楊昌義

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改編例題精彩不斷

楊昌義

湘教版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)中安排了這樣一道例題：如圖1，AB椅DC，蟻BAD= 蟻BCD，那么AD椅BC嗎？學(xué)生由于剛剛才學(xué)平行線的性質(zhì)和判定定理，對(duì)公理化證明方式還只是初步接觸?？赡転榱藴p少難度，教材事先已連好了對(duì)角線AC，把思維直接固定在用“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”這一條思路上，但這樣不利于學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)。為此，筆者上課時(shí)去掉了對(duì)角線AC，讓學(xué)生自由發(fā)揮。下面再現(xiàn)課堂情景。

上課伊始，教師出示題目：如圖2，AB椅DC，蟻BAD=蟻BCD，那么AD椅BC嗎？隨即引導(dǎo)學(xué)生思考——

師：同學(xué)們，我們已學(xué)了3種平行線的判定方法，分別是哪3種？

生：方法1，同位角相等，兩直線平行；方法2，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；方法3，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

師：答得非常好！那么，你們?cè)趺磻?yīng)用這些方法判定題目中的AD椅BC呢？

生：圖中沒(méi)有同位角，也沒(méi)有內(nèi)錯(cuò)角，顯然，方法1、2都不能用，看來(lái)只有用方法3了。

圖1

圖2

師：分析得有道理。但用方法3，必須找到相對(duì)應(yīng)的同旁內(nèi)角。與AD椅BC相對(duì)應(yīng)的同旁內(nèi)角有哪些？

生1：與AD椅BC相對(duì)應(yīng)的同旁內(nèi)角是蟻ABC與蟻BAD，因?yàn)樗鼈兪侵本€AD、BC被直線AB所截出來(lái)的。

生2：還有蟻BCD和蟻ADC，但只要推出一對(duì)角相等就行了。

師：不錯(cuò)！結(jié)合已知條件，能推出嗎？

生3：由AB椅CD可得蟻ABC+蟻BCD=180毅，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

師：這兩個(gè)角互補(bǔ)又有什么用？

生4：有用！因?yàn)橐阎丅AD=蟻BCD，由等量代換得蟻ABC+蟻BAD=180毅，于是，由方法3可得AD椅BC，很簡(jiǎn)單！

師：數(shù)學(xué)就是很奇妙，你如果知道結(jié)論了，就會(huì)覺(jué)得很簡(jiǎn)單。而開(kāi)始不知道的時(shí)候，卻吸引你去苦苦探究。一旦突破了，心里會(huì)有一種特別的舒暢和愉快感，讓人回味無(wú)窮，這就是數(shù)學(xué)的魅力！

生5：幾何比代數(shù)有趣多了！

師：其實(shí)數(shù)學(xué)都有趣，無(wú)論是代數(shù)還是幾何，只要我們進(jìn)了它的門(mén)檻，就是邁進(jìn)了瑰麗的“萬(wàn)花筒”，里面精彩不斷，奧妙無(wú)窮！比如，對(duì)于上面這題，只要發(fā)揮我們的聰明智慧，還是可以應(yīng)用方法1、2解答的！

生6：不是沒(méi)有內(nèi)錯(cuò)角、同位角嗎？

師：我們可以想辦法構(gòu)造出來(lái)。可以連結(jié)BD，內(nèi)錯(cuò)角是不是就有了？

生6：可以這么做嗎？

師：完全可以！為了做題的需要，有時(shí)需要作一些線，這種補(bǔ)作的線叫做“輔助線”，一般用虛線畫(huà)，它能輔助我們完成做題任務(wù)。例如，作出輔助線BD（如圖3），我們馬上得到了內(nèi)錯(cuò)角，同學(xué)們能找出幾對(duì)？生（齊）：兩對(duì)：蟻ADB和蟻CBD，蟻ABD和蟻CDB。師：與將要證明的AD椅BC有關(guān)的是哪一對(duì)？為什么？

生7：蟻ADB和蟻CBD。因?yàn)樗鼈兪侵本€AD、BC被直線DB所截出來(lái)的。

師：回答得非常正確！只要它們相等，由方法2就可以立即得到AD椅BC。那么我們?cè)趺赐ㄟ^(guò)條件得到蟻ADB=蟻CBD呢？

生8：由已知AB椅CD，得到蟻ABD=蟻CDB。已知蟻ABC=蟻ADC，由等式的性質(zhì)得蟻ABC原蟻ABD= 蟻ADC原蟻CDB，于是可得蟻CBD=蟻ADB。

師：你簡(jiǎn)直太有才了！

生8：這歸功于輔助線，非常有用！但我不知道什么時(shí)候要作輔助線，也不知怎么作。

師：當(dāng)題目條件不夠時(shí)，可以考慮作輔助線，一般有規(guī)律可循。有時(shí)一道題作的輔助線并不是固定一種，只要對(duì)做題有用，都是可以靈活作出的。

生9：那么此題我不連結(jié)BD，連結(jié)AC（如圖4）行嗎？

師：你們想想看，行嗎？

生10：當(dāng)然行，只要能得出蟻DAC=蟻ACB。

師：有道理！已知蟻ABC=蟻ADC，那么蟻BAC= 蟻ACD嗎？

生11：相等！因?yàn)橐阎狝B椅CD，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

師：在吟ABC和吟ADC中，已有兩對(duì)內(nèi)角相等了，第三對(duì)角難道不等嗎？

生12：相等！三角形內(nèi)角和是180毅，小學(xué)已學(xué)了。

師：現(xiàn)在問(wèn)題不是也解決了？

生13：輔助線真妙??！

圖3

圖4

師：更妙的還在后面呢！如果我們?cè)僮屑?xì)思考，這道題還能用方法1解答呢！生14：還能用方法1？同位角沒(méi)有，怎么做呢？師：為什么不請(qǐng)輔助線幫忙呢？比如，延長(zhǎng)BC……

生14：也可以這么作嗎？

師：可以！只要對(duì)我們有用，怎么作都行！大家想想，延長(zhǎng)BC 至E（如圖5），有用嗎？

生15：有用！只要我們能夠證明蟻ADC=蟻DCE即可。

師：請(qǐng)大家探究：蟻ADC=蟻DCE嗎？

生16：已知蟻ADC=蟻ABC，只要得出蟻ABC= 蟻DCE，用等量代換即可。

生17：蟻ABC=蟻DCE，這是明擺著的，因?yàn)橐阎狝B椅CD，同位角相等的呀！

師：不是又成功了嗎？生18：真是妙不可言！師：大家再想想，我們是否還能在不同位置、不同方向作輔助線呢？

生：老師，我們作出來(lái)了，不知行不行，請(qǐng)您檢查下（如圖6所示）。

圖5

圖6

師：太棒了！真是精彩紛呈，美不勝收??！告訴大家，這些作法都行！像剛才探究的一樣，能不能化成用方法1解答？課后同學(xué)們可以試試。

教學(xué)后記：一題多解對(duì)于訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)十分有益。在本案例中，教師首先讓學(xué)生明確判定兩直線平行的基本方法，然后圍繞問(wèn)題的結(jié)論，引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生如何選擇方法，師生共同歷經(jīng)了探究的全過(guò)程。師生不斷地互提問(wèn)題，并通過(guò)提問(wèn)使探究活動(dòng)步步推進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣。尤其是教師不失時(shí)機(jī)地介紹了添作輔助線的方法，讓學(xué)生感受到輔助線在說(shuō)理中的巧妙作用，激發(fā)了學(xué)生的興趣和潛在的創(chuàng)新精神。這樣教學(xué)，不僅讓學(xué)生順利地解答出問(wèn)題，還滲透了化歸思想和“執(zhí)果索因”的說(shuō)理方法，也培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維和演繹推理能力。

（作者單位：永州市零陵區(qū)永州柳子中學(xué)）

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