花文華，張擁軍，張金鵬,2，孟慶齡

（1. 中國空空導(dǎo)彈研究院，洛陽 471009；2. 航空制導(dǎo)武器航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，洛陽 471009）

雙導(dǎo)彈攔截角度協(xié)同的微分對策制導(dǎo)律

花文華1，張擁軍1，張金鵬1,2，孟慶齡1

（1. 中國空空導(dǎo)彈研究院，洛陽 471009；2. 航空制導(dǎo)武器航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，洛陽 471009）

為提高命中高價(jià)值目標(biāo)的概率，基于線性二次型微分對策理論，對兩枚導(dǎo)彈協(xié)同攔截單個(gè)目標(biāo)的制導(dǎo)律進(jìn)行了研究。單枚導(dǎo)彈在最小化自身脫靶量的同時(shí)，與另一枚導(dǎo)彈實(shí)現(xiàn)攔截角度上的協(xié)同，從而構(gòu)成特定的攔截態(tài)勢，以提高攔截機(jī)動目標(biāo)的性能和末制導(dǎo)尾端對目標(biāo)的可觀測性。所推導(dǎo)的微分對策制導(dǎo)律考慮到了對策三方的控制系統(tǒng)動態(tài)，且具有解析解，形式上為零控脫靶量和零控協(xié)同攔截角誤差的線性組合。基于推導(dǎo)結(jié)果完成了微分對策制導(dǎo)律的制導(dǎo)增益和對策空間分析，給出了鞍點(diǎn)解的存在條件，并進(jìn)行了分析。非線性系統(tǒng)仿真結(jié)果表明由于導(dǎo)彈間存在顯式的協(xié)同關(guān)系，攔截目標(biāo)所需的加速度較低，且在設(shè)定的協(xié)同攔截角度收斂后，加速度會進(jìn)一步減小。

末制導(dǎo)律；微分對策；協(xié)同制導(dǎo)；目標(biāo)攔截

多導(dǎo)彈協(xié)同易于構(gòu)建更加有利的目標(biāo)攔截態(tài)勢，從而改進(jìn)制導(dǎo)性能并降低控制量要求；多彈協(xié)同也可用于飽和目標(biāo)防御，限制目標(biāo)機(jī)動概率，誘騙目標(biāo)和增強(qiáng)對目標(biāo)的可觀測性等方面[1-3]。導(dǎo)彈協(xié)同方式主要包括隱式和顯式兩種：隱式協(xié)同中各導(dǎo)彈是彼此獨(dú)立的，一種典型情況是多個(gè)導(dǎo)彈以不同的終端碰撞角度攔截目標(biāo)[4-7]，從而飽和目標(biāo)防御；而顯式協(xié)同則不同，各導(dǎo)彈的彈道是相關(guān)的，并圍繞著期望的協(xié)同關(guān)系飛行，這一關(guān)系可以為飛行時(shí)間[8-9]或其他終端約束，如攔截角度等。顯示協(xié)同由于考慮到了導(dǎo)彈彼此間的彈道關(guān)系，可以獲得更好的制導(dǎo)性能。文獻(xiàn)[10]針對兩枚導(dǎo)彈與單個(gè)目標(biāo)的線性二次型非零和微分對策問題進(jìn)行了研究，當(dāng)單枚導(dǎo)彈的脫靶量小于另一枚導(dǎo)彈時(shí)，開始執(zhí)行二對一的對抗策略直到兩枚導(dǎo)彈的脫靶量相等。文獻(xiàn)[9]給出了一種多彈攻擊時(shí)間顯式協(xié)同的制導(dǎo)律，是比例導(dǎo)引的一種衍生形式，實(shí)現(xiàn)了多彈對地面固定目標(biāo)的同時(shí)攻擊，但不適用于運(yùn)動目標(biāo)和機(jī)動目標(biāo)的情況。

本文基于線性二次型微分對策理論，提出一種雙導(dǎo)彈攔截角度和脫靶量顯式協(xié)同的微分對策制導(dǎo)律。

1 問題描述與建模

制導(dǎo)末端兩枚導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對運(yùn)動關(guān)系如圖 1所示，XI-O-ZI為笛卡爾慣性坐標(biāo)系，下標(biāo)P、E分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的相關(guān)狀態(tài)，數(shù)字1和2對應(yīng)導(dǎo)彈1和導(dǎo)彈2。圖1中z表示導(dǎo)彈和目標(biāo)之間的相對位移，λ為視線角，導(dǎo)彈航向角采用γ表示，若導(dǎo)彈和目標(biāo)保持速度不變，則兩枚導(dǎo)彈攔截方向的夾角為 γ2-γ1，aP1、aP2和aE分別為導(dǎo)彈1、導(dǎo)彈2和目標(biāo)的加速度?；谙率黾僭O(shè)進(jìn)行問題的分析：

1) 導(dǎo)彈和目標(biāo)可視為質(zhì)點(diǎn)，近似具有一階控制系統(tǒng)動態(tài)特性；

2) 導(dǎo)彈和目標(biāo)速度大小不變，前者機(jī)動能力大于后者；

3) 導(dǎo)彈和目標(biāo)間的相對運(yùn)動關(guān)系可沿初始視線方向進(jìn)行線性化。

文獻(xiàn)[11]驗(yàn)證了末制導(dǎo)段線性化假設(shè)在機(jī)動目標(biāo)攔截上的有效性和可行性，本文還將通過非線性系統(tǒng)仿真對基于上述假設(shè)的推導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

圖1 平面彈目相對運(yùn)動關(guān)系Fig.1 Planar engagement geometry

式(1)中：

τP1、τP2和 τE分別為導(dǎo)彈1、導(dǎo)彈2和目標(biāo)的一階控制系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)，uP1、uP2和uE為對應(yīng)的控制指令。

基于假設(shè)2)和假設(shè)3)，導(dǎo)彈的飛行時(shí)間近似為

式(2)中：ρ0為彈目初始距離，Vc為彈目接近速度。則剩余飛行時(shí)間可表示為

式(3)中：t表示當(dāng)前時(shí)間。由于未對剩余飛行時(shí)間進(jìn)行協(xié)同設(shè)計(jì)，兩枚導(dǎo)彈在攔截目標(biāo)的過程中總是存在飛行時(shí)間差，假設(shè)tgo1＜tgo2，導(dǎo)彈1在滿足式(4)所示的條件后，認(rèn)為攔截目標(biāo)的任務(wù)結(jié)束：

2 協(xié)同微分對策制導(dǎo)律

2.1 性能指標(biāo)定義和系統(tǒng)降階

近年來，微分對策理論應(yīng)用于機(jī)動目標(biāo)攔截方面得到了較為深入的研究[12-16]。對策雙方分別追求性能指標(biāo)的最大化和最小化，微分對策制導(dǎo)律相比最優(yōu)制導(dǎo)律對目標(biāo)機(jī)動形式及加速度估計(jì)誤差魯棒性更強(qiáng)。

定義線性二次型性能指標(biāo)為

式(6)中：α1,α2,β,η,ηE＞0為加權(quán)設(shè)計(jì)參數(shù)。α1,α2→∞表示完全攔截情形，脫靶量趨于零；α1,α2＜∞時(shí)脫靶量為有限非零值；α2,β,η→0時(shí)則轉(zhuǎn)化為導(dǎo)彈1和目標(biāo)間的微分對策問題；η和ηE分別表征了導(dǎo)彈2和目標(biāo)相對于導(dǎo)彈1的機(jī)動能力，當(dāng)其機(jī)動能力較強(qiáng)時(shí)，η和ηE取較小值，ηE→∞則表示攔截非機(jī)動目標(biāo)的情形，由假設(shè)2)，ηE＞1。σ為設(shè)計(jì)的兩枚導(dǎo)彈攔截方向的夾角，用于攔截角度的協(xié)同。

求解系統(tǒng)方程(1)所對應(yīng)的奇次微分方程，并經(jīng)進(jìn)一步整理可以得到：

式(7)中：

Φ(tf,t )為系統(tǒng)(1)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；zP1、zP2和zγ表征了導(dǎo)彈和目標(biāo)由時(shí)間t起零控，并保持該時(shí)刻的參數(shù)飛行至攔截結(jié)束時(shí)的脫靶量和協(xié)同攔截角度，分別為導(dǎo)彈1的零控脫靶量、導(dǎo)彈2的零控脫靶量和二者的零控協(xié)同攔截角。

由式(7)可以得到：

則可以將性能指標(biāo)式(6)轉(zhuǎn)化為以下形式：

對式(7)兩邊關(guān)于時(shí)間t微分，經(jīng)進(jìn)一步整理可以得到：

2.2 微分對策制導(dǎo)律推導(dǎo)

基于降階后的系統(tǒng)(12)和性能指標(biāo)(11)進(jìn)行攔截角度協(xié)同微分對策制導(dǎo)律的推導(dǎo)。構(gòu)造哈密頓函數(shù)如式(13)所示：

式(13)中： λ1、 λ2和 λγ為待定的拉格朗日乘子。

進(jìn)一步結(jié)合協(xié)態(tài)方程和橫截條件可以求得：

則基于上述條件可以得到導(dǎo)彈1、導(dǎo)彈2和目標(biāo)的最優(yōu)制導(dǎo)或規(guī)避策略為

式(15)～(17)是關(guān)于末端時(shí)刻狀態(tài)的表達(dá)形式，需要進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)才能夠用于執(zhí)行。將式(15)～(17)代入式(10)，可以得到三個(gè)耦合的微分方程，進(jìn)行積分求解，則末端時(shí)刻狀態(tài)可表示為

式中：

滿足：

式(22)～(24)中函數(shù)φ和φ如式(8)和式(9)所示。

將式(18)～(20)帶入式(15)～(17)，則導(dǎo)彈1、導(dǎo)彈2和目標(biāo)的最優(yōu)制導(dǎo)策略可表示為

式(25)～(27)為導(dǎo)彈1和導(dǎo)彈2零控脫靶量和零控協(xié)同攔截角誤差的線性組合，其中分別為相應(yīng)的制導(dǎo)增益，且滿足：

2.3 制導(dǎo)增益分析

當(dāng)β→0時(shí)，導(dǎo)彈1和導(dǎo)彈2不再存在攔截角度協(xié)同上的約束，僅實(shí)現(xiàn)脫靶量上的協(xié)同，此時(shí)對策三方的制導(dǎo)增益為

該無攔截角度協(xié)同的雙方微分對策制導(dǎo)律在結(jié)構(gòu)上是與文獻(xiàn)[2]相類似的，只是在對策關(guān)系上，導(dǎo)彈1是與導(dǎo)彈2協(xié)同于目標(biāo)攔截，而不是與載機(jī)協(xié)同，以保護(hù)載機(jī)的安全。

當(dāng)β,η,a2→0時(shí)，則轉(zhuǎn)化為導(dǎo)彈1與目標(biāo)兩者之間典型的線性二次型微分對策問題，此時(shí)的制導(dǎo)增益為

2.4 對策空間分析

對于零和微分對策問題，不存在共軛點(diǎn)的充分條件是具有鞍點(diǎn)解，而鞍點(diǎn)解當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)(10)所對應(yīng)的Riccati微分方程(36)的解是有限時(shí)存在[17]。

式(37)經(jīng)進(jìn)一步整理可以得到：

式(38)中：

圖2給出了不同η值下，ηE隨剩余飛行時(shí)間tgo的分布曲線，假設(shè)導(dǎo)彈1與導(dǎo)彈2速度和控制系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)相同，剩余飛行時(shí)間近似相等。從圖2中可以看出：ηE＞0，滿足微分對策線性二次型性能指標(biāo)中目標(biāo)控制指令加權(quán)參數(shù)正定的條件；同時(shí)，當(dāng)tgo足夠大時(shí)，ηE趨于常值，且該常值大于η。在導(dǎo)彈1控制量一定的條件下，導(dǎo)彈2為實(shí)現(xiàn)與導(dǎo)彈1之間的協(xié)同，在tgo較大時(shí)，所需的控制量大于目標(biāo)，而在末制導(dǎo)尾端，所要求的控制量則低于目標(biāo)，因此協(xié)同情況下對擊中目標(biāo)更為有利。

圖2 不同η下的Eη分布曲線Fig.2 Distribution of Eη with differentη

3 仿真結(jié)果及分析

雙導(dǎo)彈攔截角度協(xié)同制導(dǎo)律的推導(dǎo)基于末制導(dǎo)線性化假設(shè)，為充分驗(yàn)證制導(dǎo)律的性能，針對非線性平面相對運(yùn)動關(guān)系進(jìn)行了仿真和分析。仿真中模擬兩枚導(dǎo)彈由同一武器系統(tǒng)同時(shí)發(fā)射，即初始位置相同，對于兩枚導(dǎo)彈初始位于不同空間位置的情況，所推導(dǎo)的協(xié)同制導(dǎo)律同樣適用。仿真中取導(dǎo)彈飛行速度VP1= VP2=500m/s ，目標(biāo)飛行速度VE=300m/s ，控制系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)τP1=τP2=0.2s，τE=0.3s ，α1=α2=105，β=108，η=1，ηE=10，兩枚導(dǎo)彈的協(xié)同攔截角度σ=45°。假設(shè)目標(biāo)機(jī)動為“bang-bang”類型，且僅具有一次隨機(jī)時(shí)間切換[13-16]，最大機(jī)動能力為5g，所得仿真結(jié)果如圖3～10所示。

圖3和圖4為初始位置相同的兩枚導(dǎo)彈在協(xié)同情況下和非協(xié)同情況下攔截非機(jī)動目標(biāo)的飛行彈道。在非協(xié)同情況下，導(dǎo)彈采用的制導(dǎo)增益和零控脫靶量分別如式(34)和式(7)所示。圖3中由于導(dǎo)彈1剩余飛行時(shí)間大于導(dǎo)彈2，在攔截角度上更多的協(xié)同導(dǎo)彈1，彈道更加彎曲，所需的加速度也相對較大。圖5給出了協(xié)同情況下兩枚導(dǎo)彈的加速度曲線。圖6為兩枚導(dǎo)彈的協(xié)同攔截角度，在達(dá)到設(shè)定值45°后，導(dǎo)彈加速度也隨之減少。

圖7和圖8為兩枚導(dǎo)彈協(xié)同攔截機(jī)動目標(biāo)的飛行彈道。協(xié)同攔截角度的設(shè)計(jì)有利于兩枚導(dǎo)彈構(gòu)成特定的攔截態(tài)勢，如鉗形，對于機(jī)動目標(biāo)的攔截有利，也增強(qiáng)了末制導(dǎo)尾端對目標(biāo)的可觀測性。由于兩枚導(dǎo)彈之間存在協(xié)同攔截關(guān)系，所需的加速度較低，最大值與攔截非機(jī)動目標(biāo)的情況相當(dāng)，且在構(gòu)成設(shè)定的協(xié)同攔截態(tài)勢后，需用加速度逐步減少到目標(biāo)最大機(jī)動能力的2倍以內(nèi)，如圖9所示。圖10給出了攔截機(jī)動目標(biāo)情況下的協(xié)同攔截角度，滿足了設(shè)計(jì)要求。

圖3 飛行彈道，非機(jī)動目標(biāo)，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.3 Flight trajectory, non-maneuvering target, and cooperation between missiles

圖4 飛行彈道，非機(jī)動目標(biāo)，彈間無協(xié)同F(xiàn)ig.4 Flight trajectory, non-maneuvering target, and non-cooperation between missiles

圖5 導(dǎo)彈加速度，非機(jī)動目標(biāo)，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.5 Missile acceleration, non-maneuvering target, and cooperation between missiles

圖6 兩枚導(dǎo)彈的協(xié)同攔截角度，非機(jī)動目標(biāo)，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.6 Cooperative attacking angle between two missiles, non-maneuvering target, and cooperation between missiles

圖7 飛行彈道，機(jī)動目標(biāo)，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.7 Flight trajectory, maneuvering target, and cooperation between missiles

圖8 飛行彈道，機(jī)動目標(biāo)，彈間無協(xié)同F(xiàn)ig.8 Flight trajectory, maneuvering target, and non-cooperation between missiles

圖9 導(dǎo)彈加速度，機(jī)動目標(biāo)，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.9 Missile acceleration, maneuvering target, and cooperation between missiles

圖10 兩枚導(dǎo)彈的協(xié)同攔截角度，機(jī)動目標(biāo)，彈間協(xié)同F(xiàn)ig.10 Cooperated attacking angle between two missiles, maneuvering target, and cooperative missiles

4 結(jié) 論

針對兩枚導(dǎo)彈協(xié)同攔截單個(gè)目標(biāo)的攔截情形進(jìn)行了微分對策制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)，單枚導(dǎo)彈在減少脫靶量的同時(shí)，與另一枚導(dǎo)彈在攔截態(tài)勢上構(gòu)成角度上的協(xié)同關(guān)系。非線性仿真結(jié)果表明，由于可構(gòu)成特定的攔截態(tài)勢，所推導(dǎo)的微分對策制導(dǎo)律更加有利于機(jī)動目標(biāo)的攔截，且由于導(dǎo)彈之間存在協(xié)同關(guān)系，對加速度的需求較低，而攔截角度協(xié)同也增強(qiáng)了末制導(dǎo)尾端對目標(biāo)的可觀測性。本文基于線性二次型微分對策理論進(jìn)行三方微分對策制導(dǎo)律的推導(dǎo)，設(shè)計(jì)方法同樣適用于更多枚導(dǎo)彈協(xié)同攔截單個(gè)目標(biāo)的情況。

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Differential game guidance law for double missiles with cooperative intercept angle

HUA Wen-hua1, ZHANG Yong-jun1, ZHANG Jin-peng1,2, MENG Qing-ling1
(1. China Airborne Missile Academy, Luoyang 471009, China; 2. Aviation Key Laboratory of Science and Technology on Airborne Guided Weapons, Luoyang 471009, China)

To improve the kill probability of high-value targets, the guidance law for intercepting a single target by double missiles is studied based on the linear quadratic differential game theory. Each missile attempts to minimize its expected miss distance while also imposes a cooperation attacking angle relative to the other missiles to construct a specific attacking scenario for improving the agile maneuvering target interception and target observability in the end-game phase. The derived differential game guidance law takes into account of the control system dynamics of the game’s three-sides and has closed-form analytic solutions. The solutions are linear combination of zero-effort miss distance and zero-effort cooperative intercept angle error. The guidance gains and differential game space are also analyzed, and the existence condition of the saddle point solution is given. Nonlinear simulations are carried out, and the simulation results show that the acceleration requirements of the missiles are low thanks to the cooperation between the double missiles, and the required accelerations can be further reduced after the designed cooperation attacking angles are converged.

terminal guidance; differential game; cooperation guidance; target interception

V448.133

：A

2016-07-27；

：2016-11-18

航空科學(xué)基金項(xiàng)目（2015ZC12006）

花文華（1983—），男，高級工程師，博士，主要研究方向?yàn)轱w行器制導(dǎo)與控制。E-mail: huawh6611@163.com

1005-6734(2016)06-0838-07

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.06.025