)學(xué)生對虛擬的動態(tài)點線進行追蹤或以動態(tài)的觀點來進行圖形觀察，促使學(xué)生形成必要的幾何直觀與數(shù)學(xué)悟性；然后再利用指南支架讓學(xué)生形成解題的基本活動經(jīng)驗，以小結(jié)的形式及時歸納經(jīng)驗性的認識與思想性的認識。教師在支架的構(gòu)建過程中一方面要具備重新抓住一條主線整合知識的能力，讓學(xué)生有耳目一新之感，通過拾級而上順利解決問題，又能形成思想方法與舉一反三的能力。

[ 參 考 文 獻 ]

[1]數(shù)學(xué)課程標準研制組.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2002.

[2]丁爾陞.中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法總論[M].北京：高等教育出版社，1990.