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一類特殊數(shù)列求和問題的處理策略

湖北省武漢經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)第一中學(xué)(430056)朱玲吳智

數(shù)列問題一直是高考的高頻考點，也是高三復(fù)習(xí)備考的主干知識.近幾年在全國及各省市的高考卷中陸續(xù)出現(xiàn)了一些遞推式中含(-1)n的數(shù)列求和問題，這些問題處理方法大同小異，只要掌握基本方法和原理，完全可以做到逢題必會，逢考必勝.下面，筆者給出這類問題的幾種處理策略，以饗讀者.

策略一：形如an=(-1)n·f(n)，用并項求和法處理

所謂并項求和法，就是將待求數(shù)列的前n項和“化整為零”，把位置相鄰的兩項結(jié)合在一起，研究它們的內(nèi)在規(guī)律，找出an+an+1的定值關(guān)系或表達式，從而實現(xiàn)問題的解決.

例2數(shù)列{an}的通項公式為an=(-1)n-1·(4n-3),則它的前100項之和S100=.

解析：S100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a99+a100),又an+an+1=(-1)n-1·[(4n-3)-(4n+1)]=(-1)n·4，當(dāng)n為奇數(shù)時，an+an+1=-4,故S100=50×(-4)=-200.

策略二：形如φ(an+m,(-1)nan)=f(n)，用奇偶討論和分組求和法處理

已經(jīng)關(guān)停的油井，是否還有必要恢復(fù)？讀罷貴刊2018年第19期刊登的報道《“喚醒”關(guān)停井》一文，得出的答案不僅是“有必要”，而且是“油田企業(yè)扭虧脫困的重要手段”。

這類問題的處理相對比較復(fù)雜，但仍有章可循，有“法”可依.往往需要對n分奇偶討論，找到相鄰兩個奇(偶)數(shù)項之間的變化規(guī)律，然后利用分組求和法處理.

例3(2012年新課標(biāo)全國卷第16題)數(shù)列{an}中，an+1+(-1)nan=2n-1，則數(shù)列{an}的前60項和為.

解析：用2n、2n+1、2n-1分別替換an+1+

(-1)nan=2n-1中的n，得

例4在數(shù)列{an}中，a1=1,an+2+(-1)nan=1.記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S100=.

策略三：形如φ(Sn,(-1)nan)=f(n),用奇偶討論和階差法處理

這類問題以能力立意，多設(shè)置在選填題的壓軸或次壓軸的位置.考查學(xué)生的邏輯推理和運算求解能力，對學(xué)生的綜合能力要求較高.同策略二，可對n分奇偶討論，同時施以階差法的運用，問題得到巧妙解決.

解析：用2n、2n+1、2n-1分別替換Sn=

策略四：形如φ(an,(-1)nf(n))=k(f(n)中含有三角函數(shù)式,k為常數(shù)), 用歸納推理或奇偶討論法處理.

這類問題比較簡便的解法是利用歸納推理，結(jié)合三角函數(shù)的周期T，研究連續(xù)T項和的變化特征，從而歸納得到要求的結(jié)果.另外，也可以利用奇偶討論法處理.

解法一：(歸納推理)由an=(-1)n(2n-1)·

事實上，作為一道填空題，猜想的證明過程完全可以忽略不考慮.只要觀察、發(fā)現(xiàn)連續(xù)四項和為定值這一隱含結(jié)論，問題便可迎刃而解.但作為歸納推理的應(yīng)用，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治龊屯评磉€是很有必要的.

(-1)+(4n+3)·1+2=6.故S120=(a1+a3+…+a119)+[(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a118+a120)]=60×1+6×30=240.