毛兆華， 萬賢福， 汪　軍, 1b， 周　建， 卜佳仙，

陳　霞1a, 1b， 李立輕1a, 1b

(1. 東華大學 a. 紡織學院; b. 紡織面料技術教育部重點實驗室, 上海 201620;

2. 江南大學 紡織服裝學院, 江蘇 無錫 214122)

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基于字典學習的機織物圖像重構

毛兆華1a， 萬賢福1a， 汪軍1a, 1b， 周建2， 卜佳仙1a，

陳霞1a, 1b， 李立輕1a, 1b

(1. 東華大學 a. 紡織學院; b. 紡織面料技術教育部重點實驗室, 上海 201620;

2. 江南大學 紡織服裝學院, 江蘇 無錫 214122)

摘要：首先對機織物圖像進行窗口分割，將每個窗口展開成列向量，所有列向量聯(lián)合組成一個矩陣；然后對該矩陣進行字典學習，得到個數(shù)最佳的字典，即基向量；最后應用該字典對待檢測樣本進行近似，并設計了基于信息熵的指標對原圖像與近似圖像之間的近似程度進行量化.重點探討了字典模型類型和字典個數(shù)對圖像重構效果的影響.結果表明，所提出的字典學習方法能夠?qū)C織物很好地近似，此外，有約束求解字典的模型對圖像重構的效果優(yōu)于無約束模型.

關鍵詞：機織物； 圖像重構； 字典學習； 紋理表征； 字典個數(shù)； 信息熵

自然界中事物的紋理多種多樣，紋理分析一直是計算機視覺的核心研究內(nèi)容之一.對機織物圖像進行重構的實質(zhì)是尋找機織物的紋理信息.由于圖像紋理的多樣性與復雜性，目前對圖像紋理的定義還不是特別精確，因此，所用的紋理分析方法也是建立在對紋理的不同理解的基礎上，其大體分為4大類[1]:基于結構[2-3]、基于統(tǒng)計[4-5]、基于模型[6-7]和基于信號處理[8-10]，前3類都是基于空間域，最后1類是基于頻率域.基于統(tǒng)計的方法通過定義一些統(tǒng)計量來對紋理結構在空間分布上的統(tǒng)計特征進行描述，該類方法包括灰度共生矩陣法、灰度直方圖統(tǒng)計法，以及直接從像素灰度值中計算圖像的一些直觀統(tǒng)計量，如均值、標準差、熵等.基于結構的方法將紋理視為由許多結構基元在空間上的重復排列所形成，以結構基元為基礎進行紋理描述.基于模型的方法以數(shù)學模型對產(chǎn)生紋理的隨機過程進行建模描述，主要方法有隨機場模型法、分形模型法等.基于信號處理方法則直接將紋理圖像視為一維或二維的信號，以數(shù)學變換為主將紋理信息從空間域變換到頻率域?qū)y理進行描述，主要有傅里葉變換方法、小波變換方法等.

傅里葉變換和小波變換等頻域分析方法的出現(xiàn)為機織物圖像的重構提供了有效的工具.前者采用正弦或余弦函數(shù)作為基函數(shù)對信號進行表達；后者采用滿足一定條件下的小波基對信號進行表達.然而，由于傅里葉變換和小波變換皆采用固定的字典(基向量)，在對特征各異的信號進行表達時，對信號內(nèi)容的適應性并不總是很理想，尤其是對高維信號的表達.近年來，使用字典學習進行信號的表達受到了廣泛的關注，特別是在計算機視覺領域，與傳統(tǒng)上使用固定的或預先定義的字典表達方法相比，通過學習所得的字典能夠更好地適應信號特征，允許字典學習對輸入信號進行更有效的表達.此外，目前字典學習方法主要應用于數(shù)字圖像去噪[11]和人臉識別[12]等方面，很少有研究者將其用于機織物圖像重構方面，因此，本文提出一種基于字典學習的機織物圖像重構的方法.

1基于字典學習的圖像重構原理

在信號處理領域中，信號通?？梢苑纸鉃橐恍┗驹鼗蚝瘮?shù)的線性組合來進行表達.對機織物紋理信號線性表達的基本思路是去尋找一些基元素(稱為字典)，這些基元素的線性組合可以在一定的約束下對原信號進行最優(yōu)的近似(重構).

1.1字典學習

設m×n型的數(shù)據(jù)矩陣X= [x1, x2, …, xn]， xi∈Rm，i=1, 2, …,n，其中，n為樣本個數(shù)，m為向量維數(shù).在l2范數(shù)近似條件下，所要尋找的字典可以寫成如下優(yōu)化問題：

(1)

式中：D=[d1, d2, …, dk], dj∈Rm為所要學習的字典；k為字典個數(shù)；αi∈Rk為X中元素xi的系數(shù)向量.對d1, d2， …, dk約束主要是為了限制D中元素值.

顯然，對式(1)進行最小化，也就意味著去尋找這樣一個字典，該字典元素的線性組合能夠?qū)λ袠颖緓i進行最小平方誤差下的近似.

由于式(1)中D和α皆未知，如何構造D通常被稱為字典學習問題，所得的字典稱為學習字典.

1.2算法原理

將織物圖像分割為一定大小的子窗口，每個子窗口代表一個樣本.在l2范數(shù)近似條件下，通過樣本對式(1)進行優(yōu)化求解，能對所有樣本在最小平方差條件下進行最優(yōu)近似表達.為了得到預期更好的學習字典，可以對式(1)施加額外的約束或構造新的目標函數(shù)，從而獲得很好的表征效果.

1.2.1無約束模型

無約束即是對字典和系數(shù)矩陣沒有任何限制條件，在l2范數(shù)近似條件下，其構造模型如式(1)所示.

對式(1)進行最小化，所得的學習字典能夠在最小平方誤差下對所有樣本進行最優(yōu)近似.求解時可以將其中一個變量D或α固定，這樣每一部分都可以看作一個最小二乘問題，使用交替最小化方法進行求解.

若令A= [α1, α2, …, αn]為系數(shù)矩陣，則迭代規(guī)則為

一直循環(huán)，直到‖Di+1Ai+1-DiAi‖F(xiàn)2<ε時停止運算，此時也就得到了學習字典D.

1.2.2非負約束模型

基于重構誤差最小建立數(shù)學模型，即

本文采用有效集(activeset)改進的非負矩陣分解算法[13]，即基于有效集方法的交替非負最小二乘算法.有效集方法是一個可行點方法，即每個迭代點都要求是可行點，每次迭代求解一個不等式約束的二次規(guī)劃.該算法具有優(yōu)異的收斂性能，故選取該算法來優(yōu)化學習字典.

在學習階段，本文先把機織物圖像切割成一定大小的子窗口，并視每個子窗口為一個樣本.接著將子窗口樣本按列展成為列向量，并將所有的樣本向量并列組合成為一個矩陣，并記為X.然后，對所得的矩陣實施字典學習并提取最佳個數(shù)為k的字典列作為最佳字典元素，D=[d1, d2, …, dk].

(3)

顯然，若要使近似效果最佳，則有必要對所用的學習字典個數(shù)進行優(yōu)選.

2學習字典個數(shù)的優(yōu)選

機織物由相互垂直的經(jīng)紗和緯紗系統(tǒng)按一定規(guī)律交織而成，所形成的織物圖像表面呈現(xiàn)出很強的周期性，即織物像素點間存在大量的相關性.當采用上述優(yōu)化模型的算法所得的學習字典D進行表達時，通常很小的字典(字典個數(shù)k<20)就可以對機織物紋理的主體結構信息進行有效的表征，從而可以很好地近似機織物圖像.

在得到機織物的學習字典之前，首先要確定字典的個數(shù).從式(1)可以直觀看出，學習字典的個數(shù)直接決定了重構誤差的大小，即字典個數(shù)越多，重構誤差會越小，但字典個數(shù)過多時，又會增加計算的復雜性，故本文需要選取一個適中的字典個數(shù).

為了將學習字典對樣本的近似程度進行量化，本文設計了一個稱為近似指數(shù)(簡記為E)的量化指標，其定義為

(4)

E所在的區(qū)間為0%～100%，當近似樣本與原樣本完全一致時，則E=100%.對于表征而言，E越大表示字典對該種織物的表征能力越強.

為了能清楚說明式(4)中所定義的量化指標的有效性，以平紋織物的樣本為例，近似效果如圖1所示.當k=3時，近似效果幾乎達到90%，此后隨著字典個數(shù)的增大，近似效果沒有顯著增加，故可以選定平紋織物最佳字典個數(shù)k=3.

圖1　平紋織物的近似指數(shù)隨字典個數(shù)變化的曲線Fig.1　Approximate index curve of plain fabric with 　different dictionary number

3試驗結果與討論

本文試驗中所有測試圖像都來自生產(chǎn)一線，為了方便起見，子窗口大小取32像素×32像素.按織物紋理，將織物圖像分成平紋數(shù)據(jù)集和斜紋數(shù)據(jù)集，并采用式(4)提出的量化指標評價近似效果.為了驗證算法的重構效果，本文選用27種不同背景紋理的織物樣本進行統(tǒng)計，共包括平紋樣本數(shù)據(jù)集60個和斜紋樣本數(shù)據(jù)集48個，其中每種織物取4個樣本圖像進行測試，共測試平紋樣本240次和斜紋樣本192次.平紋織物和斜紋織物圖像重構的近似指數(shù)統(tǒng)計如表1所示.

表1　平紋織物和斜紋織物圖像重構的近似指數(shù)統(tǒng)計

由表1可以看出，當k=3時就能對平紋織物圖像進行很好的近似重構，其后隨字典個數(shù)的增大，近似指數(shù)并未有顯著提高.如圖2所示為平紋織物圖像所得的3個字典元素，這3個字典很明顯地包含了平紋結構的信息，故利用這些字典就可以對相應的平紋織物進行圖像近似.

圖2　平紋織物的學習字典(k=3)Fig.2　Learned dictionary for plain fabric (k=3)

斜紋織物的最優(yōu)字典個數(shù)需要不斷地嘗試來選取.例如對于一些規(guī)則度很高的斜紋織物樣本而言，僅需要2個字典元素就可以對機織物圖像近似表達(如圖3所示)，所得斜紋織物的學習字典很清晰地展示了斜紋的紋理結構.

圖3　斜紋織物的學習字典(k=2)Fig.3　Learned dictionary for twill fabric (k=2)

由近似指數(shù)能明顯得出基于非負約束模型的學習字典的近似效果優(yōu)于無約束模型.這是因為非負約束使得字典元素都是非負，這就使得一些冗余的無用信息被剔除了，在相同的字典個數(shù)情況下，非負約束模型得到的學習字典的有用信息更多，近似效果也較好.

此外，從表1可以觀察到， 有時當k較大時，相應機織物的近似指數(shù)反而會較小，即近似效果會稍微變差.這種情況大都出現(xiàn)在無約束模型中，其主要原因是在無約束模型中，字典個數(shù)越多時，相應得到的冗余信息也會越多，這樣會使得樣本與原圖像之間的信息熵值比變小.非負約束模型中也會出現(xiàn)這種情況，但是差異很小，這可能是試驗誤差引起的.

為了更直觀地了解機織物圖像的重構效果，在不同字典個數(shù)的情況下，平紋樣本和斜紋樣本圖像(圖4所示)的重構效果，如圖5所示.

(a) 平紋織物

(b) 斜紋織物

由圖5可以看出，字典個數(shù)越大，織物圖像的近似效果越好，不過當k=5， 7， 9， 11時近似圖像相差不大，這與表1的結果趨勢基本一樣，故沒有必要選取太大的字典個數(shù).因為選取的字典元素過多，不僅重構效果改善不明顯，而且計算量會增加，使得計算時間相應增加，從而影響織物圖像重構的效率.此外，從圖5還可以看出，斜紋織物圖像的重構效果優(yōu)于平紋織物，與表1中相應的統(tǒng)計結果相吻合，這是因為斜紋織物的紋理比平紋織物規(guī)整清晰.

4結語

本文在字典學習的基礎上，提出了一種機織物圖像重構的研究方法，著重探討了字典個數(shù)對機織物圖像重構效果的影響，并通過構造量化指標——近似指數(shù)來進一步確定最佳的字典元素.

試驗結果表明，當k=3時，平紋織物就能得到近似效果比較好的重構圖像，而斜紋織物則需各自探討最佳字典個數(shù).此外，在相同的學習字典個數(shù)下，非負約束模型的算法比無約束模型的近似效果好，因為非負約束只存在加法運算，所得字典的有用信息比較多，故近似效果比較好.

當然，本文利用字典學習方法對平紋樣本和斜紋樣本分別重構了240次和192次，考慮到樣本容量和試驗次數(shù)對重構結果的影響，下一步可以采集更多的樣本織物來研究相應的圖像重構效果，此外可將本文的近似結果進一步應用于機織物瑕疵檢測的研究.

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Woven Fabric Image Reconstruction Based on Dictionary Learning

MAOZhao-hua1a,WANXian-fu1a,WANGJun1a, 1b,ZHOUJian2,BUJia-xian1a,CHENXia1a, 1b,LILi-qing1a, 1b

(a. College of Textiles; b.Key Laboratory of Textile Science & Technology, Ministry of Education, 1. Donghua University, Shanghai 201620, China; 2. College of Textiles and Clothing, Jiangnan University, Wuxi 214122,China)

Abstract:Firstly, normal woven fabric image is partitioned into small sub-windows and vectorized into a column vector, then all the column vectors are combined into a matrix. Secondly, the matrix composed of column vectors is solved by dictionary learning, and the optimal dictionary(basis vectors)is extracted. Finally the dictionary is applied to reconstruct testing samples and the entropy-based index is calculated to qualify the proximity between original and reconstruction image. Effects of the model types and number of dictionary on image reconstruction are also investigated deeply. Experiments show that the proposed method of dictionary learning can achieve good approximation performance. In addition, learning dictionary with constraint performs better than unconstraint.

Key words:woven fabric; image reconstruction;dictionary learning; texture characterization; number of dictionary elements size; information entropy

中圖分類號：TS 101.9

文獻標志碼：A

作者簡介：毛兆華(1989—)，女，江蘇南通人，碩士研究生，研究方向為機織物瑕疵自動檢測.E-mail：h15006180077@163.com汪軍(聯(lián)系人)，男，教授，E-mail：junwang@dhu.edu.cn

基金項目：國家自然科學基金資助項目(61379011)

收稿日期：2014 -12-05

文章編號：1671-0444(2016)01-0035-05