張廷忠，　馬鴻宇，　石曼曼，　孫一迪

(1.中國礦業(yè)大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院， 江蘇 徐州　221008；

2.南京郵電大學(xué) 理學(xué)院， 江蘇 南京　210046)

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基于參數(shù)譜估計方法的諧波檢測研究

張廷忠1，馬鴻宇1，石曼曼2，孫一迪1

(1.中國礦業(yè)大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院， 江蘇 徐州221008；

2.南京郵電大學(xué) 理學(xué)院， 江蘇 南京210046)

摘要：在分析自回歸模型的基礎(chǔ)上，研究了Yule Walker，Burg和Covariance三種參數(shù)譜估計方法的檢測原理，提出了一種改進 Covariance方法。在Matlab仿真平臺上，采用4種參數(shù)譜估計方法對諧波、間諧波、次諧波進行檢測。仿真結(jié)果表明，參數(shù)譜估計方法不僅能檢測整數(shù)次諧波，對間諧波和次諧波也有很好的檢測效果，其中Burg方法和改進 Covariance方法諧波檢測效果最好。

關(guān)鍵詞：諧波檢測； 參數(shù)譜估計； 自回歸模型

0引言

隨著電力系統(tǒng)中非線性負載和時變負載的廣泛使用，電能質(zhì)量尤其是諧波問題日益嚴重。電力系統(tǒng)中的諧波會引起電能損失、過電壓及電壓不平衡、電壓閃變、延時、誤操作等問題[1-4]。目前，用來檢測諧波、間諧波和次諧波的方法主要有小波變換算法[2,5-6]、快速傅里葉變換算法、譜估計方法[7-10]等。小波變換算法可以有效地檢測非平穩(wěn)的諧波信號，但是存在小波基選擇問題，同時對噪聲敏感。快速傅里葉變換算法由于其獨特的優(yōu)點而被廣泛應(yīng)用，但是當基波頻率變動時，會導(dǎo)致非同步采樣，引起嚴重的頻譜泄露問題，同時諧波之間的相互影響也會嚴重降低諧波和非整數(shù)次諧波的檢測精度。

本文分析了AR(自回歸)模型，深入研究了Yule Walker，Burg和Covariance這3種參數(shù)譜估計方法的原理，并提出了一種改進Covariance檢測方法。利用計算機對4種參數(shù)譜估計方法進行仿真，結(jié)果表明，參數(shù)譜估計方法對諧波、間諧波、次諧波具有很好的檢測效果。

1AR模型基本原理

參數(shù)譜估計方法的原理是用參數(shù)模型來逼近真實，其在信號頻譜分析上具有很大優(yōu)勢。AR模型、MA(滑動平均)模型和ARMA(自回歸滑動平均)模型[11]是3種常用的參數(shù)模型，其中AR模型不需要對非線性方程求解，只需要對AR參數(shù)進行估計，因此，計算過程相對簡單。此外，無論是在功率譜分辨率上還是平滑性上，AR模型都表現(xiàn)良好，因而應(yīng)用廣泛。

對電網(wǎng)系統(tǒng)中的連續(xù)信號進行采樣，獲得一個離散信號序列x(n)，n=1,2,…,N(N為采樣點數(shù))，在AR模型中，用式(1)表示該序列：

(1)

式中：p為AR模型的階次；ak為AR模型參數(shù)，k=1,2,…,p；e(n)為白噪聲序列。

由式(1)可知，將激勵的現(xiàn)在值和多次過去值通過加權(quán)線性組合之后，可得到采樣序列的現(xiàn)在值。因此，也可以把離散信號序列的第n個值看作是之前有限個過去值線性組合的預(yù)測結(jié)果。

根據(jù)隨機信號功率譜密度的定義可以直接得到x(n)的功率譜公式[8,12-13]：

(2)

式中σ2為白噪聲序列e(n)的方差。

由式(2)可以看出，只要得到AR模型參數(shù)(σ2和a1,a2，…,ak),即可求出所分析信號的功率譜P(f)。

2參數(shù)譜估計方法

2.1Yule Walker 方法

(3)

由于白噪聲序列的長度大于x(n)的長度，將無法觀測到的采樣點的采樣值看成是0。預(yù)測誤差功率的最小估計值通過模型參數(shù)ak的實部和虛部加以區(qū)分，可以利用復(fù)梯度法[14-15]得到：

i=1,2,…,p

(4)

(5)

其中：

(6)

聯(lián)立式(5)和式(6)可以估計AR模型的參數(shù)：

(7)

白噪聲方差估計值通過式(8)計算：

(8)

利用Yule Walker方法可得功率譜密度估計為

(9)

2.2Burg 方法

Burg方法利用前向、后向預(yù)測誤差平均功率最小準則和反射系數(shù)對模型參數(shù)進行估計。先估計反射系數(shù)，再用Levinson 遞推公式依次求取AR模型參數(shù)。

第p階模型的前向、后向預(yù)測誤差分別為

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

通過式(14)和(15)求得前向、后向預(yù)測誤差，再由式(13)估計出反射系數(shù)，將反射系數(shù)代入式(12)求出AR參數(shù)，最終可得Burg方法功率譜：

(16)

2.3Covariance方法

Covariance方法與Burg方法最主要的區(qū)別在于預(yù)測誤差功率求和式的上下限不同。在Covariance方法中，預(yù)測誤差功率的求和式的區(qū)間為[p,N-1]。利用復(fù)梯度方法使預(yù)測誤差功率達到最小，可得

(17)

其中：

(18)

(19)

白噪聲方差估計值由式(20)估計：

(20)

通過上面的計算可得Covariance方法的功率譜：

(21)

2.4改進Covariance方法

改進Covariance方法是基于前向、后向預(yù)測誤差平均功率最小準則，其AR模型參數(shù)估計矩陣計算與Covariance方法相同，只是自相關(guān)估計值計算方法不同，在改進Covariance方法中，自相關(guān)估計值為

(22)

(23)

3Matlab仿真及分析

為了驗證4種功率譜估計方法的正確性，在Matlab中對4個諧波樣本進行諧波分析，采樣頻率和時間窗口分別為10 kHz和200 ms。

4個諧波樣本A1—A4的具體表達式如下：

A1=100sin(2π×50t)+18sin(2π×250t)+

12sin(2π×350t)

(24)

A2=100sin(2π×50t)+11sin(2π×30t)+

4sin(2π×150t)

(25)

A3=100sin(2π×50t)+12sin(2π×150t)+

6sin(2π×250t)+8sin(2π×350t)+

5sin(2π×450t)+2sin(2π×26t)+

4sin(2π×180t)+5sin(2π×230t)

(26)

A4=100sin(2π×50t)+10sin(2π×40t)+

8sin(2π×18t)

(27)

A1—A4的波形如圖1所示，其中縱坐標M為幅值。

圖14種諧波波形

利用4種諧波分析方法，對諧波樣本A1—A4進行仿真，仿真結(jié)果如圖2—圖5所示，其中縱坐標PSD表示功率譜估計。

樣本A1中包含基波、5次諧波和7次諧波。從圖2可以發(fā)現(xiàn)，4種方法均能有效檢測原始信號。

樣本A2中包含基波、3次諧波和30 Hz次諧波。從圖3可以發(fā)現(xiàn)，Yule Walker方法只能檢測基波和3次諧波成分，其他3種方法均可以有效檢測原始信號。

(a)YuleWalker方法(b)Burg方法(c)Covariance方法(d)改進Covariance方法

圖2　A1的參數(shù)譜估計

圖3　A2的參數(shù)譜估計

圖4A3的參數(shù)譜估計

樣本A3中包含基波、3次諧波、5次諧波、7次諧波、9次諧波、26 Hz次諧波、180 Hz間諧波、230 Hz間諧波。從圖4可以發(fā)現(xiàn)，Yule Walker方法沒有檢測到26 Hz次諧波，而對其他整數(shù)次諧波和間諧波都有很好的檢測效果；Burg、Covariance 和改進 Covariance方法對各種次諧波都可以檢測。

(a)YuleWalker方法(b)Burg方法(c)Covariance方法(d)改進Covariance方法

圖5A4的參數(shù)譜估計

樣本A4中包含基波、40 Hz次諧波、18 Hz次諧波。從圖5的仿真結(jié)果可以看出，Yule Walker方法只能檢測出基波成分，不能檢測40 Hz次諧波和18 Hz次諧波，Covariance方法在檢測中出現(xiàn)了錯誤，Burg和改進 Covariance方法對諧波樣本均能很好檢測。

綜合4種參數(shù)譜估計方法的仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，整數(shù)次諧波最容易被有效檢測，尤其是3,5,7次這些在電力系統(tǒng)中危害較大的諧波；另外，間諧波也比較容易檢測，而次諧波的檢測難度較大。

4結(jié)語

對4種參數(shù)譜估計方法進行了分析和仿真，仿真結(jié)果表明，參數(shù)譜估計方法能夠很好地檢測整數(shù)次諧波、間諧波以及次諧波。其中Burg方法和改進Covariance方法對諧波檢測效果最好，其次是Covariance方法。隨著電力系統(tǒng)的不斷發(fā)展，參數(shù)譜估計方法在諧波檢測中的作用將更加明顯。

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Study of harmonics detection based on parametric spectral estimation method

ZHANG Tingzhong1，MA Hongyu1，SHI Manman2，SUN Yidi1

(1.School of Information and Electrical Engineering, China University of Mining and Technology,Xuzhou 221008, China;2.College of Science, Nanjing University of Posts and Telecommunications, Nanjing 210046, China)

Abstract：Three parametric spectral estimation methods including Yule Walker, Burg and Covariance were studied and an improved Covariance method was proposed based on analysis of AR model. The four kinds of parametric spectral estimation method were used for harmonics, inter-harmonics, and sub-harmonic detection on Matlab simulation platform. The simulation results show that the parametric spectral estimation method can detect not only integer harmonics, but also has good detection effect on inter-harmonics and sub-harmonics, and Burg and improved Covariance method have the best detection effect.

Key words:harmonics detection; parametric spectral estimation; AR model

中圖分類號：TD609

文獻標志碼：A網(wǎng)絡(luò)出版時間：2016-03-07 15:21

作者簡介：張廷忠(1991-)，男，山東濱州人，碩士研究生，研究方向為無功補償和諧波治理，E-mail:513553268@qq.com。

收稿日期：2015-11-23；修回日期：2016-01-05；責(zé)任編輯：胡嫻。

文章編號：1671-251X(2016)03-0060-05

DOI:10.13272/j.issn.1671-251x.2016.03.014

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/32.1627.TP.20160307.1521.014.html

張廷忠，馬鴻宇，石曼曼，等.基于參數(shù)譜估計方法的諧波檢測研究[J].工礦自動化，2016,42(3)：60-64.