上官文斌， 鄧建向， 余良渭， 王小莉， 段小成， 閻 礁

(1.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院 廣州，510641) (2.寧波拓普集團(tuán)股份有限公司 寧波，315800) (3.泛亞汽車技術(shù)中心有限公司 上海，201201)

填充天然橡膠材料裂紋擴(kuò)展模型的建模方法*

上官文斌1,2， 鄧建向1， 余良渭1， 王小莉1， 段小成1,2， 閻 礁3

(1.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院 廣州，510641) (2.寧波拓普集團(tuán)股份有限公司 寧波，315800) (3.泛亞汽車技術(shù)中心有限公司 上海，201201)

填充天然橡膠材料疲勞裂紋擴(kuò)模型是指裂紋擴(kuò)展速率與撕裂能峰值之間的關(guān)系，它是用于橡膠減振元件疲勞壽命預(yù)測(cè)的重要模型。在裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)得到的填充天然橡膠材料裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)的數(shù)據(jù)中，由于橡膠的應(yīng)力軟化現(xiàn)象，試驗(yàn)后期的部分?jǐn)?shù)據(jù)不可用。為此，建立了數(shù)據(jù)處理方法，獲得有效的裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)數(shù)據(jù)?；趩屋S拉伸載荷下填充天然橡膠材料最大應(yīng)變能密度與最大應(yīng)變滿足冪函數(shù)關(guān)系的假設(shè)，建立了變幅加載工況下裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)的數(shù)學(xué)模型和識(shí)別其模型參數(shù)的優(yōu)化方法。在建立的裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)模型的基礎(chǔ)上，建立了裂紋擴(kuò)展速率與撕裂能峰值關(guān)系的模型和確定模型中參數(shù)的數(shù)值方法。利用一組啞鈴型試片的疲勞壽命實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)建立的裂紋擴(kuò)展速率模型進(jìn)行了驗(yàn)證，證明了所建立模型的正確性。

裂紋擴(kuò)展試驗(yàn); 裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度; 循環(huán)次數(shù); 裂紋擴(kuò)展速率; 撕裂能峰值; 模型參數(shù)識(shí)別; 變幅加載工況

引 言

填充天然橡膠材料由于其良好的隔振效果和緩沖性能，已經(jīng)被大量應(yīng)用于汽車隔振器件、車輪輪胎以及各種常用密封器件中。對(duì)填充天然橡膠材料疲勞特性的研究具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。

由斷裂力學(xué)可知，材料的疲勞破壞歷經(jīng)裂紋的萌生、裂紋的穩(wěn)定擴(kuò)展、裂紋的失穩(wěn)擴(kuò)展以致最終造成材料斷裂等演化過(guò)程。忽略臭氧、溫度等環(huán)境因素的影響，只有當(dāng)撕裂能峰值大于某一門檻值時(shí)，裂紋的演化才會(huì)開始[1]。當(dāng)撕裂能峰值小于這一門檻值時(shí)，即便材料中有微小裂紋，裂紋也不會(huì)長(zhǎng)大。當(dāng)撕裂能峰值大于某一臨界值時(shí)，裂紋會(huì)發(fā)生失穩(wěn)擴(kuò)展，材料瞬間發(fā)生斷裂。在填充天然橡膠材料裂紋擴(kuò)展特性的研究中，將這一門檻值稱作為門檻撕裂能，將這一臨界值稱為臨界撕裂能。顯然，對(duì)于無(wú)限壽命設(shè)計(jì)而言，門檻撕裂能是填充天然橡膠材料重要的特性參數(shù)[1-2]。對(duì)于抗斷裂設(shè)計(jì)而言，臨界撕裂能是重要的特性參數(shù)。在填充天然橡膠材料疲勞裂紋擴(kuò)展模型的研究[3]中，普遍認(rèn)為裂紋擴(kuò)展速率與撕裂能峰值滿足冪函數(shù)的關(guān)系。實(shí)際上，對(duì)于填充天然橡膠材料，裂紋擴(kuò)展模型滿足冪法則的前提是所受載荷對(duì)應(yīng)的撕裂能峰值要大于某一特定的值(不一定等于門檻撕裂能，用轉(zhuǎn)折撕裂能以示區(qū)別)[3-4]。對(duì)于新配方的填充天然橡膠材料，有必要確定這一特定值的撕裂能。

筆者開展了某填充天然橡膠材料在變幅加載下的裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)，以建立適用于不同載荷水平下的裂紋擴(kuò)展模型，其中還包括對(duì)門檻撕裂能、轉(zhuǎn)折撕裂能值和臨界撕裂能的確定。針對(duì)變幅載荷工況下裂紋擴(kuò)展實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，基于試驗(yàn)中循環(huán)載荷最大應(yīng)變能密度與最大應(yīng)變近似滿足冪函數(shù)關(guān)系的假設(shè)，推導(dǎo)出此種變幅加載方式下裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)的關(guān)系式及裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)的擴(kuò)展模型。最后，對(duì)建立的裂紋擴(kuò)展模型進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 撕裂能與裂紋擴(kuò)展速率

Thomas等[5]最早將基本的斷裂力學(xué)理論應(yīng)用到橡膠斷裂問題,認(rèn)為裂紋的擴(kuò)展過(guò)程是材料釋放彈性應(yīng)變能用以提供裂紋擴(kuò)展產(chǎn)生新表面所需表面能的過(guò)程，并定義裂紋擴(kuò)展單位面積(A)釋放出的彈性應(yīng)變能(U)為橡膠的撕裂能(T)，即

(1)

其中：負(fù)號(hào)表示材料的彈性應(yīng)變能隨著裂紋的擴(kuò)展而減少。

描述材料裂紋擴(kuò)展特性的另一個(gè)重要物理量是裂紋擴(kuò)展速率，定義為單位循環(huán)次數(shù)(N)下的裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度(a)

(2)

撕裂能比R=0(一個(gè)循環(huán)載荷周期中撕裂能的最小值Tmin和最大值Tmax之比)的載荷是橡膠材料疲勞失效中經(jīng)常遇到的疲勞工況，為此筆者研究撕裂能比R=0的變幅載荷工況下的裂紋擴(kuò)展特性。1965年，Lake等[3]對(duì)某填充天然橡膠進(jìn)行了多個(gè)載荷幅值恒定且撕裂能比R=0的裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)，根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn)得出受到廣泛認(rèn)可的裂紋擴(kuò)展速率和撕裂能峰值關(guān)系的4個(gè)分段模型(如圖1所示)，即

(3a)

(3b)

(3c)

(3d)

其中：T0，Tt和Tc分別為門檻撕裂能、轉(zhuǎn)折撕裂能和臨界撕裂能；rz為撕裂能峰值小于T0時(shí)的裂紋擴(kuò)展速率；A，B和F為材料常數(shù)。

圖1 填充天然橡膠材料裂紋擴(kuò)展速率的4個(gè)階段Fig.1 The four stages of filled natural rubber′s crack growth rate

在階段I，裂紋以極小的恒定速率擴(kuò)展且不受外力載荷影響[1]，門檻撕裂能T0代表了材料的抗疲勞能力。在階段II和階段III，裂紋擴(kuò)展速率以轉(zhuǎn)折撕裂能Tt為轉(zhuǎn)折點(diǎn)由線性增長(zhǎng)轉(zhuǎn)為冪函數(shù)增長(zhǎng)。在階段IV，裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展，裂紋擴(kuò)展速率急速上升并導(dǎo)致材料迅速斷裂。任何工況下，只要撕裂能峰值到達(dá)Tc，即可認(rèn)定材料將迅速斷裂，從而Tc代表了材料的抗斷裂能力。

建立填充天然橡膠材料裂紋擴(kuò)展模型關(guān)鍵在于獲取裂紋擴(kuò)展速率。對(duì)于撕裂能比R=0的恒幅載荷裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)，試件的撕裂能峰值保持不變，裂紋擴(kuò)展速率為恒定值，則裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)成正比例關(guān)系。但是在變幅載荷加載工況，試件的撕裂能峰值不斷變化，裂紋擴(kuò)展速率不再是恒定值，其裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)的關(guān)系還有待研究。

2 裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度模型與裂紋擴(kuò)展模型的建立方法

裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度模型是裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)之間的關(guān)系。裂紋擴(kuò)展模型是裂紋擴(kuò)展速率與撕裂能峰值之間的關(guān)系?；趩屋S拉伸載荷下最大應(yīng)變能密度與最大應(yīng)變滿足冪函數(shù)關(guān)系的假設(shè)，筆者建立裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度數(shù)學(xué)模型，根據(jù)試驗(yàn)給出的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，先后建立求解裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度模型與裂紋擴(kuò)展模型中模型參數(shù)的最優(yōu)化方法。

2.1 裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)關(guān)系的模型

2.1.1 裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)關(guān)系的理論模型

實(shí)際設(shè)計(jì)的裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)中，所施加載荷對(duì)應(yīng)的撕裂能峰值在T0～Tc之間變化，即載荷水平在階段II和階段III之間。因此，實(shí)際試驗(yàn)中填充天然橡膠材料裂紋擴(kuò)展速率與撕裂能峰值的關(guān)系可近似由式(3b,3c)表示，改寫為

(4)

其中：D=AT0-rz；A，D，B和F為待確定的材料常數(shù)。

純剪試件的撕裂能與裂紋尺寸無(wú)關(guān)，通常采用純剪試件進(jìn)行裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)。試驗(yàn)中純剪試件的撕裂能峰值計(jì)算公式[3]為

(5)

其中：h為試件標(biāo)距；Wmax為試件上遠(yuǎn)離裂紋尖端處的應(yīng)變能密度峰值，由試件在當(dāng)前載荷循環(huán)卸載段的應(yīng)力應(yīng)變曲線積分所得[6]。

在單軸拉伸載荷下中填充天然橡膠材料的最大應(yīng)變能密度(Wmax)與最大應(yīng)變(εmax)近似滿足冪函數(shù)關(guān)系[6-8]，即

(6)

其中：k和b為待確定常數(shù)。

在變幅工況下加載的最大應(yīng)變載荷幅值(εmax)與循環(huán)次數(shù)(N)滿足線性增長(zhǎng)的關(guān)系，則

(7)

其中：c和d為已知常數(shù)。

根據(jù)式(5)～(7)，試驗(yàn)過(guò)程的撕裂能峰值(Tmax)可用循環(huán)次數(shù)(N)表示為

(8)

將式(8)代入式(4)，可得裂紋擴(kuò)展速率與循環(huán)次數(shù)的關(guān)系式為

(9)

裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度表示為Δa=a-a0，其中，a0為純剪試件的初始裂紋長(zhǎng)度。對(duì)式(9)進(jìn)行不定積分，可得試驗(yàn)過(guò)程中裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度(Δa)與循環(huán)次數(shù)(N)的關(guān)系為

(10)

其中：E和H為待確定常數(shù)。

由式(10)可知，對(duì)于撕裂能比R=0的裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)，若單軸拉伸(非平面拉伸或者雙軸拉伸)試驗(yàn)施加的應(yīng)變載荷幅值隨循環(huán)次數(shù)線性增加，則裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度(Δa)與循環(huán)次數(shù)(N)存在確定的函數(shù)關(guān)系。

式(10)中，常數(shù)k，b可通過(guò)式(6)對(duì)試驗(yàn)所得到的循環(huán)載荷最大應(yīng)變能密度與最大應(yīng)變進(jìn)行冪函數(shù)擬合獲取。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)優(yōu)化算法可確定式(10)中的其他常數(shù)A，B，D，E，F(xiàn)和H，但此種方法會(huì)將常數(shù)k，b的誤差引入到式(10)中。為了避免常數(shù)k，b引入的誤差，可先將式(10)改寫為

(11)

其中：Af，Df，Ef，Bf，Hf，p，q和Nt均為待確定參數(shù)，但是這些參數(shù)之間并不是獨(dú)立的。

(12)

對(duì)式(11)關(guān)于循環(huán)次數(shù)N求導(dǎo)，可得裂紋擴(kuò)展速率與循環(huán)次數(shù)的關(guān)系式為

(13)

(14)

結(jié)合式(11)、式(13)和式(14)，整理可得

(15)

2.1.2 裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度理論模型參數(shù)的確定方法

由式(12)與式(15)可知，待確定常數(shù)Ef，Bf和Hf可由Af，Df，p，q和Nt等5個(gè)待確定參數(shù)表示。因此，只需獲取Af，Df，p，q和Nt等5個(gè)待確定常數(shù)，即可確定裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)的關(guān)系式(11)。

為了能從實(shí)測(cè)裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度和循環(huán)次數(shù)數(shù)據(jù)中確定常數(shù)Af，Df，p，q和Nt，根據(jù)式(11～15)，建立最優(yōu)化模型

其中：目標(biāo)函數(shù)f為裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度實(shí)測(cè)值(Δa)和計(jì)算值(Δacal)的偏差平方和；n為裂紋長(zhǎng)度實(shí)測(cè)有效數(shù)據(jù)總數(shù)；Ni為第i個(gè)循環(huán)次數(shù)；Δai為循環(huán)次數(shù)Ni對(duì)應(yīng)的裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度實(shí)測(cè)值；Δacal,i為循環(huán)次數(shù)Ni對(duì)應(yīng)的裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度擬合值；其他參數(shù)的意義參考式(11)～(15)。

2.2 裂紋擴(kuò)展速率與撕裂能峰值關(guān)系的模型

求解式(16)最優(yōu)化問題，可得到裂紋擴(kuò)展速率與循環(huán)次數(shù)關(guān)系式(13)中的各個(gè)待確定常數(shù)，從而得到試件不同實(shí)測(cè)循環(huán)次數(shù)時(shí)的裂紋擴(kuò)展速率。填充天然橡膠試件的撕裂能峰值可以通過(guò)計(jì)算的方法得到[4]，由此得到試件裂紋擴(kuò)展速率和撕裂能峰值的關(guān)系。利用式(4)描述的裂紋擴(kuò)展速率與撕裂能峰值關(guān)系理論模型，建立最優(yōu)化方法來(lái)確定模型中的各個(gè)材料參數(shù)。

純剪試件的裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)一般要在一批相同材料試件上進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)，從而減少偶然或其因素引起的試驗(yàn)誤差。對(duì)于同一批填充天然橡膠材料試件，無(wú)論試件形式、試驗(yàn)條件和加載工況等因素，試件裂紋擴(kuò)展模型(如式(4)所示)中的待確定常數(shù)數(shù)值均一樣。因此，應(yīng)將所有的同一批試件的裂紋擴(kuò)展速率和撕裂能峰值數(shù)據(jù)視為一個(gè)整體，作為獲取裂紋擴(kuò)展模型的原始數(shù)據(jù)。

式(4)中，由于rz很小，處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)一般認(rèn)為rz=0，則有D=AT0。因此，式(4)可變形為

(17)

其中：裂紋擴(kuò)展速率為[T0，Tc]上的連續(xù)函數(shù)。

(18)

所有試件實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)整合后的撕裂能峰值序列記為Tmax,1，Tmax,2，Tmax,3…Tmax,i…Tmax,n，對(duì)應(yīng)的裂紋擴(kuò)展速率原始值序列記為r1,r2,…,ri,…,rn，其中，n為整合后的數(shù)據(jù)總數(shù)。為確定式(17)中的待確定常數(shù)B，F(xiàn)，T0和Tt，建立以下最優(yōu)化模型來(lái)求解。

(19)

其中：目標(biāo)函數(shù)f為裂紋擴(kuò)展速率原始值與擬合值的偏差平方和；rcal,i為對(duì)應(yīng)撕裂能峰值Tmax,i的裂紋擴(kuò)展速率擬合值；其他參數(shù)的意義參考式(4)。

3 裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度模型與裂紋擴(kuò)展模型建立方法的應(yīng)用

為了驗(yàn)證填充天然橡膠材料疲勞裂紋擴(kuò)展模型建立方法的正確性，對(duì)某填充天然橡膠材料的純剪試件進(jìn)行變幅加載裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)。在得到有效的裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度、撕裂能峰值與循環(huán)次數(shù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)后，根據(jù)建模方法建立所研究填充天然橡膠材料的疲勞裂紋擴(kuò)展模型。

3.1 變幅加載時(shí)裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析

裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)的主要目的是獲取材料的裂紋擴(kuò)展特性，即裂紋擴(kuò)展速率與撕裂能峰值的關(guān)系。試驗(yàn)通過(guò)測(cè)量試件的裂紋長(zhǎng)度值并記錄對(duì)應(yīng)的循環(huán)次數(shù)來(lái)獲取裂紋擴(kuò)展速率，結(jié)合實(shí)測(cè)的撕裂能峰值數(shù)據(jù)，用數(shù)學(xué)方法建立裂紋擴(kuò)展模型。

已知本裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)所采用純剪試件的斷裂應(yīng)變?yōu)?88.53%，臨界撕裂能為174 007.8 J/m2。為了快捷地得到不同載荷水平下的裂紋擴(kuò)展數(shù)據(jù)，筆者采用撕裂能比R=0的線性變幅加載工況。

試驗(yàn)采用3個(gè)純剪試件(sp1，sp2和sp3)進(jìn)行3次重復(fù)試驗(yàn)，其中，試件的初始裂紋a0=25 mm。如圖2所示，試驗(yàn)施加的應(yīng)變載荷谷值一直保持為零，而峰值隨循環(huán)次數(shù)線性增加。根據(jù)試驗(yàn)設(shè)定，式(7)中的待確定常數(shù)c=2.500 6×10-6，d=0.029 7。

圖2 變幅加載裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)中應(yīng)變載荷隨循環(huán)次數(shù)的變化Fig.2 The relationship between strain and number of cycles in crack growth experiment under variable amplitude

試驗(yàn)實(shí)測(cè)裂紋長(zhǎng)度與撕裂能峰值數(shù)據(jù)如圖3所示。由于應(yīng)力軟化和永久變形等緣故[8]，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，試驗(yàn)加載的最大應(yīng)力載荷不斷減小，導(dǎo)致載荷循環(huán)最大應(yīng)變能密度的增長(zhǎng)速度下降甚至減小。圖3(b)中，受應(yīng)力軟化和永久變形的影響，在循環(huán)次數(shù)約大于20萬(wàn)次后，撕裂能峰值的增長(zhǎng)速度開始減小，撕裂能峰值甚至下降，與式(8)中撕裂能峰值的變化規(guī)律不符。為獲得建立裂紋擴(kuò)展模型的有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)，應(yīng)剔除試驗(yàn)后期受應(yīng)力軟化和永久變形影響的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。

圖3 變幅加載工況下實(shí)測(cè)裂紋長(zhǎng)度與撕裂能峰值的變化Fig.3 The measured value of crack length and maximum tearing energy

圖4 循環(huán)載荷最大應(yīng)變能密度與最大應(yīng)變的關(guān)系Fig.4 The relation of maximum strain energy density and maximum strain

3.2 裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)有效實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的選取

如圖4所示，在試驗(yàn)前期，循環(huán)載荷最大應(yīng)變能密度與最大應(yīng)變實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下基本成線性分布，與式(6)的冪函數(shù)關(guān)系相符。在試驗(yàn)后期，由于最大應(yīng)變能密度的下降，導(dǎo)致試驗(yàn)數(shù)據(jù)不再是線性分布。為準(zhǔn)確剔除不再按照線性分布的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，筆者采用最小二乘法對(duì)最大應(yīng)變能密度與最大應(yīng)變進(jìn)行線性擬合，并依據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行截?cái)唷?/p>

在式(6)兩邊取常用對(duì)數(shù)，得最大應(yīng)變能密度與最大應(yīng)變的線性擬合模型

(20)

設(shè)試件最大應(yīng)變能密度實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的總數(shù)為n，在第m(m≤n)個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)最大應(yīng)變能密度與最大應(yīng)變進(jìn)行截?cái)?，取第m個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)后面的所有最大應(yīng)變能密度與最大應(yīng)變數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合。各試件試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合相關(guān)系數(shù)R隨截?cái)帱c(diǎn)m的變化曲線如圖4所示。

兩個(gè)變量線性擬合的相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)。令數(shù)據(jù)截?cái)辔恢玫南嚓P(guān)系數(shù)為0.95，當(dāng)最大應(yīng)變能密度與最大應(yīng)變線性擬合的相關(guān)系數(shù)小于0.95時(shí)，認(rèn)為此時(shí)應(yīng)力軟化和永久變形等現(xiàn)象已經(jīng)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)產(chǎn)生影響。如圖5所示，3個(gè)試件的數(shù)據(jù)總數(shù)均為1 028，用相關(guān)系數(shù)R=0.95去截?cái)鄶?shù)據(jù)，可得數(shù)據(jù)截?cái)帱c(diǎn)的m值分別為607，759和889。其中，3個(gè)數(shù)據(jù)截?cái)帱c(diǎn)對(duì)應(yīng)的循環(huán)次數(shù)分別為169 963，212 523和248 923。

圖5 截?cái)帱c(diǎn)m對(duì)擬合相關(guān)系數(shù)R的影響Fig.5 The influences of cut-off points on fitting correlation coefficient

3.3 裂紋擴(kuò)展模型中材料參數(shù)的確定

3.3.1 裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)模型參數(shù)的確定

根據(jù)得到的裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)有效實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，求解式(16)的最優(yōu)化問題。記實(shí)測(cè)循環(huán)次數(shù)序列為N1，N2，N3，…，Ni，…，Nn。求解時(shí)，假設(shè)轉(zhuǎn)折循環(huán)次數(shù)Nt為實(shí)測(cè)循環(huán)次數(shù)中的某一具體值Ni，從而可將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)劃分為兩部分。根據(jù)式(11)中兩個(gè)階段的關(guān)系式，分別對(duì)兩部分裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘擬合。兩個(gè)最小二乘擬合偏差平方和的加和，即為式(16)最優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)值，記為fi。當(dāng)轉(zhuǎn)折循環(huán)次數(shù)Nt取遍實(shí)測(cè)循環(huán)次數(shù)序列時(shí)，對(duì)應(yīng)可得目標(biāo)函數(shù)值序列，記為f1，f2，f3，…，fi，…，fn。目標(biāo)函數(shù)值序列最小值對(duì)應(yīng)的最小二乘擬合結(jié)果即為最優(yōu)化問題的最優(yōu)解。對(duì)應(yīng)最優(yōu)解，3個(gè)試件裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)關(guān)系式中各待確定參數(shù)擬合結(jié)果如表1所示。

圖6為各個(gè)試件裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)實(shí)測(cè)值和擬合值的對(duì)比，由圖可知實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和擬合曲線吻合較好。將表1各個(gè)材料常數(shù)的值代入式(13)，可得各試件試驗(yàn)過(guò)程中裂紋擴(kuò)展速率的變化情況，結(jié)果如圖7所示。當(dāng)循環(huán)次數(shù)約大于10萬(wàn)次之后，各個(gè)試件的裂紋擴(kuò)展速率增長(zhǎng)均明顯加快。

表1 3個(gè)純剪試件裂紋長(zhǎng)度和循環(huán)次數(shù)關(guān)系式中各個(gè)待確定常數(shù)的擬合結(jié)果

Tab.1 The fitting results of variables in the equations between crack length and number of cycles for the three pure shear test pieces

試件AfDfpEfBfqHfNt16.52×10-51.95×10-62.4657-0.004534.23×10-44.90000.722212460324.14×10-54.07×10-132.6301-0.001625.59×10-44.86000.16968260332.94×10-51.99×10-162.2107-0.005003.58×10-44.42470.237482603

圖6 裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度實(shí)測(cè)值與擬合值的對(duì)比Fig.6 The comparison of measured and fitted values of crack growth length

圖7 裂紋擴(kuò)展速率隨循環(huán)次數(shù)變化的擬合曲線Fig.7 The fitted curve between the crack growth rate and number of cycles

圖8 裂紋擴(kuò)展速率擬合值與撕裂能峰值實(shí)測(cè)值的變化關(guān)系Fig.8 The relation between fitted values of crack growth rate and measured values of maximum tearing energy

3.3.2 裂紋擴(kuò)展速率與撕裂能峰值模型參數(shù)的確定

圖8為各試件的裂紋擴(kuò)展速率和撕裂能峰值實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。在撕裂能峰值約小于500 J/m2前，裂紋擴(kuò)展速率增長(zhǎng)緩慢，試件每萬(wàn)次裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度增長(zhǎng)的平均速度約為2.5×10-4mm/(J·m-2)；而在撕裂能峰值約大于800 J/m2后，裂紋擴(kuò)展速率快速增長(zhǎng)，試件每萬(wàn)次裂紋擴(kuò)展速率增長(zhǎng)的平均速度約為1×10-3mm/(J·m-2)。裂紋擴(kuò)展速率隨撕裂能峰值的增長(zhǎng)模式明顯存在兩個(gè)不同規(guī)律，與式(4)描述的理論模型相符，因此可通過(guò)求解式(19)的最優(yōu)化問題來(lái)建立所研究填充天然橡膠材料的裂紋擴(kuò)展模型。

基于3個(gè)試件裂紋擴(kuò)展速率和撕裂能峰值整合后的數(shù)據(jù)，求解式(19)的最優(yōu)化問題。當(dāng)轉(zhuǎn)折撕裂能Tt取遍所有實(shí)測(cè)撕裂能峰值序列Tmax,1，Tmax,2，Tmax,3，…，Tmax,i，…，Tmax,n時(shí)，對(duì)應(yīng)可得目標(biāo)函數(shù)值序列。目標(biāo)函數(shù)序列的最小值對(duì)應(yīng)的模型參數(shù)用來(lái)描述裂紋擴(kuò)展速率與撕裂能峰值的模型參數(shù)。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)取最小值時(shí)，求解得到的撕裂能門檻值T0、轉(zhuǎn)折撕裂能Tt與材料常數(shù)A,B,F如表2所示。

表2 填充天然橡膠材料裂紋擴(kuò)展模型中各個(gè)待確定常數(shù)的擬合結(jié)果

Tab.2 The fitting results of all variables in crack growth model

待定常數(shù)數(shù)值撕裂能門檻值/(J·m-2)24.4轉(zhuǎn)折撕裂能/(J·m-2)483.6材料常數(shù)A2.85×10-8材料常數(shù)B材料常數(shù)F4.18×10-112.0475

如圖9所示，裂紋擴(kuò)展速率與撕裂能峰值的原始數(shù)據(jù)和擬合的關(guān)系曲線吻合良好。將表2中的數(shù)據(jù)代入式(17)，結(jié)合式(3)，可得筆者研究填充天然橡膠材料的裂紋擴(kuò)展模型為

圖9 裂紋擴(kuò)展速率與撕裂能峰值的關(guān)系曲線Fig.9 The relation curve of crack growth rate and maximum tearing energy

(21)

4 裂紋擴(kuò)展模型的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證式(21)中裂紋擴(kuò)展模型的正確性，筆者試制同配方的啞鈴型試片進(jìn)行單軸拉伸疲勞試驗(yàn)[7]，獲取試片在不同恒幅載荷水平下的疲勞壽命。

啞鈴型試片的單軸拉伸疲勞試驗(yàn)過(guò)程參見文獻(xiàn)[7]。筆者一共開展了8個(gè)不同應(yīng)變峰值的恒幅載荷疲勞試驗(yàn)，每一工況下分別對(duì)20個(gè)填充天然橡膠啞鈴型試片進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，將各個(gè)工況的20個(gè)實(shí)測(cè)壽命取平均值，如表3所示。

表3 啞鈴型試片疲勞試驗(yàn)應(yīng)變和實(shí)測(cè)壽命

Tab.3 The strain and measured lifetime of all dumbbell-shaped test pieces

工況序號(hào)應(yīng)變峰值εmax應(yīng)變峰值εmin平均壽命次數(shù)11.6103896721.3506220631.2308204941.19010029051.00013946060.93018556070.71039873080.620522450

在實(shí)際試驗(yàn)中，不論撕裂能峰值處于圖1中的哪一階段，階段III的裂紋擴(kuò)展特性可近似代替其他幾個(gè)階段的擴(kuò)展行為[9]。因此，計(jì)算疲勞壽命時(shí)可認(rèn)為裂紋擴(kuò)展速率與撕裂能峰值成冪函數(shù)關(guān)系。文獻(xiàn)[9]給出了啞鈴型試片單軸拉伸疲勞試驗(yàn)的壽命預(yù)測(cè)公式

(22)

其中：Np為試件的疲勞壽命預(yù)測(cè)值；a0為試片橡膠材料的初始裂紋長(zhǎng)度；B，F(xiàn)為式(17)中的材料常數(shù)；k為一個(gè)與材料類型和遠(yuǎn)離裂紋尖端的應(yīng)變水平相關(guān)的系數(shù)[4]；W為試片遠(yuǎn)場(chǎng)的應(yīng)變能密度。

將式(22)中的疲勞壽命預(yù)測(cè)值Np用實(shí)測(cè)值Nf代替，則式(22)可變形為橡膠材料初始裂紋的計(jì)算式

(23)

隨機(jī)選擇工況1，2，4，7的實(shí)測(cè)疲勞壽命代入式(23)計(jì)算材料的初始裂紋。其中，Nf取表3中各工況的實(shí)測(cè)疲勞壽命值。各工況下材料的初始裂紋與平均初始裂紋如表4所示。各個(gè)初始裂紋值較為接近，可取其平均值0.023 2 mm作為筆者所采用填充天然橡膠材料的初始裂紋a0。填充天然橡膠材料的初始裂紋一般分布在0.02～0.06 mm之間[10]，因此本研究初始裂紋的計(jì)算結(jié)果較為合理。

表4 工況試片平均壽命及其對(duì)應(yīng)的初始裂紋

Tab.4 The average lifetimes and initial crack lengths of selected operating conditions

工況序號(hào)應(yīng)變峰值εmax實(shí)測(cè)平均壽命次數(shù)初始裂紋/mm平均值a0/mm11.61389670.026021.35622060.02500.023241.191002900.021370.713987300.0203

如表5所示，將初始裂紋平均值a0代入式(22)計(jì)算啞鈴型試片在剩余工況3，5，6，8中的預(yù)測(cè)疲勞壽命，并將其結(jié)果與實(shí)測(cè)疲勞壽命進(jìn)行對(duì)比。各工況預(yù)測(cè)壽命與實(shí)測(cè)壽命的比值分布在[0.93,1.03]之內(nèi)，說(shuō)明預(yù)測(cè)壽命和實(shí)測(cè)壽命有較好的一致性。

表5 啞鈴型試片預(yù)測(cè)疲勞壽命與實(shí)測(cè)疲勞壽命的對(duì)比

Tab.5 The comparison of predicted and measured values of dumbbell-shaped test pieces′ lifetime

工況序號(hào)應(yīng)變峰值預(yù)測(cè)壽命次數(shù)實(shí)測(cè)平均壽命次數(shù)預(yù)測(cè)壽命與實(shí)測(cè)壽命之比31.2382049847551.0351.001394601427121.0260.931855601718660.9380.625224504999600.96

可見，無(wú)論是根據(jù)實(shí)測(cè)壽命計(jì)算初始裂紋，還是根據(jù)初始裂紋計(jì)算預(yù)測(cè)壽命，式(21)的裂紋擴(kuò)展模型均能給出較好的計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證了所建立裂紋擴(kuò)展模型的正確性和獲取裂紋擴(kuò)展模型方法的正確性。

5 結(jié) 論

1) 建立了變幅載荷單軸拉伸試驗(yàn)中獲取有效裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)處理方法，剔除試驗(yàn)后期受到橡膠的應(yīng)力軟化現(xiàn)象影響的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。

2) 給出了單軸拉伸試驗(yàn)下裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)模型的建模方法。利用實(shí)測(cè)的有效裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)次數(shù)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)和建立的裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度理論模型，提出了求解模型中材料參數(shù)的最優(yōu)化方法。

3) 建立了填充天然橡膠材料裂紋擴(kuò)展模型中材料參數(shù)的數(shù)值求解方法，得到了填充天然橡膠材料的門檻撕裂能、轉(zhuǎn)折撕裂能和臨界撕裂能等重要的材料參數(shù)。用一組啞鈴型試片單軸拉伸疲勞試驗(yàn)的結(jié)果驗(yàn)證了該模型的正確性。

[1] Lake g J,Lindley P B. The mechanical fatigue limit for rubber[J]. Journal of Applied Polymer Science, 1965, 1233-1251.

[2] Lake G J,Lindley P B.Fatigue of rubber at low strains[J]. Journal of Applied Polymer Science, 1966, 343-351.

[3] Gent A N， Lindley P B, Thomas A G. Cut growth and fatigue of rubbers I the relationship between cut growth and fatigue [J]. Journal of Applied Polymer Science, 1964, 8: 455-466.

[4] Lindley P B. Relation between hysteresis and the dynamic crack growth resistance of natural rubber [J]. International Journal of Fracture, 1973(9):449-462.

[5] Thomas A G. Rupture of rubber V cut growth in natural rubber vulcanizates [J]. Journal of Polymer Science, 1958, 31: 467-480.

[6] Mars W V. Multiaxial fatigue of rubber [D]. USA: The University of Toledo, 2001.

[7] 王小莉，上官文斌，劉泰凱，等. 填充橡膠材料單軸拉伸疲勞試驗(yàn)及疲勞壽命模型研究[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2013，49(14)：65-73.

Wang Xiaoli, Shangguan Wenbin, Liu Taikai, et al. Experiment of uniaxial tension fatigue and modeling of fatigue life for filled natural rubbers [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2013, 49(14)：65-73.(in Chinese)

[8] Mars W V, Fatemi A. Factors that affect the fatigue life of rubber: a literature survey[J]. Rubber Chemistry and Technology, 2004,76:391-412.

[9] Lake G J. Fatigue and fracture of elstomers [J]. Rubber Chemistry and Technology,1995,68(3): 435-459.

[10]Mars W V, Fatemi A. A literature survey on fatigue analysis approaches for rubber [J]. International Journal of Fatigue, 2002, 24: 949-961.

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.01.025

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275175)；廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014A030313254)

2014-06-19；修回日期：2014-08-04

TQ333; TB39; TQ339; TH145.4

上官文斌，男，1963年10月生，博士、教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)槌瑥椥?、黏彈性、彈塑性建模和?fù)雜耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性計(jì)算分析、橡膠隔振器振動(dòng)控制和疲勞特性。E-mail:shangguanwb99@tsinghua.org.cn