張潤(rùn)涵，扈羅全，2

（1.蘇州大學(xué)城市軌道交通學(xué)院，江蘇蘇州215131；2.蘇州出入境檢驗(yàn)檢疫局，江蘇蘇州215104）

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基于稀疏表示的電力系統(tǒng)諧波信號(hào)頻率分析

張潤(rùn)涵1，扈羅全1，2

（1.蘇州大學(xué)城市軌道交通學(xué)院，江蘇蘇州215131；2.蘇州出入境檢驗(yàn)檢疫局，江蘇蘇州215104）

摘要：諧波污染對(duì)電力系統(tǒng)和電力設(shè)備產(chǎn)生嚴(yán)重的危害和影響，當(dāng)電力信號(hào)中存在強(qiáng)大的噪聲成分時(shí)，傳統(tǒng)的快速傅里葉變換（fast fourier transform，F(xiàn)FT）無(wú)法準(zhǔn)確提取出諧波成分。該文在信號(hào)稀疏表示理論的基礎(chǔ)上，提出基于稀疏表示的電力系統(tǒng)諧波信號(hào)頻率分析方法，并設(shè)計(jì)出諧波頻率分析快速算法。通過(guò)Matlab仿真，結(jié)果表明該方法能準(zhǔn)確提取諧波成分的頻率，具有較強(qiáng)的抗噪能力。

關(guān)鍵詞：諧波分析；頻率分析；稀疏表示；快速傅里葉變換

0　引言

隨著各種非線性負(fù)荷特別是電力電子設(shè)備在電力系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用，電力系統(tǒng)的諧波污染日趨嚴(yán)重，諧波含量已成為衡量電能質(zhì)量的重要指標(biāo)[1]。對(duì)電力系統(tǒng)中的諧波頻率成分進(jìn)行實(shí)時(shí)測(cè)量，確切掌握信號(hào)中諧波頻率的實(shí)際狀況，對(duì)于防止諧波危害，維護(hù)電力系統(tǒng)的安全運(yùn)行具有重要意義。

快速傅里葉變換（fast fourier transform，F(xiàn)FT）因其易于實(shí)現(xiàn)而被作為諧波分析的主要方法，已被廣泛應(yīng)用于電力系統(tǒng)諧波分析領(lǐng)域[2-3]。但FFT算法對(duì)噪聲的抗干擾能力弱，當(dāng)電力信號(hào)中存在強(qiáng)大的噪聲成分時(shí)，F(xiàn)FT算法無(wú)法準(zhǔn)確獲取諧波信號(hào)的頻率成分。

三角函數(shù)基底由不同頻率參量的諧波原子構(gòu)成，諧波原子與諧波成分匹配度較高，因此諧波信號(hào)可由三角函數(shù)基底稀疏表示；而噪聲成分與諧波原子匹配度低，因此噪聲信號(hào)不能用三角函數(shù)基底稀疏表示。基于此，本文引入稀疏表示的思想，提出了一種基于稀疏表示的電力系統(tǒng)諧波信號(hào)頻率分析方法。

1　基于稀疏表示的諧波信號(hào)頻率分析

1.1諧波信號(hào)稀疏表示模型

假設(shè)含噪諧波信號(hào)的觀測(cè)值為

式中，信號(hào)x（t）（（M+1）×1維）含有多個(gè)諧波成分；n（t）（（M+1）×1維）為噪聲信號(hào)。其中x（t）可以表示為

式中：fn——第n次諧波的頻率；

An、φn——第n次諧波的幅值和相位；

N——最高次諧波次數(shù)。

諧波恢復(fù)的目的就是從含噪信號(hào)中估計(jì)出真實(shí)諧波信號(hào)成分。考慮相位φn=0的情形[4-5]，式（2）可以寫(xiě)成矩陣表示形式：

則真實(shí)信號(hào)x（t）可以表示成若干個(gè)諧波成分的線性疊加和，同時(shí)也可以表示成一個(gè)三角函數(shù)基底與表示系數(shù)的乘積。

上述式（3）可看作信號(hào)x（t）在三角函數(shù)基底上的線性展開(kāi)，可簡(jiǎn)化成：

式中：x——信號(hào)x（t）；

S——三角函數(shù)基底，為冗余基底；

A——系數(shù)。

假設(shè)原始信號(hào)中只含有p個(gè)諧波成分，理論上式（4）中的系數(shù)A只含有p個(gè)非零值，其余N+1-p個(gè)值均為0，是一個(gè)稀疏向量，原始信號(hào)x（t）可以用該三角函數(shù)基底稀疏表示。

1.2三角函數(shù)基底稀疏表示快速算法

從觀測(cè)信號(hào)中估計(jì)原始信號(hào)x等價(jià)于從觀測(cè)信號(hào)中估計(jì)原始信號(hào)在三角函數(shù)基底上的表示系數(shù)A。通?？梢岳没粉櫲ピ耄╞asis pursuit denoising，BPD）將該稀疏表示問(wèn)題轉(zhuǎn)換成線性規(guī)劃問(wèn)題[6]：

式中λ為拉格朗日乘子。

λ的選取準(zhǔn)則可參考文獻(xiàn)[7]。傳統(tǒng)梯度下降法收斂速度慢，Afonso等提出了一種收斂速度更快的優(yōu)化算法[8]，分裂增廣拉格朗日收縮算法（split augmented lagrangian shrinkage algorithm，SALSA），通過(guò)迭代更新表示系數(shù)A使得代價(jià)函數(shù)J（A）最小，最終得到一組最優(yōu)解，該迭代過(guò)程為

1）初始化k，λ，μ，ν0，d0，A0，Nit（迭代次數(shù)）。

2）循環(huán)開(kāi)始。

3）當(dāng)k大于設(shè)定迭代次數(shù)時(shí)（k＞Nit），循環(huán)結(jié)束。

利用函數(shù)求導(dǎo)可以求得二次函數(shù)式（6）的解，而式（7）可以利用軟閾值法[9]來(lái)求解。決定該算法計(jì)算速度的關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)基底S的操作是否有快速算法?？紤]到基底S的具體形式，在Matlab軟件中設(shè)計(jì)出基于FFT的快速算法，x=SA和A=S-1x可以利用表1中的函數(shù)實(shí)現(xiàn)。

通過(guò)以上迭代算法可以求得最優(yōu)解向量A^，則原始信號(hào)x的逼近值為x^=SA^。

表1　基于FFT的函數(shù)快速求解Matlab代碼

2　仿真算例

為驗(yàn)證基于稀疏表示的諧波頻率分析方法的有效性，采用類似參考文獻(xiàn)[4-5，10]的仿真算例，對(duì)含有多個(gè)諧波成分的信號(hào)進(jìn)行仿真分析，該仿真信號(hào)為

式中n（t）為高斯白噪聲，信號(hào)y（t）中含有6次諧波、9次諧波、10次諧波以及噪聲成分。通常用信噪比的大小來(lái)描述信號(hào)中含噪聲成分的程度，信噪比SNR為

式中：Ps——有用信號(hào)的能量；

Pn——噪聲信號(hào)的能量。

取噪聲幅值為0.7，使得SNR=0.5411dB，對(duì)信號(hào)y（t）進(jìn)行傅里葉分析得其頻譜如圖1所示，表明該信號(hào)中含有3個(gè)主要諧波頻率成分，分別為f6=300 Hz，f9=450 Hz，f10=500 Hz。但由于噪聲成分的存在，頻譜中存在許多干擾成分。

圖1　仿真信號(hào)的頻譜圖（SNR=0.5411dB）

利用本文提出的方法分析信號(hào)y（t），得其表示系數(shù)如圖2所示，可清晰獲取3個(gè)諧波頻率成分，分別為f6=300 Hz，f9=450 Hz，f10=500 Hz，信號(hào)中的諧波成分與三角函數(shù)基底匹配程度高，可以用該基底稀疏表示，而噪聲成分與三角函數(shù)基底匹配程度低，不能用該基底稀疏表示。

為進(jìn)一步驗(yàn)證該方法對(duì)信號(hào)中諧波成分提取的有效性和對(duì)噪聲的抗干擾能力，針對(duì)噪聲幅值為1.4，SNR=-5.4795dB時(shí)的含噪諧波信號(hào)進(jìn)行分析。圖3給出了該信號(hào)的傅里葉頻譜，圖4給出了該信號(hào)的稀疏表示結(jié)果。

圖3和圖4表明當(dāng)噪聲成分比較多時(shí)，噪聲對(duì)頻譜分析有較大干擾，傅里葉分析難以準(zhǔn)確分辨出原始信號(hào)中的諧波頻率成分，而本文的方法仍可以稀疏表示原始信號(hào)中的諧波頻率成分，具有很好的抗噪能力。

圖2　仿真信號(hào)的稀疏表示結(jié)果（SNR=0.5411dB）

圖3　仿真信號(hào)的頻譜圖（SNR=-5.4795dB）

圖4　仿真信號(hào)的稀疏表示結(jié)果（SNR=-5.4795dB）

3　討論

1）傅里葉頻譜圖可以描繪出原始信號(hào)中諧波成分的幅值，而從稀疏表示的結(jié)果圖中可以看出，稀疏表示系數(shù)的幅值與仿真信號(hào)中諧波成分的幅值相差較大，這是由于本文提出的方法是基于基追蹤去噪方法，而基追蹤去噪方法必然會(huì)帶來(lái)幅值上的衰減。

2）類比傅里葉頻譜圖可以描繪出原始信號(hào)中諧波成分的相位，之后的工作將考慮能否利用該稀疏表示方法檢測(cè)出諧波成分的相位。

3）本文主要是針對(duì)含高斯白噪聲的諧波信號(hào)進(jìn)行分析，之后的工作將包括對(duì)含有色噪聲諧波信號(hào)進(jìn)行稀疏表示分析。

4　結(jié)束語(yǔ)

本文基于稀疏表示理論提出了一種新的諧波信號(hào)頻率分析方法，并設(shè)計(jì)了基于三角函數(shù)基底的Matlab快速算法。仿真結(jié)果表明，利用該方法能準(zhǔn)確獲取諧波信號(hào)的頻率成分，測(cè)量準(zhǔn)確度高，抗干擾能力強(qiáng)，因此，該算法在電力系統(tǒng)諧波分析中有較高的實(shí)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

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[10]李天云，程思勇，楊梅.基于希爾伯特-黃變換的電力系統(tǒng)諧波分析[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2008，28（4）：109-113.

（編輯：徐柳）

Sparse representation-based analysis of harmonic signal frequency in power system

ZHANG Runhan1，HU Luoquan1，2
（1. School of Urban Rail Transportation，Soochow University，Suzhou 215131，China；2. Suzhou Entry-Exit Inspection and Quarantine Bureau，Suzhou 215104，China）

Abstract:Harmonic waves are harmful to electric power systems and electrical equipment. The analysis of harmonic signal frequency in power system has long been an important subject for electric power designers. Strong background noise in signals will interface harmonic components, thus making them too hard to be derived with the traditional approach -fast fourier transform （FFT）. In this paper, we have designed a fast algorithm for harmonic analysis based on the sparse representation theory. The Matlab -based simulation experiment has shown that the proposed method, because of its strong anti-noise capacity, can be used to extract accurately the frequency of harmonic components.

Keywords:harmonic analysis；frequency analysis；sparse representation；FFT

作者簡(jiǎn)介：張潤(rùn)涵（1990-），男，江蘇鎮(zhèn)江市人，碩士研究生，專業(yè)方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)諧波分析、電能質(zhì)量檢測(cè)與分析。

基金項(xiàng)目：國(guó)家質(zhì)檢總局科研項(xiàng)目（2012IK091）

收稿日期：2015-07-11；收到修改稿日期：2015-08-29

doi：10.11857/j.issn.1674-5124.2016.01.008

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-5124（2016）01-0035-03