李永華，董少迪

(大連交通大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，遼寧 大連　116028)

目前，車輛軸箱彈簧優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究主要集中在優(yōu)化模型和優(yōu)化算法兩方面。

在優(yōu)化模型方面，孫劍萍等[1]、王紅等[2]提出了基于模糊數(shù)學(xué)和可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)理論的優(yōu)化模型，在保證彈簧輕量化的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了彈簧防共振性、靜強(qiáng)度、疲勞強(qiáng)度的優(yōu)化；商躍進(jìn)等[3]利用系統(tǒng)工程方法建立了變剛度彈簧組的優(yōu)化模型，在使彈簧輕量化的同時(shí)，分析了對(duì)減振裝置中楔塊形狀的影響程度。但上述優(yōu)化模型極少考慮彈簧的簧條直徑、彈簧中徑、工作圈數(shù)、剪切模量及密度等影響因素發(fā)生波動(dòng)時(shí)對(duì)彈簧的質(zhì)量、剛度和自然頻率等質(zhì)量特性的影響。為了使彈簧的質(zhì)量特性對(duì)這些影響因素的變化不敏感，商躍進(jìn)等[4]又提出了機(jī)車軸箱彈簧的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，但所建立的優(yōu)化模型僅考慮了彈簧的單個(gè)質(zhì)量特性對(duì)彈簧穩(wěn)健性設(shè)計(jì)的影響，未考慮影響因素變化情況下彈簧的剛度、自然頻率、質(zhì)量等多個(gè)彈簧質(zhì)量特性的穩(wěn)健性。為了保證彈簧的各質(zhì)量特性對(duì)彈簧的簧條直徑、彈簧中徑、工作圈數(shù)、剪切模量及密度等影響因素的波動(dòng)不敏感，實(shí)現(xiàn)彈簧的多個(gè)質(zhì)量特性的穩(wěn)健性，有必要對(duì)動(dòng)車組軸箱彈簧進(jìn)行多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化方法的研究。

在優(yōu)化算法方面，韓錕等[5-6]提出1種遺傳算法與蟻群算法結(jié)合的混合算法，使其能快速、準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)全局優(yōu)化解，但遺傳算法易陷入局部最優(yōu)，蟻群算法又有收斂速度慢的缺點(diǎn)。

為避免這些缺點(diǎn)，學(xué)者們提出了可以解決全局最優(yōu)、高效準(zhǔn)確的優(yōu)化算法和多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化方法[7-11]，如改進(jìn)的廣義距離函數(shù)法[7]、滿意度函數(shù)法[8]、新的D-optimal試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法[9]、均方誤差法[10]等，以及Yadav等[11]提出如何權(quán)衡多個(gè)具有相關(guān)性的質(zhì)量特性，對(duì)多個(gè)具有相互沖突的質(zhì)量特性進(jìn)行了優(yōu)化研究。這些研究主要關(guān)注多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化的理論及方法，但未進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用研究。并且在優(yōu)化時(shí)無法準(zhǔn)確把握設(shè)計(jì)者的偏好。物理規(guī)劃法具有靈活度高、計(jì)算簡(jiǎn)便、把握實(shí)際等優(yōu)點(diǎn)，能有效地處理多目標(biāo)問題，可準(zhǔn)確地把握設(shè)計(jì)者的偏好，有效地權(quán)衡各質(zhì)量特性的穩(wěn)健性，從實(shí)際出發(fā)解決動(dòng)車組軸箱彈簧多響應(yīng)特性的穩(wěn)健性問題。

本文在考慮動(dòng)車組軸箱彈簧的簧條直徑、彈簧中徑、工作圈數(shù)等可控因素及剪切模量、密度等不可控因素及其相互關(guān)系的基礎(chǔ)上，根據(jù)物理規(guī)劃法的偏好函數(shù)權(quán)衡動(dòng)車組軸箱彈簧各質(zhì)量特性(質(zhì)量、剛度、自然頻率)的穩(wěn)健性，把握設(shè)計(jì)者的滿意度，構(gòu)建多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化模型，從而獲得穩(wěn)健優(yōu)化解，并與傳統(tǒng)解進(jìn)行對(duì)比分析。

1　動(dòng)車組軸箱彈簧多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化模型

穩(wěn)健性要求產(chǎn)品的質(zhì)量特性值對(duì)影響因素的干擾不敏感[12]。在設(shè)計(jì)彈簧中考慮的影響因素主要有簧條直徑、彈簧中徑、工作圈數(shù)、剪切模量及密度等，這些影響因素會(huì)造成彈簧質(zhì)量、剛度和自然頻率等質(zhì)量特性的波動(dòng)。信噪比是衡量彈簧穩(wěn)健性的評(píng)價(jià)指標(biāo)，其值越大則表示彈簧質(zhì)量波動(dòng)越小，即質(zhì)量特性偏離目標(biāo)值的程度越小，彈簧越具有較高的穩(wěn)健性。本文采用信噪比的方法[13]度量彈簧的多質(zhì)量特性對(duì)影響因素變化的波動(dòng)，通過計(jì)算各質(zhì)量特性的信噪比值，并擬合成信噪比函數(shù)，使其達(dá)到最大化，以保證多響應(yīng)質(zhì)量特性的穩(wěn)健性。另外，由于不同設(shè)計(jì)師對(duì)于軸箱彈簧的設(shè)計(jì)變量選取有不同的偏好，這會(huì)影響彈簧的多響應(yīng)質(zhì)量特性。因此，本文利用物理規(guī)劃法[14]的偏好函數(shù)對(duì)各質(zhì)量特性進(jìn)行滿意度劃分，從實(shí)際出發(fā)，高效、簡(jiǎn)便地權(quán)衡彈簧中的各質(zhì)量特性，以解決同時(shí)實(shí)現(xiàn)多個(gè)質(zhì)量特性穩(wěn)健性的問題。

1.1　質(zhì)量特性值的信噪比

常用的信噪比主要有3種類型[13]，分別如下。

(1)具有望目特性質(zhì)量特性的信噪比SN1。當(dāng)動(dòng)車組軸箱彈簧的質(zhì)量特性值y有1個(gè)確定不為零的目標(biāo)值，則

(1)

(2)具有望小特性質(zhì)量特性的信噪比SN2。當(dāng)動(dòng)車組軸箱彈簧的質(zhì)量特性值y不取負(fù)值，且越小越好，目標(biāo)值為零，則

(2)

式中：yq為彈簧在第q次試驗(yàn)的質(zhì)量特性值。

(3)具有望大特性質(zhì)量特性的信噪比SN3。當(dāng)動(dòng)車組軸箱彈簧的質(zhì)量特性值y不取負(fù)值，且越大越好，目標(biāo)值為零時(shí)最差，則

(3)

1.2　物理規(guī)劃法

物理規(guī)劃法是一種處理多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的有效方法，主要應(yīng)用偏好函數(shù)反映設(shè)計(jì)者的滿意度[15]。偏好函數(shù)是一種為實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)者要求的定量定性的描述，一般可分極小型、極大型、趨于某范圍型、趨于某目標(biāo)型4種類型，每種類型又由“軟”型和“硬”型2種情況組成[16]。為實(shí)現(xiàn)動(dòng)車組軸箱彈簧中各質(zhì)量特性的穩(wěn)健性，一般要求其質(zhì)量特性的信噪比值越大越好，故采用極大型軟偏好函數(shù)描述，該函數(shù)將其5個(gè)分曲線段分別進(jìn)行擬合[17]，如圖1所示。圖中：i為設(shè)計(jì)目標(biāo)的個(gè)數(shù)，i=1,2,…,t；yi為第i個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)的質(zhì)量特性值；yik為第i個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)的質(zhì)量特性值在第k段的區(qū)間邊界值，k=1，2，…，5；fk為第k段的區(qū)間邊界偏好值；fik為第i個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)質(zhì)量特性值在第k段的區(qū)間偏好函數(shù)。

圖1　極大型軟偏好函數(shù)

極大型軟偏好函數(shù)的擬合曲線表達(dá)式為

(4)

c(yi(k-1)-yi)+dk=2，3，…，5

(5)

其中，

綜合所有設(shè)計(jì)目標(biāo)的偏好函數(shù)，得出總偏好函數(shù)fv為

(6)

其中，

X=(x1,x2,x3)

式中：X為動(dòng)車組軸箱彈簧設(shè)計(jì)變量的向量，其中x1為簧條直徑，x2為彈簧中徑，x3為工作圈數(shù)；fik[yi(X)]為包含動(dòng)車組軸箱彈簧設(shè)計(jì)變量X的第i個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)質(zhì)量特性在第k段的偏好函數(shù)。

1.3　多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化模型建立

結(jié)合信噪比與物理規(guī)劃法得出動(dòng)車組軸箱彈簧各質(zhì)量特性信噪比函數(shù)的總偏好函數(shù)，并將其作為目標(biāo)函數(shù)，給出相應(yīng)的約束條件，構(gòu)建基于物理規(guī)劃法的動(dòng)車組軸箱彈簧多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化模型。

(7)

s.t.

ySNH-i(X)≥ySNH-iL(X)

gj(X)≤0

XL≤X≤XU

式中：H代表信噪比的望目特性、望小特性和望大特性，H=1,2,3；fik[ySNH-i(X)]為第i個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)的質(zhì)量特性的信噪比函數(shù)ySNH-i(X)在第k段的偏好函數(shù)；ySNH-iL(X)為第i個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)的質(zhì)量特性的信噪比函數(shù)的最小值；gj(X)為軸箱彈簧的不等式約束，j為約束條件的個(gè)數(shù)，j=1,2,…,l；XU和XL分別為設(shè)計(jì)變量X的上、下界。

2　動(dòng)車組軸箱彈簧多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化流程

動(dòng)車組軸箱彈簧多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化流程如圖2所示。

動(dòng)車組軸箱彈簧多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化的主要步驟如下。

步驟1：分析影響因素。確定影響動(dòng)車組軸箱彈簧穩(wěn)健性的影響因素，并按可控影響因素與不可控影響因素分類；再根據(jù)彈簧的設(shè)計(jì)要求確定其水平值。

步驟2：確定彈簧的質(zhì)量特性。在動(dòng)車組軸箱彈簧多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)中，以自然頻率、剛度和質(zhì)量等為質(zhì)量特性，進(jìn)一步分析各質(zhì)量特性的信噪比特性并選擇相應(yīng)的信噪比函數(shù)。

圖2　多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化流程圖

步驟3：建立多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化模型。首先確定動(dòng)車組軸箱彈簧的設(shè)計(jì)變量，并采用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法列出正交表，計(jì)算得出動(dòng)車組軸箱彈簧的各質(zhì)量特性值及相應(yīng)的信噪比值；然后根據(jù)物理規(guī)劃法構(gòu)建信噪比的偏好函數(shù)，以及基于動(dòng)車組軸箱彈簧各質(zhì)量特性的信噪比值擬合得到其多響應(yīng)質(zhì)量特性的信噪比函數(shù)，再根據(jù)設(shè)計(jì)者的偏好構(gòu)建各偏好函數(shù)；若某些偏好函數(shù)不能滿足設(shè)計(jì)的要求，則需要重新根據(jù)物理規(guī)劃法的偏好結(jié)構(gòu)建立偏好函數(shù)，若滿足設(shè)計(jì)要求，則對(duì)各偏好函數(shù)進(jìn)行整合，構(gòu)建總偏好函數(shù)，并以此作為設(shè)計(jì)目標(biāo)；最后以軸箱彈簧自身參數(shù)為邊界條件，以強(qiáng)度、靜撓度等為約束條件，構(gòu)建動(dòng)車組軸箱彈簧的多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化模型。

步驟4：求解優(yōu)化模型。運(yùn)用ISIGHT平臺(tái)中的拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)抽樣方法進(jìn)行采點(diǎn)抽樣，結(jié)合多島遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行組合優(yōu)化求解，高效、準(zhǔn)確、快速地找出優(yōu)化模型的全局穩(wěn)健性最優(yōu)解。

3　實(shí)例分析

某型動(dòng)車組中的某輛動(dòng)車[18]，其定員為100人，定員質(zhì)量為56 t，其軸箱彈簧裝置的具體參數(shù)見表1。

3.1　分析影響因素

在對(duì)動(dòng)車組軸箱彈簧進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，選取簧條直徑x1、彈簧中徑x2、工作圈數(shù)x3為可控因素，選取軸箱彈簧的剪切模量z1和密度z2為不可控因素，其具體參數(shù)的水平值見表2。

表1　某型動(dòng)車組軸箱彈簧裝置參數(shù)表

表2　軸箱彈簧的影響因素及其參數(shù)的水平值

3.2　確定質(zhì)量特性

在動(dòng)車組軸箱彈簧多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)中，以自然頻率、剛度和質(zhì)量為多響應(yīng)質(zhì)量特性，計(jì)算其質(zhì)量特性值。

自然頻率在一定范圍內(nèi)具有望大特性，其質(zhì)量特性值y1為

(8)

剛度具有望目特性，其質(zhì)量特性值y2為

(9)

質(zhì)量具有望小特性，其質(zhì)量特性值y3為

(10)

因此，計(jì)算動(dòng)車組軸箱彈簧自然頻率、剛度和質(zhì)量的信噪比時(shí)應(yīng)分別采用式(3)、式(1)和式(2)。

3.3　建立多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化模型

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)中需考慮3個(gè)設(shè)計(jì)變量(可控因素)與假設(shè)的交互作用，故可采用正交表L18(21×37)，同時(shí)試驗(yàn)還受到2個(gè)三水平噪聲因子(不可控因素)的影響，每個(gè)試驗(yàn)組合需執(zhí)行3次，則計(jì)算軸箱彈簧的內(nèi)、外簧的質(zhì)量特性值共進(jìn)行108次試驗(yàn)。根據(jù)軸箱彈簧各質(zhì)量特性的要求，按信噪比公式可計(jì)算出各質(zhì)量特性值的信噪比值，見表3。

根據(jù)表3數(shù)據(jù)，應(yīng)用MATLAB軟件中的最小二乘法，可擬合出動(dòng)車組軸箱彈簧內(nèi)簧的各質(zhì)量特性信噪比函數(shù)為

(11)

(12)

(13)

同理，擬合得出動(dòng)車組軸箱彈簧外簧的各質(zhì)量特性信噪比函數(shù)為

(14)

(15)

(16)

表3　內(nèi)、外簧的質(zhì)量特性值及信噪比值

將上述得出的各信噪比函數(shù)作為新的響應(yīng)，根據(jù)各自的偏好函數(shù)，得出信噪比函數(shù)的總偏好，結(jié)合動(dòng)車組軸箱彈簧的性能約束與邊界約束，利用文中所提方法構(gòu)建動(dòng)車組軸箱彈簧的多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化模型為

(17)

s.t.

ySN3-1(X)≥38.01(內(nèi)簧)，

ySN3-1(X)≥38.13(外簧)

ySN1-2(X)≥4.94(內(nèi)簧)，

ySN1-2(X)≥3.96(外簧)

ySN2-3(X)≥-23.18(內(nèi)簧)，

ySN2-3(X)≥-31.95(外簧)

g2=3.5x2≥h0

mL≤m≤mU

x1L≤x1≤x1U

x2L≤x2≤x2U

x3L≤x3≤x3U

其中，

Pmax=Pv(1+Kvd)

h0=(x3+1)x1+fmax

式中：fmax為彈簧最大靜撓度，mm；Pv為作用在彈簧上的垂向靜載荷，kN；Pmax為作用在彈簧上的最大垂向載荷，kN；Kvd為彈簧動(dòng)載荷系數(shù)；C為彈簧曲度系數(shù)；h0為彈簧自由高度，mm；τ-1為剪切許用應(yīng)力，MPa；m為彈簧的旋繞比；mU和mL分別為旋繞比m的上限和下限，分別取7和4；x1U和x1L分別為簧條直徑x1的上限和下限，內(nèi)簧分別取31和21 mm，外簧分別取46和36 mm；x2U和x2L分別為彈簧中徑x2的上限和下限，內(nèi)簧分別取153和133 mm，外簧分別取230和210 mm；x3U和x3L為工作圈數(shù)x3的上限和下限，內(nèi)簧分別取4.9圈和3.9圈，外簧分別取3.4圈和2.4圈。

3.4　穩(wěn)健優(yōu)化模型求解及結(jié)果分析

運(yùn)用ISIGHT軟件中拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)抽樣方法進(jìn)行采點(diǎn)抽樣，結(jié)合多島遺傳算法對(duì)式(17)進(jìn)行組合優(yōu)化[19]求解，并將其優(yōu)化解(簡(jiǎn)稱穩(wěn)健優(yōu)化解)與傳統(tǒng)優(yōu)化解進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算結(jié)果見表4。圖3為動(dòng)車組軸箱彈簧各質(zhì)量特性穩(wěn)健性優(yōu)化前后的概率密度曲線。

從表4可知：得到的穩(wěn)健優(yōu)化組合并不是正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)中的水平組合，而是通過物理規(guī)劃法得到的具有極大信噪比值的水平組合，并且優(yōu)化后的自然頻率和彈簧剛度的信噪比值在設(shè)計(jì)者偏好函數(shù)的期望區(qū)間內(nèi)，優(yōu)化后的重量則在設(shè)計(jì)者可容忍的區(qū)間內(nèi)。

從圖3可知：得到的穩(wěn)健優(yōu)化解減少了質(zhì)量特性的方差波動(dòng)，從而降低了不可控因素的干擾，使軸箱彈簧的自然頻率、剛度、質(zhì)量等質(zhì)量特性具有穩(wěn)健性。

表4　穩(wěn)健優(yōu)化解與傳統(tǒng)優(yōu)化解的對(duì)比

圖3　內(nèi)、外簧各質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化前后的概率密度曲線圖

4　結(jié)　語

(1)在考慮可控因素與不可控因素的相互關(guān)系的基礎(chǔ)上，提出1種基于信噪比和物理規(guī)劃法的多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化方法。其中，信噪比指標(biāo)可評(píng)價(jià)穩(wěn)健性，物理規(guī)劃法可高效地處理多個(gè)響應(yīng)優(yōu)化問題，結(jié)合信噪比與物理規(guī)劃法能夠有效解決多響應(yīng)穩(wěn)健性優(yōu)化問題，從而構(gòu)建出軸箱彈簧的多響應(yīng)穩(wěn)健性優(yōu)化模型。

(2)為高效、快速地獲得高精度的全局最優(yōu)解，本文充分利用組合優(yōu)化算法拉丁超立方抽象的全局性和多島遺傳算法高效準(zhǔn)確的特點(diǎn)，對(duì)軸箱彈簧的多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化模型進(jìn)行求解，所得到的全局穩(wěn)健性最優(yōu)解，不僅滿足了設(shè)計(jì)者的要求，而且提高了使其信噪比值，減小了各質(zhì)量特性值的方差波動(dòng)范圍，進(jìn)而降低了彈簧各質(zhì)量特性對(duì)影響因素的敏感性，從而實(shí)現(xiàn)了動(dòng)車組軸箱彈簧多個(gè)質(zhì)量特性的穩(wěn)健性。

(3)對(duì)動(dòng)車組軸箱彈簧的優(yōu)化實(shí)例研究表明，該方法在優(yōu)化動(dòng)車組軸箱彈簧各質(zhì)量特性的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)了其各質(zhì)量特性的穩(wěn)健性，保證了動(dòng)車組運(yùn)行的平順性與安全性，與傳統(tǒng)優(yōu)化方法的對(duì)比也驗(yàn)證了本文方法的有效性，并可進(jìn)一步推廣到動(dòng)車組其他復(fù)雜零部件的多響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)中。

[1]孫劍萍, 羅意平. 基于模糊熵的柴油機(jī)氣門彈簧的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì), 2014, 31(6):37-42.

(SUN Jianping, LUO Yiping. Reliability Optimization Design Based on Fuzzy Entropy about Valve Springs of Diesel Engine [J]. Journal of Machine Design, 2014, 31(6): 37-42. in Chinese)

[2]王紅, 湯勁松, 劉萬選. 基于模糊理論的車輛變剛度彈簧組可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2014, 49(5): 837-841.

(WANG Hong, TANG Jinsong, LIU Wanxuan. Reliability Optimization Design of Vehicle Variable Stiffness Spring Assembly by Fuzzy Theory [J]. Journal of Southwest Jiaotong University, 2014,49(5):837-841. in Chinese)

[3]商躍進(jìn), 王紅. 變剛度彈簧組系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 鐵道學(xué)報(bào), 2006, 28(6): 51-54.

(SHANG Yuejin, WANG Hong. Optimized Design of Variable-Stiffness Spring Combinations System[J]. Journal of the China Railway Society, 2006, 28(6): 51-54. in Chinese)

[4]商躍進(jìn). 軌道車輛零部件穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 內(nèi)燃機(jī)車, 2011(8): 19-21，45.

(SHANG Yuejin. Robustness Optimization Design of Components for Railway Vehicle[J]. Diesel Locomotive, 2011(8): 19-21，45. in Chinese)

[5]韓錕, 潘迪夫. 基于混合算法的機(jī)車二系彈簧載荷調(diào)整優(yōu)化方法[J]. 中國(guó)鐵道科學(xué), 2006, 27(2):88-92.

(HAN Kun, PAN Difu. Optimization Model for Adjustment of Locomotive Secondary Spring Load Based on Hybrid Algorithm[J]. China Railway Science, 2006, 27(2):88-92. in Chinese)

[6]潘迪夫, 黎航, 韓錕. 基于遺傳算法的機(jī)車二系支承載荷調(diào)整優(yōu)化方法[J]. 中國(guó)鐵道科學(xué), 2005, 26(3): 83-87.

(PAN Difu, LI Hang, HAN Kun. Optimization Model of Locomotive Secondary Spring Load Adjustment Based on Genetic Algorithm[J]. China Railway Science, 2005, 26(3): 83-87. in Chinese)

[7]HE Z, ZHU P F, PARK S H. A Robust Desirability Function Method for Multi-Response Surface Optimization Considering Model Uncertainty[J]. European Journal of Operational Research, 2012, 221(1): 241-247.

[8]何楨, 王晶, 李湧范. 基于改進(jìn)的距離函數(shù)法的多響應(yīng)穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計(jì)[J]. 天津大學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 43(7): 644-648.

(HE Zhen, WANG Jing, LI Yongfan. An Improved Generalized Distance Function Approach to Multi-Response Robust Parameter Design [J]. Journal of Tianjin University, 2010, 43(7): 644-648. in Chinese)

[9]KOVACH J, CHO B R. A D-Optimal Design Approach to Constrained Multi Response Robust Design with Prioritized Mean and Variance Considerations[J]. Computers & Industrial Engineering, 2009, 57(1): 237-245.

[10]K?KSOY O. A Nonlinear Programming Solution to Robust Multi-Response Quality Problem[J]. Applied Mathematics and Computation, 2008, 196(2): 603-612.

[11]YADAV O P, THAMBIDORAI G, NEPAL B, et al. A Robust Framework for Multi-Response Surface Optimization Methodology[J]. Quality and Reliability Engineering International, 2014, 30(2): 301-311.

[12]YUE R X. Model-Robust Designs in Multi Response Situations[J]. Statistics & Probability Letters, 2002, 58(4): 369-379.

[13]SHARMA NARESH K, CUDNEY ELIZABETH A. Signal-to-Noise Ratio for Operating Window Using Unified Methodology[J]. Concurrent Engineering Research and Applications, 2009, 17(3), 173-181.

[14]李永華, 宋彥明. 基于物理規(guī)劃的起重機(jī)主梁穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)與研究, 2006, 22(5): 78-81.

(LI Yonghua, SONG Yanming. Robust Optimization of the Main Girder in Crane Based on Physical Programming[J]. Machine Design and Research, 2006, 22(5): 78-81. in Chinese)

[15]REYNOSO-MEZA G, SANCHIS J, BLASCO X, et al. Physical Programming for Preference Driven Evolutionary Multi-Objective Optimization[J]. Applied Soft Computing, 2014，24: 341-362.

[16]MESSAC A, ISMAIL-YAHAYA A. Multi-Objective Robust Design Using Physical Programming[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2002, 23(5): 357-371.

[17]劉莉, 邢超, 龍騰. 基于物理規(guī)劃的彈道多目標(biāo)優(yōu)化[J]. 北京理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 33(4): 357-362.

(LIU Li, XING Chao, LONG Teng. Study of Multi-Objective Trajectory Optimization Based on Physical Programming[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology, 2013, 33(4): 357-362. in Chinese)

[18]寧曉丹, 孫保衛(wèi), 商躍進(jìn)，等. CRH2動(dòng)車組軸箱彈簧疲勞試驗(yàn)方案研究[J]. 長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 2008, 5(3): 258-259.

(NING Xiaodan, SUN Baowei, SHANG Yuejin, et al. Research on the Fatigue Test Project of Axle Box Springs Used for CRH2Multiple Units[J]. Journal of Yangtze University：Natural Science Edition, 2008, 5(3): 258-259. in Chinese)

[19]薛紅軍, 李云鋒. 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的組合優(yōu)化策略[J]. 機(jī)械強(qiáng)度, 2013, 35(3): 278-282.

(XUE Hongjun, LI Yunfeng. Integrated Optimization Strategy in Structure Optimization Design[J]. Journal of Mechanical Strength, 2013, 35(3): 278-282. in Chinese)