戴小仙

摘 要： 數(shù)學(xué)錯(cuò)誤在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中不可避免，錯(cuò)題的產(chǎn)生來(lái)源于數(shù)學(xué)錯(cuò)誤.錯(cuò)題整理是提高學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)思維能力、綜合學(xué)習(xí)能力的重要途徑，同時(shí)錯(cuò)題資源也是重要的教學(xué)資源，可以幫助教師改進(jìn)教學(xué)，提高教學(xué)效率.本文分析認(rèn)為，研究數(shù)學(xué)錯(cuò)題整理的行為策略對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)意義非常重要.

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué) 錯(cuò)題整理 錯(cuò)題分析

一、初中數(shù)學(xué)“錯(cuò)題整理”的學(xué)科意義

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)注意調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.但長(zhǎng)期以來(lái)，許多數(shù)學(xué)教育工作者只是從認(rèn)知角度出發(fā)，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看成是一個(gè)由感知、注意、記憶、理解等構(gòu)成的認(rèn)知過(guò)程，在教學(xué)實(shí)踐中教師反復(fù)講解、學(xué)生被動(dòng)接受，在這樣的學(xué)習(xí)中逐漸失去自主學(xué)習(xí)、自由思考的意識(shí)和能力.

元認(rèn)知理論認(rèn)為自由、獨(dú)立、自主是人獲得發(fā)展的前提，自由思考是學(xué)生獲得能力的基石.要使得學(xué)生的數(shù)學(xué)能力真正得到培養(yǎng)和發(fā)展，就必須使學(xué)生樹(shù)立自主學(xué)習(xí)意識(shí)，給予學(xué)生獨(dú)立從事學(xué)習(xí)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生有自由思考的空間，而不是對(duì)學(xué)生進(jìn)行“大運(yùn)動(dòng)量”的訓(xùn)練.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)掌握規(guī)則、運(yùn)用規(guī)則的學(xué)習(xí)過(guò)程.基于這樣的思考，我嘗試用錯(cuò)題整理的策略方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和效率.經(jīng)過(guò)實(shí)踐，我看到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自主性有了明顯提高，他們從自己的錯(cuò)題中分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，找到解決此類問(wèn)題的方法，在更多的練習(xí)和反饋中，類似的錯(cuò)誤率明顯低很多.

二、初中數(shù)學(xué)“錯(cuò)題整理”的基本步驟

（一）錯(cuò)題歸因，尋根溯源.

學(xué)生在平時(shí)的作業(yè)、考試中都會(huì)出現(xiàn)各種類型的數(shù)學(xué)錯(cuò)題，對(duì)于這些做錯(cuò)了的題目，我一般都會(huì)及時(shí)講評(píng)，幫助學(xué)生找到錯(cuò)誤的根源.學(xué)生雖然認(rèn)真聽(tīng)教師講解了，但是下次練習(xí)或考試時(shí)往往還會(huì)犯同樣的錯(cuò)誤，這樣的教學(xué)行為是低效的.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，在習(xí)題教學(xué)過(guò)程中老師以講為主，學(xué)生只是被動(dòng)地接受，沒(méi)有發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，沒(méi)有對(duì)同一類題型加以鞏固練習(xí).原因之一是學(xué)生對(duì)錯(cuò)因仍然不清楚，因此不能在今后的學(xué)習(xí)中規(guī)避.教師要引導(dǎo)學(xué)生分析查找出自身錯(cuò)題的錯(cuò)因.通過(guò)研究，數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的常見(jiàn)類型有以下幾類：

1.基本概念不清晰

我有一句“名言”在學(xué)生中廣為流傳：萬(wàn)錯(cuò)源于概念。有些同學(xué)就把這句話寫(xiě)在他們的“錯(cuò)題本”上，時(shí)刻提醒自己概念學(xué)習(xí)的重要性.數(shù)學(xué)的解題過(guò)程，就是運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，定義、定理、公式等和數(shù)學(xué)方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，所以扎實(shí)牢固的數(shù)學(xué)基本概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提.學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中往往對(duì)這一點(diǎn)認(rèn)識(shí)不足，對(duì)概念的理解不深，造成解題時(shí)被動(dòng)出錯(cuò).

以下題目可見(jiàn)概念學(xué)習(xí)的重要性.

錯(cuò)題1：2013年的杭州市中考的第12題：

2.思維方法不恰當(dāng).

初中生在思維方法上的缺陷，常表現(xiàn)為思考問(wèn)題不全面、思路混亂、邏輯推理能力差，在解題中往往不能完整、準(zhǔn)確地解決問(wèn)題.這類錯(cuò)誤基本上覆蓋了學(xué)生由于智力因素導(dǎo)致的數(shù)學(xué)錯(cuò)題.思維方法不恰當(dāng)，需要教師立足學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)，長(zhǎng)期不懈地堅(jiān)持引導(dǎo)，因?yàn)檫@類錯(cuò)誤不是靠解決一個(gè)概念就可以克服的，這是數(shù)學(xué)思維本質(zhì)的體現(xiàn).

錯(cuò)題3：已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖像過(guò)點(diǎn)（0，2），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是2，求此一次函數(shù)的解析式.

此題的錯(cuò)因就是學(xué)生在考慮圖形的位置時(shí)漏解，一次函數(shù)過(guò)y軸上的定點(diǎn)，有k>0和k<0兩種情況.

錯(cuò)題4：已知|a-3|=3-a，當(dāng)a為何整數(shù)時(shí)，方程組3x-6y=15x-11y=a的解都是負(fù)數(shù)？

此題的錯(cuò)因就是學(xué)生思路混亂，不能確定正確的解題策略：即先求出關(guān)于x、y的方程組的解，再轉(zhuǎn)化成關(guān)于a的一元一次不等式組.

此題的錯(cuò)因是學(xué)生缺乏綜合題的邏輯推理解決能力，這類錯(cuò)題需要學(xué)生有良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)和鉆研精神，從而在漸進(jìn)式的學(xué)習(xí)中取得進(jìn)步.

以上兩類錯(cuò)題可以歸為由于智力因素導(dǎo)致的錯(cuò)題.錯(cuò)題還有很多是由于非智力因素導(dǎo)致的，以下將列舉幾類典型的錯(cuò)因是非智力因素的錯(cuò)題.

3.審題不清傷不起

相信此題的正確率也不會(huì)達(dá)到理想狀態(tài)，錯(cuò)因就是計(jì)算失誤.通過(guò)中考總復(fù)習(xí)，99.9%的學(xué)生已經(jīng)會(huì)做這樣的計(jì)算題，但是仍然達(dá)不到這樣高的正確率，因此教師在平時(shí)的教學(xué)中一定要堅(jiān)決貫徹“會(huì)力求對(duì)”的解題目標(biāo)，幫助學(xué)生提高計(jì)算能力的重視程度.

在平時(shí)的作業(yè)、試卷講評(píng)過(guò)程中，我經(jīng)常問(wèn)學(xué)生，你的錯(cuò)誤是屬于哪一類？要求學(xué)生遇到錯(cuò)題一定要先這樣問(wèn)自己.這是學(xué)生糾錯(cuò)的第一關(guān)，知道自己的“錯(cuò)因”，才能有針對(duì)性地開(kāi)展“糾錯(cuò)”.

（二）糾錯(cuò)整理，反饋提高.

經(jīng)過(guò)實(shí)踐研究，采用以下步驟進(jìn)行“糾錯(cuò)—整理—反饋”。

1.學(xué)生先行自查糾錯(cuò)。

平時(shí)的作業(yè)批改好，要求學(xué)生先自查錯(cuò)題，找出自己做錯(cuò)的原因，是審題不清？計(jì)算失誤，還是方法、能力問(wèn)題？通過(guò)學(xué)生自查，讓學(xué)生區(qū)分出智力因素做錯(cuò)和非智力因素做錯(cuò)這兩大類，使學(xué)生盡量把非智力因素的錯(cuò)誤降低到“零”，這是我一貫要求學(xué)生做到的四個(gè)字“會(huì)力求對(duì)”.

每次的單元、階段測(cè)試卷，我都采取這樣的方式糾錯(cuò)，試卷批改好，先不講評(píng)，學(xué)生自查錯(cuò)題，對(duì)錯(cuò)題錯(cuò)因進(jìn)行歸類，自查出智力因素失分和非智力因素失分各有幾分，算出自己試卷的應(yīng)得分.對(duì)比實(shí)際得分和應(yīng)得分，進(jìn)行試卷的分析反思，并填寫(xiě)試卷分析量化表（見(jiàn)附表）.

這一階段的糾錯(cuò)要求學(xué)生獨(dú)立完成，開(kāi)始，有些學(xué)生不能自覺(jué)檢查，往往是老師不講評(píng)，學(xué)生就不訂正.為保證自查的順利進(jìn)行，教師要經(jīng)常做學(xué)生的思想工作，經(jīng)常指導(dǎo)督促學(xué)生，我專門指定學(xué)生對(duì)作業(yè)的訂正情況進(jìn)行登記檢查，逐步養(yǎng)成自查錯(cuò)題的習(xí)慣.在這一階段經(jīng)過(guò)學(xué)生的獨(dú)立思考，幫助學(xué)生對(duì)錯(cuò)題進(jìn)一步進(jìn)行分析，為合作交流和教師指導(dǎo)奠定基礎(chǔ).這不僅培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)探究的能力，而且?guī)椭鷮W(xué)生嘗到了成功的喜悅、增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的信心，更有利于克服做題粗心大意、斷章取義、審題不清等不良習(xí)慣.

2.小組交流合作討論。

對(duì)于一些自查自糾仍然解決不了的問(wèn)題，讓學(xué)生在小組討論中解決.教師組織學(xué)生積極投入小組互動(dòng)，教師也要參與，了解學(xué)生活動(dòng)的情況，而且及時(shí)給予同學(xué)鼓勵(lì).教師還要了解學(xué)生錯(cuò)題不會(huì)的原因，哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)出了問(wèn)題，教師可以做適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥.小組活動(dòng)中要求學(xué)生積極參與，鼓勵(lì)會(huì)做的學(xué)生擔(dān)當(dāng)小老師的身份，不僅會(huì)做，還要說(shuō)得明白.在這個(gè)活動(dòng)中，學(xué)生互相交流、取長(zhǎng)補(bǔ)短，不僅學(xué)到了知識(shí)而且增進(jìn)了友誼.由于實(shí)際情況的約束，小組交流討論不限時(shí)間、不限地點(diǎn)，同學(xué)之間可以自由組合，關(guān)鍵是教師要引導(dǎo)學(xué)生，逐步形成良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，通過(guò)同學(xué)間的互助，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極樂(lè)觀心態(tài).

3.教師斷后歸納點(diǎn)評(píng)。

通過(guò)前兩個(gè)活動(dòng)已有很多學(xué)生把錯(cuò)題解決，但仍然有些學(xué)生存在問(wèn)題，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生先理清解題思路，把解題策略和學(xué)生講清楚，然后每個(gè)環(huán)節(jié)逐個(gè)擊破.在講解時(shí)，可以請(qǐng)學(xué)生走上講臺(tái)，通過(guò)嘗試，發(fā)現(xiàn)學(xué)生講解習(xí)題時(shí)，學(xué)生的反應(yīng)非常積極，偶爾換換角色，讓學(xué)生能得到良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，有效促進(jìn)學(xué)習(xí).

無(wú)論是教師講還是請(qǐng)學(xué)生講解錯(cuò)題，在每道題講完后教師都要“斷后”，引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，特別是錯(cuò)題的原因及一些解此類題型的規(guī)律、方法.教師再出類型題練習(xí)，讓學(xué)生鞏固.這一階段非常重要，檢驗(yàn)學(xué)生理解掌握的程度.在編練習(xí)題時(shí)，一定要抓住知識(shí)點(diǎn)，使題目靈活盡量避免千篇一律.

教師要重視錯(cuò)題資源、及時(shí)把錯(cuò)題整理好.在期中、期末復(fù)習(xí)階段，教師可以在平時(shí)的錯(cuò)題中選擇有典型性的讓學(xué)生做，這樣的復(fù)習(xí)效果比較有針對(duì)性，是“減負(fù)高效”的好辦法.

4.整理收藏反饋提高。

經(jīng)過(guò)上述三個(gè)步驟，學(xué)生能區(qū)分出錯(cuò)題的類型和錯(cuò)因，我要求學(xué)生選取其中典型的錯(cuò)題，收藏錄入“錯(cuò)題本”.要求寫(xiě)出錯(cuò)誤的原因，反思，適當(dāng)配置相應(yīng)的習(xí)題，特別是學(xué)會(huì)歸納出錯(cuò)題中一般性的問(wèn)題，做到錯(cuò)一不二，學(xué)會(huì)舉一反三.

通過(guò)自我整理錯(cuò)題本的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生自我教育的能力，學(xué)會(huì)利用錯(cuò)題資源學(xué)習(xí)，在錯(cuò)題中反饋出學(xué)習(xí)效果，在整理錯(cuò)題的過(guò)程中反饋出知識(shí)查漏補(bǔ)缺的效果，在持續(xù)學(xué)習(xí)中反饋出終身學(xué)習(xí)的目標(biāo).

培養(yǎng)學(xué)生“錯(cuò)題整理反饋”的能力非常重要，但也非常艱難的.學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生會(huì)以此為樂(lè)，中等生以應(yīng)付作業(yè)為己任，后進(jìn)生還停留在正確答案的認(rèn)知過(guò)程中，能糾錯(cuò)就是進(jìn)步，反思就勉為其難.因此我在學(xué)生的要求上也是有區(qū)別的，多指導(dǎo)，多鼓勵(lì)，把這項(xiàng)工作當(dāng)做是一項(xiàng)長(zhǎng)期的目標(biāo)在培養(yǎng)，后文展示部分學(xué)生的“錯(cuò)題本”案例.

三、初中數(shù)學(xué)“錯(cuò)題整理”的典型案例分析

在平時(shí)的日常教學(xué)過(guò)程中，我堅(jiān)持培養(yǎng)學(xué)生的“錯(cuò)題整理反饋”學(xué)習(xí)方式，旨在教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)從錯(cuò)誤中汲取養(yǎng)分，自我教育.

反思：這道題出的很狡猾，就這么挖了兩個(gè)陷阱，而我是很欲哭無(wú)淚地每次都跳下去.首先排除A、B，4是16的算術(shù)平方根，不是8的；16的平方根是±4.

然后看C，沒(méi)什么錯(cuò)的，再看D，也沒(méi)什么錯(cuò)的，我的頭就大了.最后我決定蒙一個(gè)D，結(jié)果錯(cuò)了.在小學(xué)的時(shí)候，-a是沒(méi)有平方根，但中學(xué)學(xué)了負(fù)數(shù)，那么如果a是負(fù)數(shù)、零呢？那-a不就是非負(fù)數(shù)了嗎？不就有平方根了嗎？這道題要特別注意.

數(shù)學(xué)錯(cuò)誤常見(jiàn)類型之一是源自基本概念不清晰，七（上）的學(xué)習(xí)內(nèi)容涉及很多概念，學(xué)生初學(xué)容易混淆，引入負(fù)數(shù)，數(shù)的概念有了一次飛躍，需要學(xué)生在錯(cuò)誤資源上自我認(rèn)知，對(duì)概念正確認(rèn)識(shí).在上述兩個(gè)案例中，學(xué)生回顧解題的過(guò)程，挖掘錯(cuò)誤的根源，配置相應(yīng)的習(xí)題，表現(xiàn)出良好的“錯(cuò)題整理”的能力.初中三年積累的這樣一本“錯(cuò)題本”就是學(xué)習(xí)的貼身保鏢，無(wú)價(jià)的學(xué)習(xí)資料.

經(jīng)過(guò)實(shí)踐，我看到了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自主性有了明顯提高，他們從自己的錯(cuò)題中分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，找到解決此類問(wèn)題的方法，在更多的練習(xí)和反饋中錯(cuò)誤率明顯低了很多.學(xué)生的學(xué)習(xí)能力在點(diǎn)滴之中逐步提高.

以下展示幾位學(xué)生的錯(cuò)題本，這些同學(xué)變錯(cuò)題為資源，視錯(cuò)題為寶貝.

錯(cuò)題本1：小繆學(xué)生的錯(cuò)題本很有特色，就像自己在對(duì)話，很有教育價(jià)值.

學(xué)生就是在這樣點(diǎn)點(diǎn)滴滴的積累中學(xué)會(huì)了學(xué)習(xí)，成為學(xué)習(xí)的主人.

四、初中數(shù)學(xué)“錯(cuò)題整理”的教學(xué)實(shí)效

（一）培養(yǎng)學(xué)習(xí)者創(chuàng)新探究精神.

錯(cuò)題本是一項(xiàng)久久為功的事情，不能期望它立竿見(jiàn)影，但是只要堅(jiān)持下去，肯下此“拙功”，學(xué)生不僅可獲得一本完全針對(duì)自身狀況的學(xué)習(xí)參考資料，更重要的是在整理中提高能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，培養(yǎng)鍥而不舍的求知精神，為以后的學(xué)習(xí)鋪就一條可持續(xù)學(xué)習(xí)之路.從長(zhǎng)遠(yuǎn)看，它還能幫助我們進(jìn)行自我分析和評(píng)價(jià)，親身感受錯(cuò)誤，糾正錯(cuò)誤，努力做到題不二錯(cuò)，培養(yǎng)檢查、補(bǔ)救的習(xí)慣，令自己的學(xué)習(xí)更主動(dòng)、更有效，是從簡(jiǎn)單的“學(xué)會(huì)”到廣泛的“會(huì)學(xué)”的捷徑.

學(xué)習(xí)者在產(chǎn)生數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的過(guò)程中反思探究解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，在不斷嘗試中主動(dòng)獲取知識(shí)，并在此過(guò)程中獲得挫折、質(zhì)疑、自信的體驗(yàn)，逐步養(yǎng)成全方位、多層次、多角度地探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的習(xí)慣，進(jìn)而形成敢于存疑、敢于創(chuàng)新、探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的勇氣.

從學(xué)生的現(xiàn)狀看，成績(jī)比較優(yōu)秀，或者進(jìn)步比較明顯的學(xué)生，都有一本含金量比較高的“錯(cuò)題本”.成績(jī)相對(duì)薄弱的學(xué)生，在編制錯(cuò)題本的時(shí)候一樣困難重重，這是一個(gè)良性循環(huán)的艱難過(guò)程，需要學(xué)生持續(xù)的學(xué)習(xí)意志力，這個(gè)工作需要全體教育工作者共同努力.我校數(shù)學(xué)教研組在數(shù)學(xué)周的活動(dòng)中，舉行了學(xué)生優(yōu)秀作業(yè)和錯(cuò)題本的展覽，目的就是在推廣一種好的、有價(jià)值的學(xué)習(xí)方法，通過(guò)學(xué)生的相互學(xué)習(xí)借鑒，提高學(xué)習(xí)能力.

（二）幫助教育者提高教學(xué)質(zhì)量.

教師借助指導(dǎo)學(xué)生編制錯(cuò)題本，可以對(duì)教學(xué)過(guò)程進(jìn)行反思：是合理性數(shù)學(xué)錯(cuò)誤還是過(guò)程性數(shù)學(xué)錯(cuò)誤，是教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)問(wèn)題還是教學(xué)媒體設(shè)計(jì)問(wèn)題，是教學(xué)方法問(wèn)題還是教學(xué)環(huán)境問(wèn)題.這實(shí)際上是教師對(duì)教學(xué)進(jìn)行自我診斷和治療，從而不斷改進(jìn)教學(xué)，提高教學(xué)的針對(duì)性和有效性——這是教學(xué)智慧的核心所在.

數(shù)學(xué)錯(cuò)誤是一種不可多得的，內(nèi)存于教學(xué)實(shí)踐中，可資利用的優(yōu)質(zhì)教學(xué)資源，相當(dāng)于一位永遠(yuǎn)在堂的評(píng)課導(dǎo)師.恰當(dāng)利用好數(shù)學(xué)錯(cuò)誤資源，極大地改善教學(xué)，促進(jìn)教師的專業(yè)成長(zhǎng).師生在恰當(dāng)利用這些優(yōu)秀學(xué)習(xí)資源的同時(shí)，已經(jīng)潛在地構(gòu)建了高效學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)環(huán)境，這種環(huán)境正是數(shù)學(xué)知識(shí)本身所需要的.

我希望通過(guò)研究和學(xué)習(xí)，在今后的教育教學(xué)實(shí)踐中，培養(yǎng)更多掌握學(xué)習(xí)方法的優(yōu)秀學(xué)生.堅(jiān)信學(xué)生自我教育、自我糾錯(cuò)的力量，堅(jiān)信教育者的最大功能是教育學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，而不僅僅是學(xué)會(huì)知識(shí)本身.

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