張軍，周香蓮，2，3，王建華

(1.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院海洋巖土工程研究中心，上海200240;2.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海200240;3.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗室，上海200240)

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橢圓余弦波作用下海床動態(tài)響應(yīng)及液化分析

張軍1，周香蓮1，2，3，王建華1

(1.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院海洋巖土工程研究中心，上海200240;2.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海200240;3.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗室，上海200240)

摘要:對于相對波高小于1/20淺水地區(qū)，傳統(tǒng)線性理論不再適用，應(yīng)該選用適用性更好的橢圓余弦波理論，但由于橢圓余弦函數(shù)計算的難度較大，橢圓余弦波理論的應(yīng)用一直有待推廣。本文采用精細(xì)積分算法模擬橢圓余弦波，結(jié)合考慮土骨架加速度及流體速度的u－p動力模式，建立橢圓余弦波－海床模型，得到橢圓余弦波作用下海床的孔壓及豎向有效應(yīng)力分布情況，進(jìn)行液化分析。對滲透系數(shù)，飽和度等參數(shù)進(jìn)行研究可以得出橢圓余弦波對孔隙水壓力的影響比線性波大。

關(guān)鍵詞:橢圓余弦波;海床;動態(tài)響應(yīng);液化;參數(shù)研究

近年，我國近海工程不斷增多，近海海域(相對波高小于1/20)波浪作用下海床動態(tài)響應(yīng)研究有待深入，近海海域應(yīng)該選用更符合實(shí)際的橢圓余弦波理論，而非傳統(tǒng)線性波理論。

學(xué)者們對于橢圓余弦波的模擬和應(yīng)用都進(jìn)行了較多的研究，其中，F(xiàn)enton［1］系統(tǒng)地研究了橢圓余弦波，提出橢圓余弦波理論在淺水條件下具有非常好的適用性，但由于雅可比橢圓函數(shù)和橢圓積分的計算難度較大，使得其發(fā)展和應(yīng)用都受到了局限。沈先榮［2］總結(jié)了橢圓余弦波理論的研究工作進(jìn)展且簡評了數(shù)值計算的幾種方法。姚征等［3］提出了橢圓函數(shù)的精細(xì)積分改進(jìn)算法。Chang等［4］通過PIV技術(shù)獲得了橢圓余弦波的實(shí)測數(shù)據(jù)。Xu等［5］提出了橢圓余弦函數(shù)的近似表達(dá)式及其可以接受的使用條件。Xu等［6］基于準(zhǔn)靜態(tài)的Biot固結(jié)模型繼續(xù)研究了橢圓余弦波作用下海床孔壓及有效應(yīng)力的分布。

對于海床動態(tài)響應(yīng)的研究，Biot［7］將其固結(jié)理論推廣到Partly dynamic模型。Hsu等［8］研究了波浪作用下細(xì)砂質(zhì)海床動態(tài)響應(yīng)問題。Ulker［9］得出了波浪作用下飽和多孔海床響應(yīng)的一組廣義解析解。Zen［10］基于超靜孔隙水壓力提出了液化判斷準(zhǔn)則。Gao等［11］求解了非線性波浪作用下海床的動態(tài)響應(yīng)問題。Xu［12］研究了海床在波浪作用下的液化進(jìn)程。Wen等［13］研究了非線性波流共同作用下埋管海床的動態(tài)響應(yīng)問題。針對多孔多層海床，Zhou等［14］研究土壤特性對波浪引起的海床動態(tài)響應(yīng)的影響。Zhou等［15］研究了波流共同作用下各向異性海床的動態(tài)響應(yīng)問題。

本文使用Comsol Multiphysics軟件，基于Biot動力方程，將海床考慮為多孔彈性介質(zhì)，采用u－p模式將孔壓位移視為場變量，考慮土體位移加速度，忽略孔隙流體慣性項作用，結(jié)合采用精細(xì)積分法得到的橢圓余弦波，建立波浪－海床模型，運(yùn)用隱式歐拉向后差分法(BDF法)進(jìn)行求解。模型得到驗證后進(jìn)行參數(shù)分析，研究了滲透系數(shù)、飽和度對于孔壓和豎向有效應(yīng)力及液化區(qū)域的影響。

1　橢圓余弦波作用下海床動態(tài)響應(yīng)理論分析

1.1計算模型的建立

計算模型如圖1所示，厚度為h的海床之下為固定的不透水基層，水深為d，波高為H，波長為L的橢圓余弦波沿x軸正向傳播。

圖1　橢圓余弦波－海床計算模型Fig.1 Sketch of the present model

1.2橢圓余弦波荷載的計算

橢圓余弦波，是指有限水深條件下，具有穩(wěn)定的有限振幅的長周期波。本文使用Xu等提出的改進(jìn)精細(xì)積分算法進(jìn)行橢圓余弦波的模擬。如圖1所示，原點(diǎn)固定于靜水面上的一階橢圓余弦波波面方程為:

式中:H為波高;L為波長;T為周期;t為時間;cn(·)表示橢圓余弦函數(shù);m為模量;E和K分別為第一類和第二類完全橢圓積分，可由下式計算得到:

對于模量m的計算已經(jīng)有較為成熟的方法，在此不再贅述，而對于橢圓余弦函數(shù)的計算則較復(fù)雜，選用改進(jìn)后的精細(xì)積分算法進(jìn)行計算，大致的思路如下:計算時，對于任意的，定義一個，使得

淺水地區(qū)的海床表面的波壓力pb可表示為:

式中:γw為孔隙流體的重度，k為波數(shù)。單位化參數(shù)P0取為γwH。如圖2所示，本方法計算出來的橢圓余弦波波面結(jié)果，與Chang等［4］的實(shí)測及其模擬結(jié)果均吻合良好，選取的計算參數(shù)為:周期T=2 s，波高H=0.036 m，水深d=0.24 m。圖中可見，橢圓余弦波的能量集中于波峰，波峰大大高于靜水位，而波谷則離靜水位很近。

圖2　本文橢圓余弦波模擬結(jié)果與文獻(xiàn)［4］的實(shí)測及數(shù)值模擬結(jié)果對比Fig.2 Comparison of present and previous results between this papers and reference［4］

1.3橢圓余弦波作用下土體響應(yīng)分析

考慮土體為各向同性介質(zhì)，滲透系數(shù)為常數(shù)，Biot方程可表示為:

式中:p為孔隙水壓力;γw為孔隙流體的重度;n為海床土壤孔隙率;Kz為土壤滲透系數(shù);ρf為流體的密度;β為孔隙流體的壓縮系數(shù);ε為土體體積應(yīng)變。β、ε分別由以下兩式定義:

式中:kw為孔隙水的體積模量，通常取kw=2× 109N/m2;S為土體飽和度;u和w分別為土體位移在水平及豎直方向上的分量;Pw0為孔隙水的絕對壓力。

簡化了的u－p形式的控制方程為:

式中:σij為土體總應(yīng)力;ρ和ρf分別是土體和孔隙流體的密度;為土體骨架的加速度;為孔隙流體相對于土體骨架的平均位移;Kf為孔隙流體的體積模量。

2　橢圓余弦波作用下海床動態(tài)響應(yīng)模型驗證及參數(shù)分析

2.1模型驗證

為了驗證本文所采用模型的正確性，將本文所用的橢圓余弦波模型退化到使用Stokes波，將結(jié)果與解析解進(jìn)行比較，如圖3，實(shí)線為當(dāng)前模型，點(diǎn)為解析解;輸入的數(shù)據(jù)為北海波浪設(shè)計值:T=15 s，d=70 m，L=311.59 m，h=25 m，G=107N/m3，μs=1/3，n=0.3，S=1.0，Kz=0.01 m/s?？梢姳疚哪Ｐ团c解析解吻合較好，驗證了本文結(jié)果的有效性。

圖3　當(dāng)前模型和解析解文獻(xiàn)［8］的比較Fig.3 Comparison of previous result between present model and reference［8］

2.2參數(shù)分析

本部分研究了飽和度，滲透系數(shù)對于海床孔壓，豎向有效應(yīng)力和豎向位移沿海床深度分布的影響。標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)見表1、2，為了保證結(jié)果的合理性，選取第二周期末的時間點(diǎn)進(jìn)行分析，使用單位化后的孔壓p/P0，豎向有效應(yīng)力σ'zz/P0，豎向位移uz2G/P0進(jìn)行描述。為研究單獨(dú)某項參數(shù)對于動態(tài)響應(yīng)結(jié)果的影響，不考慮各參數(shù)之間的聯(lián)動情況。

表1　海水參數(shù)Table 1 Seawater parameters

表2　海床參數(shù)Table 2 Seabed parameters

2.2.1飽和度S的影響

飽和度是海床土體的重要參數(shù)，圖4～6描述了不同的飽和度(S=1，0.98，0.96，0.94)下孔壓，豎向有效應(yīng)力以及豎向位移沿海床深度的分布。圖7為孔壓分布云圖。

圖4　不同飽和度下孔壓沿海床深度的分布Fig.4 Pore pressure distribution versus seabed depth with different degree of saturations

如圖4所示，孔壓隨著深度增加逐漸減小，減小過程中梯度逐漸增大，隨著飽和度的增大，孔壓減小得更慢。

圖5　不同飽和度下豎向有效應(yīng)力沿海床深度的分布Fig.5 Vertical stress distribution versus seabed depth with different degree of saturations

圖5表明豎向有效應(yīng)力呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，隨著飽和度減小，豎向有效應(yīng)力峰值增大。圖6中可見豎向位移隨著海床深度增大而逐漸的減小直至出現(xiàn)反向位移，豎向位移隨著飽和度的減小而增大。

圖6　不同飽和度下豎向位移沿海床深度的分布Fig.6 Vertical displacement distribution versus seabed depth with different degree of saturations

圖7　不同飽和度下的孔壓分布云圖Fig.7 Contour of pore pressure distribution with different degree of saturations

圖7描述了整體海床中的孔壓分布，可見隨著飽和度的減小，孔壓沿深度方向減小更快。

2.2.2滲透系數(shù)Kz的影響

圖8～10給出了不同滲透系數(shù)下沿海床深度方向的孔壓、豎向有效應(yīng)力、豎向位移。如圖8所示，孔壓隨著海床深度的增加而逐漸減小，滲透系數(shù)越大，減小得越慢。由圖9，豎向有效應(yīng)力沿深度方向呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，滲透系數(shù)越大，豎向有效應(yīng)力峰值越小。圖10給出了位移隨海床深度的變化，可見，滲透系數(shù)越小，海床表面產(chǎn)生的豎向位移越大。

圖8　不同滲透系數(shù)下孔壓沿海床深度的分布Fig.8 Pore pressure distribution versus seabed depth with different permeability

圖9　不同滲透系數(shù)下豎向有效應(yīng)力沿海床深度的分布Fig.9 Vertical stress distribution versus seabed depth with different permeability

圖10　不同滲透系數(shù)下豎向位移沿海床深度的分布Fig.10 Vertical displacement distribution versus seabed depth with different permeability

2.2.3不同波浪理論的影響

對線性波浪理論和橢圓余弦波理論下孔壓的變化做出比較。由圖11可見，不同的波浪理論對于海床表面的孔壓影響較大，孔壓隨深度減小趨勢基本相同，但由于兩種波浪作用下的海床表面所受波動水壓力差異較大，導(dǎo)致靠近海床表面部分，橢圓波作用下海床的孔壓明顯大于線性波作用下的孔壓，因此在計算淺海地區(qū)波浪作用下的海床動態(tài)響應(yīng)時不能簡單地使用線性波理論進(jìn)行簡化。

圖11　不同波浪理論下孔壓沿深度分布Fig.11 Pore pressure distribution versus seabed depth with different wave theories

3　液化判斷準(zhǔn)則及液化參數(shù)分析

3.1液化判斷準(zhǔn)則

在波浪荷載持續(xù)作用下孔隙水壓力上升，有效應(yīng)力下降，海床的一部分可能變得不穩(wěn)定而發(fā)生液化，本文采用由Zen［10］提出的基于超靜孔隙水壓力的液化判斷準(zhǔn)則，認(rèn)為當(dāng)土層中某一點(diǎn)處上層土體骨架的重量小于超靜孔隙水壓力時海床發(fā)生液化，即:

3.2液化參數(shù)分析

使用液化準(zhǔn)則分析不同飽和度S，滲透系數(shù)Kz下的液化區(qū)域，圖中深色區(qū)域表示發(fā)生液化的土體。

3.2.1飽和度S的影響

飽和度對于海床是否液化有著很重要的影響。選取S=1、0.97、0.94這3種不同參數(shù)進(jìn)行分析，如圖12所示，隨著飽和度的減小，液化深度和液化橫向范圍都逐漸增大。S=1時不發(fā)生液化。從S=0.96到S=0.94，液化深度從1.2 m變化到1.5 m，液化橫向范圍從25 m增大到28 m。

圖12　不同飽和度下液化區(qū)域的變化Fig.12 The liquefaction location with different degree of saturations

3.2.2滲透系數(shù)Kz的影響

針對不同的滲透系數(shù)(Kz=1×10－3m/s，1× 10－4m/s，1×10－5m/s)，圖13給出了其液化區(qū)域?？梢婋S著滲透系數(shù)的減小，液化深度和液化橫向范圍逐漸增大。

Kz=1×10－3m/s時土體不發(fā)生液化，從Kz=1× 10－4m/s到Kz=1×10－5m/s，液化深度從0.6 m變化到1 m，液化橫向范圍從20 m增大到27 m。這一現(xiàn)象具有較大的工程意義。表明近海中表明近海中海床土體的滲透系數(shù)較大時，液化的可能性將降低。在工程實(shí)踐中可以采取鋪設(shè)滲透系數(shù)較大的粗粒料上覆層作為保護(hù)管道的措施。

圖13　不同滲透系數(shù)下液化區(qū)域的變化Fig.13 The liquefaction location with different permeability

4　結(jié)論

本文使用精細(xì)積分法計算橢圓余弦函數(shù)，模擬一階橢圓余弦波，結(jié)合u－p動力模式建立波浪－海床動態(tài)響應(yīng)模型。研究了滲透系數(shù)、飽和度對孔壓、豎向有效應(yīng)力、豎向位移以及液化區(qū)域的影響?？傻玫揭韵陆Y(jié)論:

1)由于橢圓余弦波和線性波作用下的海床表面的所受波動水壓力差異很大，橢圓波作用下孔壓明顯大于線性波作用下的孔壓。

2)隨著飽和度的增大，孔壓減小得更慢，豎向有效應(yīng)力峰值減小，豎向位移減小，液化區(qū)減小。

3)滲透系數(shù)越大，孔壓減小得越慢，豎向有效應(yīng)力峰值越小，豎向位移越小，液化區(qū)越小。

參考文獻(xiàn):

［1］FENTON J D.The cnoidal theory of water waves［M］.Houston:Gulf Professional Publishing，1998:1－34.

［2］沈先榮.橢圓余弦波理論研究工作的進(jìn)展［J］.海洋工程，1990，8(4):77－87.SHEN Xianrong.Advances of studies on cnoidal wave theory ［J］.The Ocean Engineering，1990，8(4):77－87.

［3］姚征，鐘萬勰.橢圓函數(shù)的精細(xì)積分改進(jìn)算法［J］.數(shù)值計算與計算機(jī)應(yīng)用，2008，29(4):251－260.YAO Zheng，ZHONG Wanxie.The improved precise integration method for elliptic functions［J］.Journal on Numerical Methods and Computer Applications，2008，29(4):251－260.

［4］CHANG K A，HSU T J，LIU P L F.Vortex generation and evolution in water waves propagating over a submerged rectangular obstacle:Part II:Cnoidal waves［J］.Coastal Engineering，2005，52(3):257－283.

［5］XU Yunfeng，XIA Xiaohe，WANG Jianhua.Calculation and approximation of the cnoidal function in cnoidal wave theory ［J］.Computers＆Fluids，2012，68:244－247.

［6］XU Yunfeng，XIA Xiaohe，WANG Jianhua，et al.Numerical analysis on cnoidal wave induced response of porous seabed with definite thickness［J］.Journal of Shanghai Jiaotong University(Science)，2013，18(6):650－654.

［7］BIOT M A.Theory of propagation of elastic waves in a fluidsaturated porous solid.I.low－frequency range［J］.The Journal of the Acoustical Society of America，1956，28(2):168－178.

［8］HSU J R C，JENG D S.Wave－induced soil response in an unsaturated anisotropic seabed of finite thickness［J］.International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，1994，18(11):785－807.

［9］ULKER M B C，RAHMAN M S，JENG D S.Wave－induced response of seabed:various formulations and their applicability［J］.Applied Ocean Research，2009，31(1):12－24.

［10］ZEN K，YAMAZAKI H.Mechanism of wave－induced liquefaction and densification in seabed［J］.Soils and Foundations，1990，30(4):90－104.

［11］GAO F P，JENG D S，SEKIGUCHI H.Numerical study on the interaction between non－linear wave，buried pipeline and non－h(huán)omogenous porous seabed［J］.Computers and Geotechnics，2003，30(6):535－547.

［12］XU Haixia.Wave－induced liquefaction processes in marine sediments［D］.Dundee:The University of Dundee，2012:39－62.

［13］WEN F，JENG D S，WANG J H，et al.Numerical modeling of response of a saturated porous seabed around an offshore pipeline considering non－linear wave and current interaction［J］.Applied Ocean Research，2012，35:25－37.

［14］ZHOU Xianglian，XU Bin，WANG Jianhua，et al.An analytical solution for wave－induced seabed response in a multi－layered poro－elastic seabed［J］.Ocean Engineering，2011，38(1):119－129.

［15］ZHOU Xianglian，WANG Jianhua，ZHANG Jun，et al.Wave and current induced seabed response around a submarine pipeline in an anisotropic seabed［J］.Ocean Engineering，2014，75:112－127.

［16］JENG Dongsheng.Porous models for wave－seabed interactions［M］.Berlin:Springer－Verlag，2013:7－32.

Numerical study of the cnoidal wave-induced dynamic response of the seabed and liquefaction analysis

ZHANG Jun1，ZHOU Xianglian1，2，3，WANG Jianhua1
(1.Center for Marine Geotechnical Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China;2.Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep－Sea Exploration，Shanghai 200240，China;3.State Key Laboratory of Ocean Engineering，Shanghai JiaoTong University，Shanghai 200240，China)

Abstract:Cnoidal wave theory can be applied to periodic wave progression in water when the wave height is less than 1/20 of the wavelength and for which traditional linear theory is no longer appropriate.However，cnoidal wave theory has not been widely applied in practical engineering applications because the formula for the wave profile involves a Jacobian elliptic function.In this study，Taylor's expression and a precise integration method were used to estimate the Jacobian elliptic function.The seabed was treated as a porous medium and characterized by Biot's partly dynamic equations(u－p model).A cnoidal wave－seabed system was modeled and analyzed.Based on the numerical results，the effects of seabed characteristics such as permeability and degree of saturation on the cnoidal waveinduced excess pore pressure and liquefaction phenomenon were studied.It was concluded that the effect of a cnoidal wave on the pore water pressure is larger than that of a linear wave.

Keywords:cnoidal wave;seabed;dynamic response;liquefaction analysis;parametric study

通信作者:周香蓮，E－mail:zhouxl@ sjtu.edu.cn.

作者簡介:張軍(1990－)，男，碩士;周香蓮(1972－)，女，副教授，博士.

基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(41372286，41572243);海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗室青年創(chuàng)新基金資助項目(GKZD010059).

收稿日期:2014－08－13.網(wǎng)絡(luò)出版時間:2015－12－21.

中圖分類號:P75;TU4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1006－7043(2016)01－0053－06

doi:10.11990/jheu.201408014

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20151221.1555.028.html