一類新無限維李子代數(shù)的同構(gòu)和同態(tài)

余德民

(湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,湖南岳陽　414000)

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一類新無限維李子代數(shù)的同構(gòu)和同態(tài)

余德民

(湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,湖南岳陽414000)

摘要：構(gòu)造了一類由三個基本元生成的無限維李代數(shù).證明了這類無限維李代數(shù)是Virasoro-like李代數(shù)的推廣.此外,研究了這類李子代數(shù)同構(gòu)和同態(tài).

關(guān)鍵詞：李代數(shù);同構(gòu);同態(tài)

1　引言

Virasoro-like李代數(shù)是在上世紀(jì)八十年代作為擬多項式環(huán)的一階微分算子代數(shù)被引入的, 90年代在理論物理的廣義對稱性研究中產(chǎn)生了同樣的代數(shù)結(jié)構(gòu).設(shè)C為復(fù)數(shù)域, Z為整數(shù)加群,文獻(xiàn)[1]定義了一類Virasoro-like李代數(shù),并研究了Virasoro-like李代數(shù)的單性,設(shè)是由L(a1,a2)(?a1,a2∈Z),生成的復(fù)數(shù)域C上的線性空間,李運算定義如下:

此運算在基向量上線性擴(kuò)張,并滿足反對稱性和Jacobi不等式,稱為Virasoro-like李代數(shù).文獻(xiàn)[2]研究了Virasoro-like李代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)和導(dǎo)子代數(shù)的自同構(gòu)群,文獻(xiàn)[3]研究了帶參數(shù)的α,β的Virasoro-like的導(dǎo)子代數(shù),文獻(xiàn)[4]研究了廣義Virasoro李代數(shù).文獻(xiàn)[5-9]研究了Virasoro李代數(shù)及其推廣的Virasoro李代數(shù).本文推廣了Virasoro-like李代數(shù)和Virasoro-like李代數(shù),構(gòu)造了李代數(shù)g,并發(fā)現(xiàn)李代數(shù)g是一類特殊的李代數(shù),有一些良好的性質(zhì). g為C上線性空間,其基向量為:

在g上定義李運算為:?k1,k2,k3,q1,q2,q3∈Z,

其中?k1,k2,k3,q1,q2,q3∈Z.

然后在基上雙線性擴(kuò)張.可驗證運算滿足反對稱性和Jacobi恒等式,從而g為無限維李代數(shù).設(shè)由A(k1,k2,k3)生成的子代數(shù)為g1(?k1,k2,k3∈Z),由B(k1,k2,k3)生成的子代數(shù)為g2(?k1,k2,k3∈Z),由C(k1,k2,k3)生成的子代數(shù)為g3(?k1,k2,k3∈Z),由A(k1,k2,k3),B(q1,q2,q3)生成的子代數(shù)為g4(?k1,k2,k3,q1,q2,q3∈Z),由A(k1,k2,k3),C(q1,q2,q3)生成的子代數(shù)為g5(?k1,k2,k3,q1,q2,q3∈Z),由B(k1,k2,k3),C(q1,q2,q3)生成的子代數(shù)為g6(?k1,k2,k3,q1,q2,q3∈Z).

本文主要研究了李代數(shù)g的的李子代數(shù)g1,g2,g3,g4,g5,g6間的同構(gòu),同態(tài).

2　主要結(jié)果

構(gòu)造g1到g2映射如下:

f1在g1的基向量A(k1,k2,k3)上線性擴(kuò)張.

定理2.1 f1是g1到g2同構(gòu).

證明從構(gòu)造知f1是g1到g2同構(gòu)的線性映射,且既是單射又是滿射.可驗證

從而

從而f1是g1到g2同構(gòu).

構(gòu)造g1到g3映射如下:

f2在g1的基向量A(k1,k2,k3)上線性擴(kuò)張.

定理2.2 f2是g1到g3同構(gòu).

證明從構(gòu)造知f2是g1到g3同構(gòu)的線性映射,且既是單射又是滿射.可驗證

從而

從而f2是g1到g3同構(gòu).

構(gòu)造g2到g3映射如下:

f3在g1的基向量B(k1,k2,k3)上線性擴(kuò)張.

定理2.3 f3是g2到g3同構(gòu).

證明從構(gòu)造知f3是g1到g3同構(gòu)的線性映射,且既是單射又是滿射.可驗證

從而

從而f3是g2到g3同構(gòu).

構(gòu)造g1上的自同態(tài)映射如下:

f4在g1的基向量A(k1,k2,k3)上線性擴(kuò)張.

定理2.4 f4是g1的單自同態(tài).

證明從構(gòu)造知f4為g1上的線性映射,且是單射.

在定理2.4中,單自同態(tài)f4有如下特殊情形.當(dāng)n = 1時, f4為恒等同構(gòu).當(dāng)n1=?1 時,f4為同構(gòu).構(gòu)造g2上的自同態(tài)映射如下:

f5在g1的基向量B(k1,k2,k3)上線性擴(kuò)張.

定理2.5 f5是g2的單自同態(tài).

證明從構(gòu)造知f5為g2上的線性映射,且是單射.

在定理2.5中,單自同態(tài)f5有如下特殊情形.

當(dāng)n = 1時, f5為恒等同構(gòu).當(dāng)n1=?1時, f5為同構(gòu).構(gòu)造g3上的自同態(tài)映射如下:

f5在g1的基向量C(k1,k2,k3)上線性擴(kuò)張.

定理2.6 f6是g3的單自同態(tài).

證明從構(gòu)造知f6為g3上的線性映射,且是單射.

在定理2.6中,單自同態(tài)f6有如下特殊情形.

當(dāng)n = 1時,f6為恒等同構(gòu).當(dāng)n1=?1時,f6為同構(gòu).

構(gòu)造g4到g4映射如下:

定理2.7 f7是g4的自同構(gòu).

證明從構(gòu)造知f7是g4到g4同構(gòu)的線性映射,且既是單射又是滿射.可驗證

從而

從而f7是g4到g4同構(gòu).

構(gòu)造g5到g5映射如下:

f8在g5的基向量A(k1,k2,k3),C(k1,k2,k3)上線性擴(kuò)張.

定理2.8 f8是g5的自同構(gòu).

證明從構(gòu)造知f8是g5到g5同構(gòu)的線性映射,且既是單射又是滿射.可驗證

從而

故f8是g5到g5同構(gòu).

參考文獻(xiàn)

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2010 MSC: 17B05, 17B30

Isomorphisms and homomorphisms of a new infinite dimensional Lie algebra

Yu Deming
(Department of Mathematics, Hu′nan Institute of Science and Technology, Yueyang 414000, China)

Abstract:A new infinite dimensional Lie algebra generating by three basic element is a generalization of Virasoro-like Lie algebra. Also, isomorphisms and homomorphisms of this class of algebra are studied.

Key words:Lie algebra, isomorphisms, homomorphisms

作者簡介：余德民(1975-),博士,副教授,研究方向:李代數(shù)、代數(shù)表示論.

基金項目：湖南省教育廳一般項目(14C0523);湖南省重點建設(shè)學(xué)科建設(shè)項目.

收稿日期：2015-09-10.

DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2016.01.003

中圖分類號：O152.5

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1008-5513(2016)01-0014-05