基于比力差分測(cè)量的加速度計(jì)溫度誤差補(bǔ)償方法

卓 超，杜建邦

（1. 北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854；2. 宇航智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100854）

基于比力差分測(cè)量的加速度計(jì)溫度誤差補(bǔ)償方法

卓 超1,2，杜建邦1,2

（1. 北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854；2. 宇航智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100854）

針對(duì)溫度變化引起的慣導(dǎo)系統(tǒng)中石英撓性加速度計(jì)測(cè)量誤差，提出了一種基于比力差分測(cè)量的加速度計(jì)溫度誤差補(bǔ)償方法。首先，建立包含溫變速率影響的溫度誤差模型，利用標(biāo)定慣導(dǎo)系統(tǒng)加速度計(jì)參數(shù)時(shí)的溫度作為標(biāo)定參數(shù)溫度基準(zhǔn)。其次，借助不帶轉(zhuǎn)臺(tái)的溫箱對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)行全溫測(cè)試，通過(guò)同一方位前后時(shí)間段加速度計(jì)輸出的差分消除未知的比力真值，只保留由于溫度改變引起的標(biāo)度因數(shù)與零偏變化，通過(guò)多位置觀測(cè)對(duì)這兩項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行最小二乘擬合估計(jì)，獲得對(duì)應(yīng)溫度系數(shù)。該方法不需要溫箱具備高精度定位基準(zhǔn)，能夠?qū)崿F(xiàn)全溫范圍與快速變溫工作條件下溫度誤差的精確建模。試驗(yàn)結(jié)果表明，應(yīng)用該補(bǔ)償方法可使加速度計(jì)測(cè)量精度在全溫范圍內(nèi)保持在10 μg量級(jí)。

石英撓性加速度計(jì)；溫度誤差補(bǔ)償；標(biāo)定參數(shù)；比力差分

石英撓性加速度計(jì)的溫度效應(yīng)誤差是慣導(dǎo)系統(tǒng)的主要誤差源之一，對(duì)其進(jìn)行建模與補(bǔ)償已成為提高導(dǎo)航精度的重要途徑[1]。溫度效應(yīng)誤差的產(chǎn)生是環(huán)境溫度場(chǎng)與內(nèi)部元件發(fā)熱綜合作用的結(jié)果，其形成機(jī)理非常復(fù)雜，很難表示成簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系[2-3]。因此，從系統(tǒng)級(jí)應(yīng)用角度，一般不從原理出發(fā)，而是通過(guò)大量的溫度試驗(yàn)，利用誤差與溫度之間一定的重復(fù)性和規(guī)律性，建立兩者相關(guān)模型，并在系統(tǒng)輸出中予以扣除。

工程中廣泛采用的方法是在某一固定溫度點(diǎn)下，利用帶溫箱的精密轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)行多位置觀測(cè)，標(biāo)定出此溫度下的加速度計(jì)參數(shù)，再在多組溫度下重復(fù)試驗(yàn)，建立相關(guān)參數(shù)隨溫度的變化關(guān)系[4-7]。這類方法由于在不同恒定溫度下試驗(yàn)，只考慮了與絕對(duì)溫度的關(guān)系，故需要保證誤差項(xiàng)與溫度梯度相關(guān)性較小或僅應(yīng)用于緩慢溫變的場(chǎng)合。在另外一些研究中，加速度計(jì)溫度誤差的建模并不追求對(duì)于全溫范圍的適用性，而是關(guān)注系統(tǒng)冷啟動(dòng)升溫過(guò)程中參數(shù)的變化，以縮短準(zhǔn)備時(shí)間，提高響應(yīng)速度。文獻(xiàn)[8]提出了一種不同溫度條件下坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣，利用升溫過(guò)程中多組連續(xù)位置標(biāo)定建立了加速度計(jì)溫度參數(shù)模型。文獻(xiàn)[9]則利用慣導(dǎo)啟動(dòng)過(guò)程，將溫度系數(shù)作為卡爾曼濾波器狀態(tài)量，選取由陀螺輔助提供的不同位置加速度計(jì)比力輸入基準(zhǔn)值作為量測(cè)量，完成對(duì)于溫度系數(shù)的估計(jì)。以上方法都基于一個(gè)共同假設(shè)，即認(rèn)為溫度變化相對(duì)緩慢，在較短時(shí)間內(nèi)是一個(gè)恒定值，因而在此期間不會(huì)引起標(biāo)定參數(shù)的變化。但實(shí)際冷啟動(dòng)過(guò)程是溫升最為快速的階段，這將引入一定誤差；同時(shí)，冷啟動(dòng)過(guò)程包含溫度范圍較窄，這會(huì)影響慣導(dǎo)系統(tǒng)對(duì)于不同環(huán)境的適應(yīng)性。

本文提出了一種基于比力差分測(cè)量的石英撓性加速度計(jì)溫度誤差補(bǔ)償方法，能夠同時(shí)滿足全溫范圍和快速溫變環(huán)境的使用需求。它將常溫下轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定與溫箱溫變?cè)囼?yàn)相結(jié)合，完成了標(biāo)定參數(shù)基準(zhǔn)與溫度誤差項(xiàng)的分離，克服了由于溫箱內(nèi)負(fù)載臺(tái)面缺乏定位精度引起的標(biāo)度因數(shù)與零偏誤差的耦合。利用本文方法，只需一般標(biāo)定轉(zhuǎn)臺(tái)和普通溫箱即可完成加速度計(jì)溫度誤差的精確建模。

1 加速度計(jì)溫度誤差模型

將慣導(dǎo)系統(tǒng)在室溫環(huán)境下充分預(yù)熱，待其溫度達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，利用轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定出石英撓性加速度計(jì)的標(biāo)度因數(shù)K0和零偏?0作為標(biāo)定參數(shù)基準(zhǔn)。設(shè)加速度計(jì)穩(wěn)定點(diǎn)溫度為T0，以此為基準(zhǔn)溫度，則加速度計(jì)理想比力輸出fap表示為

式中：加速度計(jì)所處方位記為上標(biāo)p；N0p表示恒溫T0時(shí)加速度計(jì)脈沖輸出。

當(dāng)溫度變化為T時(shí)，對(duì)于相同方位，加速度計(jì)比力輸出應(yīng)為

式中：KT與?T為溫度T時(shí)的標(biāo)度因數(shù)與零偏；是溫度為T，位置為p時(shí)加速度計(jì)脈沖輸出。對(duì)于同一方位，由于重力分量相同，加速度計(jì)比力測(cè)量應(yīng)保持不變，故：

采用多項(xiàng)式建立標(biāo)度因數(shù)與零偏隨溫度變化的誤差模型，并考慮溫變速率的影響，如下所示：

式中：K0與?0是在基準(zhǔn)溫度T0下，經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)臺(tái)精確標(biāo)定的加速度計(jì)標(biāo)度因數(shù)與零偏；Km與?m為標(biāo)度因數(shù)與零偏偏離基準(zhǔn)溫度的相對(duì)溫度系數(shù)；K～n、?～n則為溫度變化率系數(shù)。多項(xiàng)式的階數(shù)可以根據(jù)補(bǔ)償效果進(jìn)行選取。K0與?0由轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定得到，其余溫度系數(shù)則通過(guò)溫箱溫度試驗(yàn)獲取，由此即可完成標(biāo)定參數(shù)基準(zhǔn)與溫度誤差項(xiàng)的分離。

2 基于比力差分測(cè)量的加速度計(jì)補(bǔ)償方法

當(dāng)石英撓性加速度計(jì)完成常溫下轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定后，將慣導(dǎo)系統(tǒng)放入溫箱進(jìn)行溫度循環(huán)試驗(yàn)。由于負(fù)載臺(tái)面定位精度不高，溫度變化引起的標(biāo)度因數(shù)與零偏誤差將會(huì)耦合在一起，共同作用產(chǎn)生加速度計(jì)溫度效應(yīng)誤差，使得其所處方位的重力分量無(wú)法通過(guò)直接測(cè)量獲得。但在此過(guò)程中，對(duì)于固定方位，重力分量大小始終保持不變，因此可以采用前后等時(shí)間段比力差分的方法消除無(wú)法精確測(cè)量的加速度計(jì)比力輸出，而只保留由于溫度改變而引起的標(biāo)度因數(shù)與零偏變化，之后同時(shí)對(duì)這兩部分進(jìn)行最小二乘擬合估計(jì)，從而獲得相應(yīng)溫度系數(shù)。

通過(guò)調(diào)整慣導(dǎo)位置，依次改變各軸加速度計(jì)方位，并對(duì)每一方位進(jìn)行溫度循環(huán)試驗(yàn)。由于各軸求解方法相同，這里以X軸加速度計(jì)為例進(jìn)行說(shuō)明。取對(duì)應(yīng)處于方位p的X軸加速度計(jì)溫度試驗(yàn)中偶數(shù)個(gè)輸出脈沖序列，記為，其中2n為采樣p點(diǎn)總數(shù)。設(shè)Tip表示第i個(gè)采樣時(shí)刻位于方位p的加速度計(jì)溫度值（i=1～2np），則根據(jù)式(2)，加速度計(jì)比力測(cè)量集合可表示為

式中：

將公式(4)代入，可得：

如果忽略由于溫度改變所引起的安裝誤差角變化，根據(jù)公式(3)知，，從而可以對(duì)相同方位前后兩時(shí)間段進(jìn)行差分去除由于負(fù)載臺(tái)面定位精度不高而未知的重力分量，整理后可得：

實(shí)際上可以利用同一方位任意兩個(gè)時(shí)刻的比力測(cè)量進(jìn)行相減。采用前后時(shí)間段差分的目的是為了最大限度的延長(zhǎng)采樣窗的長(zhǎng)度，有利于濾除噪聲，同時(shí)等時(shí)間間隔，保證了噪聲衰減的一致性。

其中最右邊等號(hào)內(nèi)部的中括號(hào)表示行向量。當(dāng)未加入溫度補(bǔ)償時(shí)，含有溫度效應(yīng)誤差的加速度計(jì)測(cè)量輸出為，故等式左邊用于估計(jì)溫度系數(shù)的觀測(cè)量實(shí)際為它完全由溫度誤差導(dǎo)致的差模增量引起。當(dāng)加速度計(jì)處于垂直方位時(shí)，F(xiàn)p中由標(biāo)度因數(shù)所引起的分量較大，會(huì)影響對(duì)于零偏系數(shù)的估計(jì)，需要引入水平方位，以提高溫度系數(shù)的估計(jì)精度。因而綜合考慮多個(gè)位置，設(shè)方位總數(shù)為sp。對(duì)于X軸加速度計(jì)，可得：

由此可利用最小二乘方法求解溫度系數(shù)為

3 試驗(yàn)設(shè)計(jì)及數(shù)據(jù)預(yù)處理

3.1 轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定試驗(yàn)

將慣導(dǎo)系統(tǒng)安裝在三軸轉(zhuǎn)臺(tái)上充分預(yù)熱，使其達(dá)到溫度平衡。之后利用分立“六位置法”標(biāo)定加速度計(jì)參數(shù)基準(zhǔn)[10]，每個(gè)位置靜態(tài)測(cè)量5 min。在標(biāo)定過(guò)程中，各加速度計(jì)溫度變化如圖1所示，可以看到，即使慣導(dǎo)經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的預(yù)熱，標(biāo)定過(guò)程中，位置改變引起的擾動(dòng)仍然會(huì)導(dǎo)致加速度計(jì)溫度發(fā)生變化，其波動(dòng)的最大幅值小于0.3℃，這一微小改變并不會(huì)引入明顯誤差（見(jiàn)后面分析）。利用各靜態(tài)位置的溫度平均值作為基準(zhǔn)溫度T0，表1給出了基準(zhǔn)溫度與標(biāo)定參數(shù)基準(zhǔn)的計(jì)算結(jié)果。

圖1 標(biāo)定過(guò)程中加速度計(jì)溫度變化Fig.1 Temperatures of accelerometer during calibration

表1 加速度計(jì)基準(zhǔn)溫度與標(biāo)定參數(shù)基準(zhǔn)Tab.1 References of temperature and calibration parameters for accelerometers

3.2 溫度循環(huán)試驗(yàn)

針對(duì)本系列慣導(dǎo)系統(tǒng)的實(shí)際工作環(huán)境溫度需求，溫箱溫度循環(huán)范圍設(shè)置為0～40℃，升降溫速率設(shè)定為1℃/min，以常溫開(kāi)機(jī)時(shí)溫箱顯示溫度作為起始溫度。由于加速度計(jì)位于慣導(dǎo)殼體內(nèi)，其溫度達(dá)到穩(wěn)態(tài)需要較長(zhǎng)時(shí)間，因此選擇起始溫度保持4 h，低溫與高溫各保持5 h，溫箱溫度試驗(yàn)曲線設(shè)置如圖2所示。

為提高溫度系數(shù)估計(jì)精度，可同時(shí)考慮垂直方位與水平方位。當(dāng)綜合考慮6個(gè)位置時(shí)，加速度計(jì)方位觀測(cè)集合列于表2（由于溫箱負(fù)載臺(tái)面定位精度不高，只需朝向大致方位即可）。

圖2 溫箱溫度試驗(yàn)曲線設(shè)置示意圖Fig.2 Applied temperature profile of the climate chamber

表2 加速度計(jì)溫度系數(shù)估計(jì)六方位觀測(cè)集合Tab.2 Six observing positions for estimating the accelerometer temperature coefficients

3.3 數(shù)據(jù)預(yù)處理

由于誤差建模中考慮了溫變速率的影響，會(huì)對(duì)測(cè)溫傳感器噪聲起到放大作用，同時(shí)加速度計(jì)原始輸出噪聲也會(huì)降低參數(shù)擬合精度，故需要對(duì)兩者進(jìn)行適當(dāng)平滑。圖3以方位p=1，X軸加速度計(jì)為例展示了加速度計(jì)比力與溫度測(cè)量平滑效果。

圖3 加速度與溫度平滑效果Fig.3 Smoothing results of accelerometers and temperature

由圖3可以看到，溫度的改變引起了加速度計(jì)輸出發(fā)生變化，產(chǎn)生了溫度效應(yīng)誤差。它是由標(biāo)度因數(shù)與零偏漂移共同作用產(chǎn)生，這一點(diǎn)可通過(guò)前后時(shí)間差分觀測(cè)量Yp做進(jìn)一步闡釋。由式(10)，Yp包含標(biāo)度因數(shù)溫度變化δKp與零偏溫度變化δpΔ兩部分，可以表示為Yp=δKp+δΔp。以X軸加速度計(jì)為例，對(duì)于不同方位p，由于溫度循環(huán)曲線設(shè)置大致相同，溫度系數(shù)的變化幾乎相當(dāng)。當(dāng)p=1，X軸天向放置時(shí)，有 Y1=δK+δΔ；當(dāng) p=3，X軸處于水平時(shí)，零偏變化起主要作用，故Y3≈δΔ；對(duì)于p=2，X軸朝下，有Y2≈-δK+δΔ，故可推出Y3≈（Y1+Y2）/2。以上關(guān)系可通過(guò)圖4中黑色虛線與紅色粗實(shí)線幾乎重合加以驗(yàn)證，進(jìn)而綜合曲線Y1、Y2、Y3可知，溫度引起的零偏變化與標(biāo)度因數(shù)變化大致各占一半。因此當(dāng)X軸朝下時(shí)，零偏變化與標(biāo)度因數(shù)變化相互抵消，只產(chǎn)生很小的輸出誤差（Y2綠色點(diǎn)劃線）。

圖4 X軸加速度計(jì)前后時(shí)間差分觀測(cè)量Fig.4 Differential observables between pre and post time for X-axis accelerometer

4 加速度計(jì)溫度誤差補(bǔ)償效果及分析

4.1 全溫范圍溫度誤差補(bǔ)償效果驗(yàn)證

通過(guò)試驗(yàn)選取相對(duì)溫度系數(shù)階數(shù)為 3，溫度變化率系數(shù)階數(shù)為2，利用多位置觀測(cè)進(jìn)行最小二乘估計(jì)，獲得全部溫度系數(shù)。由于系數(shù)較多，只將X軸溫度系數(shù)列于表3。

表3 X軸加速度計(jì)溫度系數(shù)Tab.3 Temperature coefficients of X-axis accelerator

全溫范圍的溫度誤差補(bǔ)償效果以各軸典型方位（天向、地向和水平方向）為例加以說(shuō)明，由于綜合考慮了絕對(duì)溫度與溫變速率的影響，誤差建模可以達(dá)到很高的精度。補(bǔ)償前后的效果如圖5所示。

加速度計(jì)比力輸出10 s的標(biāo)準(zhǔn)差（1σ）見(jiàn)表4。經(jīng)溫度誤差補(bǔ)償后，全溫范圍測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差減小至10-5g量級(jí)，且對(duì)不同加速度計(jì)各方位具有一致的補(bǔ)償結(jié)果。

圖5 加速度計(jì)全溫范圍溫度誤差補(bǔ)償效果Fig.5 Thermal error compensation results of accelerometers in full temperature range

表4 全溫范圍補(bǔ)償前后加速度計(jì)輸出標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)比Tab.4 Comparison on standard deviation of accelerometer outputs before and after compensation in full-temperature range

4.2 慣導(dǎo)系統(tǒng)冷啟動(dòng)溫度誤差補(bǔ)償效果驗(yàn)證

由于溫箱試驗(yàn)環(huán)境與實(shí)際導(dǎo)航系統(tǒng)工作環(huán)境存在差異，因此需要利用實(shí)際的慣導(dǎo)工作過(guò)程對(duì)通過(guò)溫度試驗(yàn)獲得的補(bǔ)償模型進(jìn)行檢驗(yàn)。這里利用3.1節(jié)轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定之前慣導(dǎo)系統(tǒng)預(yù)熱數(shù)據(jù)進(jìn)行溫度補(bǔ)償驗(yàn)證，效果如圖6所示。圖6中加速度計(jì)溫度緩慢上升并逐漸穩(wěn)定至基準(zhǔn)溫度，標(biāo)定參數(shù)也趨近于K0和0?，故補(bǔ)償前的比力測(cè)量曲線將與補(bǔ)償后曲線漸漸重合，并穩(wěn)定于標(biāo)定基準(zhǔn)點(diǎn)處，由此說(shuō)明了補(bǔ)償模型的正確性。

將慣導(dǎo)固定于傾斜狀態(tài)（與水平面夾角約45°），利用啟動(dòng)過(guò)程進(jìn)一步驗(yàn)證非垂直狀態(tài)下的補(bǔ)償效果。

圖6 加速度計(jì)冷啟動(dòng)溫度誤差補(bǔ)償效果Fig.6 Thermal error compensation results of accelerometers during after-power-on process

從表5可知，補(bǔ)償后三軸加速度計(jì)輸出10 s的標(biāo)準(zhǔn)差(1σ)均小于10 μg，證明了標(biāo)度因數(shù)與零偏溫度誤差分離的有效性。圖7中補(bǔ)償前后輸出曲線不重合是由于環(huán)境溫度與標(biāo)定基準(zhǔn)參數(shù)時(shí)不同，標(biāo)定參數(shù)不再是K0和0?，因而加速度計(jì)溫度模型對(duì)這一誤差進(jìn)行了修正。

圖7 加速度計(jì)傾斜放置時(shí)補(bǔ)償效果Fig.7 Compensation results of accelerometers when tilting placed

表5 傾斜放置時(shí)，補(bǔ)償前后加速度計(jì)輸出標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)比Tab.5 Comparison on standard deviations of accelerometer outputs before and after compensation when tilting placed

即使經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間預(yù)熱，在標(biāo)定參數(shù)過(guò)程中，加速度計(jì)溫度仍會(huì)發(fā)生變化，此時(shí)的基準(zhǔn)溫度T0采用的是各靜態(tài)位置平均溫度，這將引入一定誤差。假設(shè)實(shí)際溫度偏離基準(zhǔn)溫度不超過(guò)±0.5℃，由此產(chǎn)生的比力輸出誤差如圖8所示。

由圖8可見(jiàn)，X方向的誤差最大，但在±0.25℃范圍內(nèi)，誤差不超過(guò)10 μg。而實(shí)際標(biāo)定過(guò)程中，溫度波動(dòng)峰值小于0.3℃，標(biāo)準(zhǔn)差只有0.03℃，這一微小變化將不會(huì)對(duì)補(bǔ)償結(jié)果產(chǎn)生顯著影響。

圖8 偏離基準(zhǔn)溫度所產(chǎn)生誤差Fig.8 Error caused by deviation from reference temperature

5 結(jié) 論

為降低溫度效應(yīng)對(duì)于加速度計(jì)測(cè)量精度的影響，提出了基于比力差分測(cè)量的加速度計(jì)溫度誤差補(bǔ)償方法。該方法只需一般標(biāo)定轉(zhuǎn)臺(tái)和普通溫箱即可完成加速度計(jì)溫度誤差的精確建模。試驗(yàn)結(jié)果表明，加速度計(jì)測(cè)量精度在全溫及冷啟動(dòng)條件下都得到了顯著提高，這對(duì)于提高慣導(dǎo)系統(tǒng)在不同溫度環(huán)境的適用性具有工程參考價(jià)值。

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Thermal error compensation algorithm for accelerometers based on differential measurement of specific force

ZHUO Chao1,2, DU Jian-bang1,2
(1. Beijing Aerospace Automatic Control Institute, Beijing 100854, China; 2. National Key Laboratory of Science and Technology on Aerospace Intelligent Control, Beijing 100854, China)

In view of the thermal measurement error of the quartz flexible accelerometers in the inertial navigation system, a thermal error compensation algorithm is proposed for accelerometers based on differential measurement of specific force. A temperature error model is established by taking into account the effect of the temperature’s varying rate and using the temperature when calibrating the accelerometer parameters as the reference. Thermal experiments are carried out in a climate chamber without turntable, and the accelerometer’s outputs of the pre and post time segments in the same location is differentiated in order to eliminate the unknown true values of the specific force and preserve the temperature-caused variations of the scale factors and biases. Based on these, the thermal coefficients are obtained by using the least square estimation via multi- position observation. The proposed method does not need the chamber to have high-accuracy positioning reference, and can realize high-accuracy modeling in full temperature range under the working condition with rapid temperature changing. Experiment results illustrate that the proposed method can have the measurement precision of the accelerometers maintain at the level of 10 μg in full temperature range.

quartz flexible accelerometer; temperature error compensation; calibration parameters; specific force difference

U666.1

：A

2016-09-23；

：2016-11-26

卓超（1988—），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)與控制。E-mail: ngjyzc@126.com

1005-6734(2016)06-0821-07

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.06.022