梁金金，張小柯，宋效正，呂 旺

(上海航天技術(shù)研究院上海衛(wèi)星工程研究所，上海201109)

基于角動(dòng)量空間的SGCMGs姿態(tài)控制策略

梁金金，張小柯，宋效正，呂 旺

(上海航天技術(shù)研究院上海衛(wèi)星工程研究所，上海201109)

針對(duì)單框架控制力矩陀螺(SGCMGs)的奇異問題，旨在建立一種基于角動(dòng)量空間而非力矩空間的SGCMGs姿態(tài)控制策略，從根源上解決SGCMGs的操縱奇異，且不失其敏捷特性.由于此控制方案的動(dòng)量管理環(huán)節(jié)需要另外一套動(dòng)量交換機(jī)構(gòu)參與，故引入反作用飛輪(RWs)組成混合執(zhí)行機(jī)構(gòu)，同時(shí)RWs可在機(jī)動(dòng)末端用于高精度姿態(tài)穩(wěn)定.針對(duì)雙平行SGCMGs，采用特征軸時(shí)間最優(yōu)路徑進(jìn)行角速度規(guī)劃，并基于角動(dòng)量空間設(shè)計(jì)控制策略.同時(shí)，針對(duì)一個(gè)陀螺失效的情況設(shè)計(jì)了相似的角動(dòng)量控制算法.仿真結(jié)果表明，采用角動(dòng)量控制律不涉及奇異問題，且敏捷性與穩(wěn)定性良好.

操縱奇異;角動(dòng)量空間;特征軸旋轉(zhuǎn);角動(dòng)量管理

0 引言

目前SGCMGs奇異問題的解決主要基于兩種思路，一是對(duì)陀螺群力矩矩陣的偽逆下功夫以尋求準(zhǔn)確、可解的輸出力矩，如添加零運(yùn)動(dòng)［1］、添加物理約束［2］、魯棒偽逆［3］、奇異值分解［4］、混合操縱律［5］等方法，但偽逆解往往難以平衡準(zhǔn)確性與可解性;二是引入其他執(zhí)行機(jī)構(gòu)補(bǔ)償奇異方向力矩，如文獻(xiàn)［6］用動(dòng)量輪輸出奇異方向力矩，但此方法需要在線進(jìn)行奇異值分解，且沒有完全利用SGCMGs的機(jī)動(dòng)能力.

注意到以往的操縱律一般是圍繞力矩指令的偽逆求解，而本文的控制算法只產(chǎn)生陀螺群角動(dòng)量指令，再基于某種最優(yōu)準(zhǔn)則映射到SGCMGs框架角，就可以得到框架轉(zhuǎn)速指令.可以證明(根據(jù)角動(dòng)量體是框架向量的連續(xù)函數(shù))，除非SGCMGs角動(dòng)量體內(nèi)存在空洞，否則不會(huì)出現(xiàn)奇異問題.

1 控制邏輯概述

本文總體控制思路如圖1所示.

姿態(tài)控制分SGCMGs和RWs兩條線，且兩條線并行運(yùn)作.機(jī)動(dòng)階段，SGCMGs提供機(jī)動(dòng)所需的角動(dòng)量，RWs進(jìn)行整星的角動(dòng)量管理(角動(dòng)量管理使得星體角速度與SGCMGs角動(dòng)量成比例關(guān)系);穩(wěn)定階段，將SGCMGs的角動(dòng)量歸零使其不影響飛輪姿控，最后利用RWs進(jìn)行高精度姿態(tài)穩(wěn)定.

姿態(tài)機(jī)動(dòng)遵循特征軸最優(yōu)時(shí)間路徑，特征軸旋轉(zhuǎn)為兩個(gè)姿態(tài)間的最短角路徑，而時(shí)間最優(yōu)通過當(dāng)前姿態(tài)下衛(wèi)星可實(shí)現(xiàn)的繞特征軸最大角速度實(shí)現(xiàn).

2 構(gòu)型分析與角動(dòng)量范數(shù)

本文控制算法宜用歐拉向量θ描述姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，它是姿態(tài)陣特征值為1的特征向量［7］，其與四元數(shù)矢部關(guān)系為θ=q·θ/sin(θ/2)，θ為繞歐拉軸轉(zhuǎn)角［8］.

經(jīng)過角動(dòng)量管理后角速度只由SGCMGs的角動(dòng)量決定，當(dāng)姿態(tài)誤差為θ時(shí)，－θ方向的最大角速度與SGCMGs在Jθ方向的最大角動(dòng)量相對(duì)應(yīng).為了表示陀螺群在任意方向下的最大角動(dòng)量，引入角動(dòng)量范數(shù)［9］定義(可以驗(yàn)證其滿足向量范數(shù)三公理)

式中，u代表任意三維向量，HMax(u)是u方向上的最大角動(dòng)量.角動(dòng)量范數(shù)因構(gòu)型而異，對(duì)于雙平行構(gòu)型其有解析表達(dá)式.

圖2中，ObXbYbZb為星體坐標(biāo)系，gi、si、ti(i= 1，2，3，4)分別為SGCMGs框架軸向、轉(zhuǎn)子軸向及轉(zhuǎn)子橫向方向向量，三向量與框架坐標(biāo)系三軸指向重合，且滿足gi×si=ti.設(shè)陀螺轉(zhuǎn)子標(biāo)稱角動(dòng)量為Hw，可得圖2角動(dòng)量體.

圖2 雙平行SGCMGs構(gòu)型及角動(dòng)量體Fig.2 Double parallel SGCMGs configuration and angular momentum-bounding envelope

由圖2可知，陀螺2和4產(chǎn)生XbYb平面的角動(dòng)量hxy;陀螺1和3產(chǎn)生YbZb平面的角動(dòng)量hyz.兩者最大值皆為2Hw.圖2包絡(luò)面分為平面部分和曲面部分，u的方向決定了HMax(u)是屬于哪一部分.

包絡(luò)面的平面部分指向±Xb與±Zb方向，原點(diǎn)與四個(gè)平面圓可構(gòu)成四個(gè)圓錐，u在圓錐面內(nèi)時(shí)其分量須滿足≤－，此時(shí)角動(dòng)量在Xb或Zb上分量達(dá)到飽和值2Hw，且由hxy或hyz提供，故有

由上式可解出uH表達(dá)式.

綜上，雙平行SGCMGs的角動(dòng)量范數(shù)表達(dá)式為

3SGCMGs控制策略

3.1 角速度規(guī)劃

姿態(tài)為θ時(shí)可實(shí)現(xiàn)的最大角速度為

式中，JθH由式(4)定義.加速過程角速度曲線與框架角狀態(tài)有關(guān)，沒有統(tǒng)一表達(dá)式，故加速與勻速過程的參考角速度都是最大角速度.

關(guān)鍵是減速過程制動(dòng)曲線的設(shè)計(jì)，須保證快和準(zhǔn).雙平行構(gòu)型的優(yōu)勢(shì)在于，每對(duì)陀螺在“剪刀式”運(yùn)動(dòng)過程中，雙平行SGCMGs系統(tǒng)能以最短時(shí)間從最大角動(dòng)量減至零動(dòng)量，且保持方向不變.制動(dòng)時(shí)，其角動(dòng)量按框架角的余弦變化，即有

式中，ωR表示參考角速度，為最大框架轉(zhuǎn)速，為0時(shí)制動(dòng)開始，為π/2時(shí)制動(dòng)結(jié)束角動(dòng)量歸零，對(duì)上式積分有

代入姿態(tài)歸零邊界條件，可得

聯(lián)立式(6)和式(8)，并代入式(5)結(jié)果有

綜上，繞特征軸旋轉(zhuǎn)的角速度規(guī)劃函數(shù)為

3.2 角動(dòng)量分配

此節(jié)給出角速度規(guī)劃值與陀螺框架角的映射關(guān)系.首先由HR=－JωR得出SGCMGs所需角動(dòng)量，再按包絡(luò)性質(zhì)分配到hxy和hyz上，分配示意圖如圖3所示.

圖3 角動(dòng)量分配示意圖Fig.3 Angular momentum distribution

圖3中，δxy為hxy與Xb軸夾角，δyz為hyz與Zb軸夾角.hxy和hyz在制動(dòng)過程中方向不變，全部能力都用于減少角動(dòng)量，這也體現(xiàn)了特征軸最優(yōu)時(shí)間制動(dòng)原理.

當(dāng)HR在包絡(luò)面上時(shí)(加勻速階段)，hxy和hyz是唯一確定的，設(shè)HR=［HxHyHz］T，其分布如第2節(jié)所述有兩種類型.

式中，上標(biāo)E表示包絡(luò)，HP=為平面包絡(luò)部分的非飽和分量.

當(dāng)HR在動(dòng)量體內(nèi)部時(shí)(減速階段)，hxy和hyz的分配不再唯一，但基于特征軸最優(yōu)時(shí)間制動(dòng)則可唯一確定其分配關(guān)系，即令hxy和hyz等比例縮短，而比例系數(shù)正是HR H.

確定平面角動(dòng)量大小后，其方向δxy、δyz可根據(jù)分量關(guān)系確定如下:

式中，ε(·)為單位階躍函數(shù)，sgn(·)為符號(hào)函數(shù).

由hxy和hyz可確定框架角向量:

式中sxy，syz=±1，根據(jù)陀螺當(dāng)前位置到下一位置改變最小而定.

3.3 框架角跟蹤

通過角動(dòng)量分配得到參考框架角向量后，須根據(jù)δR確定陀螺框架伺服電機(jī)的輸入指令，以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確跟蹤及協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)的要求.轉(zhuǎn)速指令定義如下:式中，ωnG是正的誤差增益;k在框架轉(zhuǎn)速非飽和時(shí)為1，飽和時(shí)從0到1取值以滿足C∞=δMax;δ為當(dāng)前框架角向量;δR采用向后差分法求解.注意到

故tlim(δR－δ)=0，即δ對(duì)δR的跟蹤是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

3.4 角動(dòng)量歸零

首先確定歸零條件.已知制動(dòng)時(shí)間與姿態(tài)誤差的關(guān)系由式(8)表示，而歸零時(shí)間應(yīng)與表征系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間的1/ωnG成正比，故有歸零條件式

式中，τ為歸零控制提前因子.歸零條件經(jīng)監(jiān)測(cè)滿足后須啟動(dòng)歸零控制，令平面角動(dòng)量hxy，hyz=0得到參考框架角，框架轉(zhuǎn)速指令依然按3.3節(jié)方法計(jì)算.

4 混合控制策略

4.1 動(dòng)量管理

當(dāng)整星存在角動(dòng)量偏置時(shí)，星體角速度不再滿足等式－Jω=HG，此時(shí)須使用RWs進(jìn)行角動(dòng)量管理，以吸收偏置角動(dòng)量.積分形式動(dòng)力學(xué)方程為式中，HS為包括執(zhí)行機(jī)構(gòu)在內(nèi)的整星角動(dòng)量，ω為星體相對(duì)姿態(tài)參考系的角速度，ωe為姿態(tài)參考系相對(duì)慣性系的角速度，HG、HW分別為陀螺群和飛輪組角動(dòng)量.不難看出，若施加控制使得HW滿足

則ω僅由HCMG決定.設(shè)飛輪安裝矩陣C非奇異，用偽逆解分配飛輪角動(dòng)量如下:

與框架角跟蹤類似，取飛輪組角動(dòng)量跟蹤控制律為

式中，TC為控制力矩，其受限于飛輪額定力矩TLim.TC計(jì)算方法與3.3節(jié)類似，不再贅述.

4.2 控制切換條件

原則上RWs獨(dú)立姿控應(yīng)在SGCMGs角動(dòng)量歸零之后，但實(shí)際控制切換不可能等到完全歸零后才開始，一是因?yàn)橥勇萑航莿?dòng)量不可能絕對(duì)歸零，造成判斷條件不現(xiàn)實(shí);二是不利于實(shí)現(xiàn)快速穩(wěn)定，會(huì)延誤RWs姿控時(shí)長(zhǎng)，故需設(shè)置歸零程度系數(shù)，最終本文切換條件如下:

不同歸零程度系數(shù)決定了RWs獨(dú)立姿控開始時(shí)姿態(tài)誤差的大小，取10%誤差已足夠小.

5 SGCMGs單只失效控制策略

5.1 失效構(gòu)型分析

假設(shè)陀螺3失效，其角動(dòng)量體如圖4所示.

圖4 失效構(gòu)型角動(dòng)量包絡(luò)Fig.4 Bounding envelope of single gyro failure

解出uH可得

式中

綜上，單只陀螺失效的角動(dòng)量范數(shù)表達(dá)式為

5.2 失效構(gòu)型角動(dòng)量分配

3－CMG角動(dòng)量制動(dòng)過程中，hxy和hyz端點(diǎn)軌跡為曲線，所以不能以式(12)方法計(jì)算，易知hyz大小始終為Hw，而hxy大小按下式計(jì)算

若hxy和hyz在Yb上分量同號(hào)則取減，反之取加.

陀螺的具體框架角由下式給出

6 仿真校驗(yàn)

表1 參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameters setting

4-CMG仿真結(jié)果如圖5，圖5(a)和圖5(b)為無角動(dòng)量偏置情況，圖5(c)為加上初始角速度時(shí)仿真情況.

圖54-CMG姿態(tài)機(jī)動(dòng)Fig.5 Attitude maneuver with 4-CMG

無角動(dòng)量偏置表示相對(duì)慣性系無偏，但相對(duì)軌道系有偏置Jx·ωo=6 500×7.27×10－5≈0.5 N·m·s.0～10 s這段時(shí)間屬于加速階段，飛輪約5 s內(nèi)吸收完偏置動(dòng)量，陀螺框架以最大轉(zhuǎn)速調(diào)整到最大角動(dòng)量構(gòu)型.10～70 s為勻速和制動(dòng)階段，然后SGCMGs角動(dòng)量歸零，轉(zhuǎn)RWs獨(dú)立姿控，且RWs持續(xù)保持偏置吸收.從整個(gè)姿控階段來看，衛(wèi)星完成繞特征軸90°左右的大角度機(jī)動(dòng)用時(shí)約75 s，均速為1.2(°)/s，而繞特征軸最大角速為ωMax=θ0/Jθ0≈1.4(°)/s，表明機(jī)動(dòng)大部分時(shí)間衛(wèi)星都以ωMax旋轉(zhuǎn).

有初始角速度仿真，前期SGCMGs部分角動(dòng)量用于抵消偏置，隨著偏置逐漸被RWs吸收，衛(wèi)星角速度也隨之逼近ωMax，故整星角動(dòng)量偏置較大時(shí)僅稍微增加機(jī)動(dòng)時(shí)間，并不影響姿控策略的正常施行.

失效一個(gè)力矩陀螺后，整星相對(duì)慣性系無角動(dòng)量偏置時(shí)仿真如圖6所示.

圖63-CMG無角動(dòng)量偏置姿態(tài)機(jī)動(dòng)Fig.6 Attitude maneuver based on 3-CMG without bias

從整個(gè)控制效果來看，3-CMG依然可以實(shí)現(xiàn)此構(gòu)型下的特征軸最優(yōu)時(shí)間機(jī)動(dòng)，說明失效構(gòu)型的控制策略依然是有效的.本次SGCMGs控制時(shí)長(zhǎng)在135s左右，最大角速度約為0.7(°)/s，而失效前控制時(shí)間為75s，最大角速度約1.4(°)/s，說明一個(gè)陀螺失效后幾乎使SGCMGs系統(tǒng)的機(jī)動(dòng)能力降低一半.

7 結(jié)論

本文的角動(dòng)量空間方法整個(gè)過程不涉及偽逆求解，故一般不存在操縱奇異.RWs的角動(dòng)量管理使得SGCMGs角動(dòng)量與星體角速度成比例關(guān)系，從而在角動(dòng)量域設(shè)計(jì)控制律成為可能.SGCMGs因其角動(dòng)量全部用于驅(qū)動(dòng)星體沿最短路徑(繞特征軸)旋轉(zhuǎn)故其機(jī)動(dòng)效率逼近全局時(shí)間最優(yōu).只有雙平行等少數(shù)解析構(gòu)型具有其顯式表達(dá)，如果想在金字塔等其他復(fù)雜構(gòu)型上應(yīng)用本文算法，需對(duì)角動(dòng)量包絡(luò)與任意方向向量的關(guān)系進(jìn)行數(shù)值擬合.

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Attitude Control in Angular Momentum Domain Using SGCMGs

LIANG Jinjin，ZHANG Xiaoke，SONG Xiaozheng，LV Wang
(Shanghai Institute of Satellite Engineering，Shanghai Academy of Spaceflight Technology，Shanghai 201109，China)

A new attitude control method for single gimbal control moment gyros(SGCMGs)that is based on angular momentum domain is presented.In this method，the attitude error is translated to SGCMGs’angular momentum requirement(rather than torque requirement)without having to consider singularities.With double parallel SGCMGs，the SGCMGs are free to perform their eigenaxis time optimal path，when the RWs compensate for the variable unexpected system angular momentum bias.Meanwhile，similar strategy is designed for single gyro failure.Numerical simulations demonstrate that control law in angular momentum domain does not involving singularity，meanwhile with the capability of rapid maneuver and high－level stabilization.

singularities;angular momentum domain;eigenaxis rotation;momentum management

V448.22

A 文章編號(hào):1674-1579(2016)05-0019-06

10.3969/j.issn.1674-1579.2016.05.004

梁金金(1991—)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)楹教炱鲃?dòng)力學(xué)與控制;張小柯(1980—)，男，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)樾l(wèi)星總體設(shè)計(jì);宋效正(1980—)，男，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)樾l(wèi)星動(dòng)力學(xué)與控制;呂 旺(1983—)，男，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)樾l(wèi)星動(dòng)力學(xué)與控制.

2016-07-04