孟　華　劉保國　李鴿鴿

1.商丘工學(xué)院，商丘，476000　　2.河南工業(yè)大學(xué)，鄭州， 450007

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中介軸承隨機(jī)參數(shù)對(duì)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)特征值的影響

孟華1劉保國2李鴿鴿2

1.商丘工學(xué)院，商丘，4760002.河南工業(yè)大學(xué)，鄭州， 450007

摘要：通過復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的隨機(jī)參數(shù)運(yùn)動(dòng)微分方程，分析了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)特征值的隨機(jī)性問題。通過整體傳遞矩陣法計(jì)算出雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特征值，使用Monte Carlo數(shù)值模擬計(jì)算方法，分別計(jì)算并分析了以具有一個(gè)中介軸承支撐和兩個(gè)中介軸承支撐的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)耦合單元的質(zhì)量參數(shù)、剛度參數(shù)及阻尼系數(shù)為隨機(jī)參數(shù)時(shí)，雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特征值均值及其標(biāo)準(zhǔn)差隨變異系數(shù)的變化規(guī)律。

關(guān)鍵詞：雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)；中介軸承；隨機(jī)參數(shù)；特征值

0引言

1轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨機(jī)參數(shù)運(yùn)動(dòng)微分方程

許多轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的材料特性、載荷、幾何參數(shù)、邊界條件等參數(shù)都具有一定的隨機(jī)性[3]，這使系統(tǒng)各零部件的質(zhì)量、剛度、阻尼等參數(shù)也具有隨機(jī)性，整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的隨機(jī)參數(shù)運(yùn)動(dòng)微分方程可用下式表示：

(1)

(2)

若系統(tǒng)有n個(gè)隨機(jī)參數(shù)，式(1)中的隨機(jī)質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣可以用下式表示：

(3)

(4)

(5)

(6)

由此可以求得系統(tǒng)的特征值。由于系統(tǒng)的質(zhì)量，剛度和阻尼都為隨機(jī)量，所以系統(tǒng)的特征值也是隨機(jī)的。

為了研究雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的中介軸承的隨機(jī)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)特征值的影響，將軸承的剛度和阻尼隨機(jī)參數(shù)矩陣表示為[6]

(7)

(8)

2雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的隨機(jī)特征值

本文以單個(gè)中介軸承有阻尼軸對(duì)稱雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和兩個(gè)中介軸承無阻尼軸對(duì)稱雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對(duì)象[7]，分析參數(shù)的隨機(jī)性對(duì)系統(tǒng)特征值的影響。

面板數(shù)據(jù)通過平穩(wěn)性檢驗(yàn)后才能進(jìn)行協(xié)整檢驗(yàn)，以確保建立面板數(shù)據(jù)模型的變量間存在長期的均衡關(guān)系。由單位根檢驗(yàn)結(jié)果可知，4個(gè)變量都為0階單整，因此可以進(jìn)行協(xié)整性檢驗(yàn)。本文采用 Kao 檢驗(yàn)［20］、 Pedroni檢驗(yàn)［21］、 Fish 檢驗(yàn) 3種方法進(jìn)行協(xié)整檢驗(yàn)，若3種方法中有2種及以上通過檢驗(yàn)，則認(rèn)為變量間存在長期協(xié)整關(guān)系。檢驗(yàn)結(jié)果如表3、4所示。檢驗(yàn)結(jié)果顯示，除了Kao檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值的P值大于0.1之外，Pedroni檢驗(yàn)、Fish檢驗(yàn)的各項(xiàng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值都小于0.05，綜合3種檢驗(yàn)結(jié)果，認(rèn)為4個(gè)變量之間存在長期的協(xié)整關(guān)系，可以進(jìn)一步進(jìn)行回歸分析。

模型1是單個(gè)中介軸承有阻尼軸對(duì)稱雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，如圖1所示，整個(gè)系統(tǒng)由內(nèi)外兩個(gè)轉(zhuǎn)子組成，軸承A1、軸承B1為支撐內(nèi)轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)的支承軸承，C1為支承外轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)的支撐軸承，內(nèi)外轉(zhuǎn)子由中介軸承D1連接。

圖1　單個(gè)中介軸承的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖

模型2是兩個(gè)中介軸承無阻尼軸對(duì)稱雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，如圖2所示，系統(tǒng)由內(nèi)外兩個(gè)轉(zhuǎn)子組成，軸承A2、軸承B2為支承內(nèi)轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)的支承軸承，內(nèi)外轉(zhuǎn)子由兩中介軸承C2、D2連接。

圖2　兩個(gè)中介軸承的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖

中介軸承的質(zhì)量、剛度和阻尼參數(shù)都服從正態(tài)分布，使用MonteCarlo方法[8]抽樣計(jì)算一萬次，分別計(jì)算出變異系數(shù)ε在0.01～0.30間取值時(shí)系統(tǒng)特征值的最大值、最小值、平均值及標(biāo)準(zhǔn)差。利用整體傳遞矩陣法計(jì)算兩種確定性模型的前三階特征值，如表1所示。

表1　兩種軸承-雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型的初始特征值

2.1模型1的隨機(jī)特征值

模型1的計(jì)算模型如圖3所示，根據(jù)整個(gè)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將其劃分為8個(gè)軸段，10個(gè)節(jié)點(diǎn)。在整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，軸承的剛度和阻尼系數(shù)如表2所示，各軸段的結(jié)構(gòu)信息如表3所示。

圖3　單個(gè)中介軸承的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的計(jì)算模型

軸承號(hào)剛度K(MN/m)阻尼C(N·s/m)A126.2695254B117.5133502C117.5133502D18.7561751

表3　模型1軸承-雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)(彈性彈量E=200 GPa)

對(duì)于有阻尼的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征值計(jì)算結(jié)果是復(fù)數(shù)，其特征值可以用S=λ+iΩ表示。每一組數(shù)據(jù)都是通過MonteCarlo法模擬計(jì)算一萬次得到。分析計(jì)算了耦合單元(10-4)的質(zhì)量、剛度、阻尼參數(shù)各自隨機(jī)變異以及同步隨機(jī)變異時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的隨機(jī)特征值，模擬計(jì)算出的特征值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨變異系數(shù)的變化規(guī)律如圖4～圖6所示。

圖4　　模型1一階特征值圖5　　模型1二階特征值　均值和標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)　均值和標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)　參數(shù)變異系數(shù)的關(guān)系　參數(shù)變異系數(shù)的關(guān)系

圖6　模型1三階特征值均值和標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)參數(shù)變異系數(shù)的關(guān)系

所求特征值的平均值是通過MonteCarlo法抽樣模擬計(jì)算一萬次所得到的一萬個(gè)特征值的平均值。由圖4可以看出：各個(gè)隨機(jī)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的一階特征值的影響都很小。而由圖5、圖6則可以看出：剛度參數(shù)的隨機(jī)變化對(duì)二階、三階特征值的實(shí)部、虛部及標(biāo)準(zhǔn)差的影響都很顯著，且隨著變異系數(shù)的增大呈非線性變化的趨勢；質(zhì)量、阻尼參數(shù)的隨機(jī)變化對(duì)二階、三階特征值的影響相對(duì)要小得多，產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是由于耦合單元(10-4)的質(zhì)量、阻尼參數(shù)的初值偏小，即使變異系數(shù)達(dá)到較大值，質(zhì)量、阻尼的絕對(duì)值仍然不大，所以整體影響并不顯著。

2.2模型2的隨機(jī)特征值

模型2的計(jì)算模型如圖7所示，根據(jù)整個(gè)雙子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將其劃分為10個(gè)軸段，12個(gè)節(jié)點(diǎn)，各軸段的結(jié)構(gòu)信息如表4所示。

圖7　兩個(gè)中介軸承耦合的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的計(jì)算模型

模型2為無阻尼雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，所以只考慮了兩個(gè)中介軸承的質(zhì)量和剛度參數(shù)隨機(jī)時(shí)對(duì)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)特征值的影響。從圖8～圖10可以得知，耦合單元(8-3)及(12-5)的質(zhì)量隨機(jī)時(shí)，系統(tǒng)的前三階特征值都在初始特征值附近波動(dòng)，特征值的變化微小。系統(tǒng)的質(zhì)量對(duì)其特征值本應(yīng)該有比較顯著的影響，但分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，影響并不明顯。分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)可知，耦合單元(8-3)及(12-5)的質(zhì)量在節(jié)點(diǎn)3、8、5、12處，其質(zhì)量初值較小，當(dāng)節(jié)點(diǎn)處質(zhì)量的變異系數(shù)較大時(shí)，其本身的變化也不大，所以對(duì)系統(tǒng)特征值的影響也比較小。耦合單元?jiǎng)偠鹊碾S機(jī)變異對(duì)系統(tǒng)的特征值的均值、標(biāo)準(zhǔn)差的影響都比較顯著。

表4　模型2雙轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的

圖8　模型2一階特征值圖9　模型2二階特征值　均值標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)　標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)參數(shù)　參數(shù)變異系數(shù)的關(guān)系　變異系數(shù)的關(guān)系

圖10　模型2三階特征值標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)參數(shù)變異系數(shù)的關(guān)系

3結(jié)語

通過上述分析可知，雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的中介軸承的剛度的隨機(jī)性對(duì)系統(tǒng)的特征值的影響比較明顯，特征值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨著剛度變異系數(shù)的增大呈非線性變化的趨勢；中介軸承的質(zhì)量和阻尼參數(shù)的隨機(jī)性對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特征值影響較小，主要原因是它們的初值較小，即使當(dāng)變異系數(shù)較大時(shí)，它們?cè)跀?shù)值上的變化也不大，所以作用不太顯著。可以預(yù)期：當(dāng)質(zhì)量、阻尼、剛度的初值對(duì)特征值的貢獻(xiàn)都在同樣數(shù)量級(jí)別的水平時(shí)，這些參數(shù)的隨機(jī)變化對(duì)特征值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的變化都將是明顯的。

本文給出的計(jì)算方法，不僅可以分析雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的中介軸承的各種參數(shù)的隨機(jī)變化對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)特征值的影響，而且可以分析任何復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的任何參數(shù)的隨機(jī)變化對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)特征值的影響。

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(編輯袁興玲)

Influences of Coupling Bearing’s Random Parameters on Eigenvalues of Double Rotor System

Meng Hua1Liu Baoguo2Li Gege2

1.Shangqiu Institute of Technology,Shangqiu,He’nan,476000

2.Henan University of Technology,Zhengzhou,450007

Abstract:The stochastic problems in the eigenvalue of the complex double rotor system were analyzed by the dynamic stochastic differential equation. The eigenvalues of double rotor system was calculated with the whole transfer matrix method. After that, the relationship between the eigenvalue including its mean and standard deviation value and the random parameter’s variation coefficient was investigated with Monte-Carlo method considering the effects of random parameters such as coupling element’s mass, stiffness and damping coefficient. Meanwhile, to improve the effectiveness of this research, the conclusion was verified individually on double rotor system with one or two coupling bearings.

Key words:double rotor system; coupling bearing; random parameter; eigenvalue

作者簡介：孟華，女，1988年生。商丘工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院助教。主要研究方向?yàn)檗D(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)。劉保國，男，1962年生。河南工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院教授、博士、博士研究生導(dǎo)師。李鴿鴿，男，1987年生。河南工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院碩士研究生。

中圖分類號(hào)：TH113；TH133

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.05.020

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11172092)

收稿日期：2015-03-15