（莆田市秀嶼區(qū)笏石中心小學(xué)，福建莆田351146）

把握數(shù)學(xué)本質(zhì)讓思考改變課堂

徐志鋒

（莆田市秀嶼區(qū)笏石中心小學(xué)，福建莆田351146）

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心是數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)問題決定數(shù)學(xué)思考的質(zhì)量，影響學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的掌握。有效的數(shù)學(xué)思考是把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的關(guān)鍵。本文就從數(shù)學(xué)思考如何改變課堂的角度進行闡述，以數(shù)學(xué)問題引領(lǐng)思考，以數(shù)學(xué)思想影響思維，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓數(shù)學(xué)思考改變課堂教學(xué)。

本質(zhì)；思考；思想；素養(yǎng)

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維的符號語言。在課堂中，師生用對話的形式演繹數(shù)學(xué)問題的走向，這其中，有效的數(shù)學(xué)思考是把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的關(guān)鍵。不難看出，設(shè)置富有層次及邏輯推理的問題架構(gòu)，是觸發(fā)學(xué)生獨立思考的核心。

思考的價值，是數(shù)學(xué)問題能否觸動學(xué)生的多維思索，能否激發(fā)學(xué)生的思維張力，能否激蕩學(xué)生的思考方向，從這個意義上說，重視有效問題的設(shè)置就是引發(fā)數(shù)學(xué)思考的關(guān)鍵。如何在有限的時間跨度里引領(lǐng)學(xué)生通過數(shù)學(xué)思考，進而把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是每一位數(shù)學(xué)教師需要不斷思索的問題。

一、“分”層遞進，“數(shù)”概念本質(zhì)——讓數(shù)學(xué)思考全面發(fā)生

康托爾說：數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由。要做到自由，教師的理念及教學(xué)定位至關(guān)重要。畢竟，開放的課堂要求教師要有極高的駕馭能力及掌控全局的視野，通常來說，這是不容易做到的。

通常而言，我們的數(shù)學(xué)課堂在學(xué)生的思考點上的設(shè)置還是重視不夠，在常態(tài)教學(xué)中，學(xué)生的思維空間比較逼仄。原因在于，教師在課堂上沒有提供清晰有力的架構(gòu)。試以阮志強老師對傳統(tǒng)的《分數(shù)的意義》一課的演繹為例，咀嚼其中幾個片斷。

阮老師對分數(shù)概念的建構(gòu)分為四大模塊：“說一不二”“心有靈犀”“巧思妙創(chuàng)”和“超級變變變”，使學(xué)生以多梯次的思維活動方式進行不斷的追思，經(jīng)歷概念的形成過程，讓分數(shù)煥發(fā)真正的味道。

思考點一：請你寫上一個分數(shù)，同桌交換這個分數(shù)，想想看，這個分數(shù)表示什么？現(xiàn)在，請你用簡單的草圖表示同桌的這個分數(shù)?？纯矗男┩馈靶挠徐`犀”？在學(xué)生匯報時，追問：在你畫圖之前，是怎么理解這個九分之四的？畫的圖和寫的分數(shù)對上了嗎？“數(shù)”與“形”的契合，正是學(xué)生對分數(shù)概念的抽象內(nèi)涵與直觀模型的有效統(tǒng)一，體現(xiàn)了在開放包容的空間里主動學(xué)習(xí)的智慧。

思考點二：從下面九個正方形中任選幾個圈成一個整體，創(chuàng)造一個分數(shù)，并想一想你創(chuàng)造的分數(shù)表示什么？這是開放的數(shù)形結(jié)合題。一個學(xué)生經(jīng)過思考，拋出：9個正方形，表示四分之一。教師問：這個圖表示四分之一，你看懂了嗎？看懂的舉手。舉手的寥寥無幾。全班學(xué)生陷入掙扎中：這個分數(shù)可以么？創(chuàng)造者闡述自己的思維成果：先把8個正方形均分成4份，2個一份，再把剩下的一個正方形均分成4份，把2個正方形和現(xiàn)在的小的正方形加在一起，就是9個正方形的四分之一。這確實是一個創(chuàng)新性的思維！

思考點三：兩本筆記本，占全部的五分之一，問：一共有幾本？怎么想？再取出兩本，占現(xiàn)在全部的幾分之幾？同樣都是兩本？為什么一個是五分之一，一個是四分之一？……一本的活頁，取其中的二分之一，多少？再拿二分之一？再拿二分之一？……說得完嗎？教師很自然地引出莊子的一句話：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。問：讀懂這句話了嗎？學(xué)生：你有一根一尺的木棍，你每天取它的一半，你永遠取不完。多么深刻的領(lǐng)悟！

教學(xué)，往往需要教師有前跨的思維，又要有后退讓出空間的從容，提出引發(fā)深層次思考的問題，促進探究。

二、“面”向立體，“積”淀數(shù)學(xué)素養(yǎng)——讓數(shù)學(xué)思考經(jīng)歷考驗

華羅庚說：新的數(shù)學(xué)方法和概念，常常比解決數(shù)學(xué)問題本身更重要。隱性的學(xué)習(xí)目標(biāo)總是容易被教師忽視，邏輯推理的方法、想象抽象的策略，建立在學(xué)生對數(shù)學(xué)的思考是否具有更為寬暢的空間。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，思考方向往往是難以捉摸的，過程是充滿曲折的，而這種經(jīng)歷，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，恰恰是最有價值的。羅鳴亮老師對“面積”的建構(gòu)就是一波三折的過程。

羅老師以方格圖貫穿面積公式的建模過程，引導(dǎo)觀察、思考、辨析，摒棄了動手操作，注重學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。方格圖分為三個層次：先出現(xiàn)完整的方格圖，讓學(xué)生猜6個面積1平方分米的正方形組成的圖形是什么形狀；接著是長方形長6、寬4中間沒有方格線的方格；最后是長9、寬8的長方形，層次中體現(xiàn)深度。而學(xué)生要從長9、寬8的一維中想象縱橫線上有幾個方格，求出小方格總個數(shù)，在一維與二維之間的切換，學(xué)生找到長方形面積的突破口，這里，方格圖起到了不可忽視的紐帶作用。

羅老師以不同的長方形素材進行多梯度的模型建構(gòu)，讓長方形的形狀呈多重立體式，即長方形是以一定單位的小正方形組成的，溝通一維與二維的區(qū)別時，學(xué)生搞混了周長與面積的不同，認知出現(xiàn)了錯誤。羅老師不急不緩，引導(dǎo)觀察：長方形面積到底與什么有關(guān)？四個關(guān)鍵詞：每行個數(shù)、行數(shù)、總個數(shù)、面積之間存在的邏輯體系。學(xué)生在羅老師的巧妙牽引下，順利發(fā)現(xiàn)了一定數(shù)量的小正方形個數(shù)即面積的數(shù)量。花大力氣對面積模型進行層層建構(gòu)，最后卻沒有總結(jié)出面積的公式，體現(xiàn)了教師對模型思想的重視。

本節(jié)課，“講道理”成為一大亮色。羅老師不斷追問：你是怎么想的？請你講道理好吧。就是讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度思考，進行推理演繹，得出結(jié)論。整節(jié)課通過數(shù)形結(jié)合的表征，直觀呈現(xiàn)抽象的面積公式的本源：長方形面積為什么等于長×寬？這里的思維荒蕪地帶才是數(shù)學(xué)的本質(zhì)：為什么要用長×寬？學(xué)生明白這樣的道理嗎？最后一個環(huán)節(jié)，還是以羅老師懸疑式的猜測結(jié)束：面積20平方分米的長方形，形狀是什么？5×4、10×2、20×1、40×0.5……閃爍著哲學(xué)中的變與不變思想及極限思想。

有深度思考的課堂，才能讓學(xué)生以理性的精神感知數(shù)學(xué)邏輯思維的奧妙！羅老師的面積模型建構(gòu)過程，讓學(xué)生充分領(lǐng)略了“面積”就是“面之積累”，而不是所謂的公式記憶。這一模型思想深植在學(xué)生心中，其策略會遷移到長方體體積的演繹上：所謂“體積”，就是“體之積累”。從二維到三維的切換，正是知識及邏輯體系的一脈相承。換句話說，就是為學(xué)生設(shè)置一個動態(tài)的學(xué)習(xí)路徑。

三、“植”問題意識，“樹”模型思想——讓數(shù)學(xué)思考走向深刻

數(shù)學(xué)問題是課堂教學(xué)的價值支撐，問題引領(lǐng)的過程，就是體驗、感知、領(lǐng)悟的過程，有的經(jīng)歷“輕舟已過萬重山”，有的經(jīng)歷“山窮水盡疑無路”，固然沒有所謂的最好，但是，輕易接觸到的，學(xué)生的印象無法深刻，數(shù)學(xué)思想方法的滲透就無從談起。

以植樹問題為例。特級教師俞正強詮釋的《植樹問題》，切入點簡單明了，兩個問題：“20米，每5米分一段，共分幾段？”“20米路，每5米栽一棵樹，共栽幾棵樹？”“這兩題一樣嗎？不一樣在哪里？”學(xué)生通過對問題的思考，區(qū)分出平均分是一段一段的分，而種樹是種在段與段之間兩端的點上。

“點與段的差別在哪里？”問題的核心是讓學(xué)生抓住點與段的區(qū)別，借助線段圖這個直觀模型，明白植樹問題是一個怎樣的問題：植樹是植在點上的。俞老師所舉的例子有趣：“奧巴馬”是“樹”——美國選總統(tǒng)每5年選一個奧巴馬；“獎狀”是“樹”——每隔一學(xué)期一張獎狀。俞老師總結(jié)樸實：一個“正宗”，即兩端都栽；二個“方便”，即一端不栽、兩端都不栽。從有形的“樹”到無形的“樹”，歷經(jīng)層層抽象，在多種復(fù)雜的問題中剝離非本質(zhì)屬性，建構(gòu)模型，完善除法的知識體系，幫助學(xué)生豐盈對數(shù)學(xué)知識的認知，感悟模型思想，培養(yǎng)學(xué)生具有獨立的、獨特的思維方式和思維品格。

會舉例，是證明學(xué)生思考成效的最好方式，它不是單純的模仿，而是通過各個不同方向、事物的表征，找到一般性的代表，為抽象出數(shù)學(xué)的模型揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)打好基石。從這個意義上說，俞老師建構(gòu)的課堂就有了思考數(shù)學(xué)本真的思想，他在教導(dǎo)學(xué)生做到：如何能夠超出生活經(jīng)驗并學(xué)會數(shù)學(xué)地思維，特別是數(shù)學(xué)抽象。（鄭毓信語）而數(shù)學(xué)思想的蘊伏及體現(xiàn)，正如史寧中所說，數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個：抽象、推理、模型。其中抽象是最核心的。這為我們的數(shù)學(xué)思考打下了思想的“底子”。

高效的數(shù)學(xué)課堂，應(yīng)當(dāng)看到學(xué)生成為“追問者”，追問問題的本源、尋找解決的途徑、參與流程的走向，經(jīng)歷抽象建模的過程。這樣的課堂，才有真正的數(shù)學(xué)思考，我們期待。課堂中學(xué)生有獨立的思考，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

［1］人民教育編輯部.教學(xué)大道——寫給小學(xué)數(shù)學(xué)教師［M］.北京：高等教育出版，2010.

［2］張丹.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

［3］史寧中.數(shù)學(xué)思想概論——數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象［M］.長春：東北師范大學(xué)出版社，2008.

（責(zé)任編輯：陳志華）