盧富德， 許晨光， 高　德， 徐　鋒(浙江大學(xué) 寧波理工學(xué)院,浙江 寧波　315100)

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懸臂梁易損部件在矩形加速度脈沖激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與有限元分析

盧富德， 許晨光， 高德， 徐鋒(浙江大學(xué) 寧波理工學(xué)院,浙江 寧波315100)

摘要：為分析懸臂梁易損部件在矩形脈沖激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)，推導(dǎo)出懸臂梁在懸臂端處動(dòng)態(tài)應(yīng)力的近似解析解，得到最大應(yīng)力與矩形脈沖峰值之間的關(guān)系，分析結(jié)果表明：在速度變化量一定時(shí)，最大應(yīng)力隨加速度脈沖幅值的增加而增加，但會(huì)無(wú)限逼近極限值。最后建立了易損件-質(zhì)量主體在矩形脈沖激勵(lì)下的有限元模型，并與解析解進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)運(yùn)用2階振動(dòng)模態(tài)即可得到精確的懸臂梁的應(yīng)力響應(yīng)，所取得的研究成果為具有懸臂梁式易損件在蜂窩紙板緩沖作用下的防護(hù)提供理論基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：懸臂梁；易損件；有限元；加速度脈沖

電子產(chǎn)品在運(yùn)輸與使用過(guò)程中，跌落或振動(dòng)載荷，是導(dǎo)致電子產(chǎn)品失效的主要激勵(lì)形式[1]。電子產(chǎn)品內(nèi)部的一個(gè)或多個(gè)部件，通常簡(jiǎn)化為質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，理論或測(cè)試得到的易損件的加速度響應(yīng)作為系統(tǒng)失效的強(qiáng)度指標(biāo)[2-3]。對(duì)于電子產(chǎn)品的一些內(nèi)部梁式易損部件，由于一個(gè)固有頻率不能標(biāo)準(zhǔn)其振動(dòng)行為，若仍然以加速度響應(yīng)作為判斷產(chǎn)品失效標(biāo)準(zhǔn)，會(huì)引起錯(cuò)誤或誤導(dǎo)[4]，這時(shí)需要深入到易損部件的應(yīng)力層面來(lái)分析易損件的沖擊強(qiáng)度[5-6]。例如，Zhou 等[7]研究了簡(jiǎn)支梁關(guān)鍵部件在半正弦脈沖激勵(lì)作用下簡(jiǎn)支梁最大應(yīng)力表達(dá)式與加速度脈沖幅、脈寬之間的關(guān)系，得到簡(jiǎn)支梁的失效機(jī)理。

泡沫作用在易損件的加速度脈沖可以用半正弦脈沖近似表達(dá)。盧富德等[8]研究了梁式易損部件在發(fā)泡聚乙烯緩沖作用的沖擊響應(yīng)。但對(duì)于蜂窩紙板作為緩沖材料時(shí)，由于其應(yīng)力-應(yīng)變曲線有一個(gè)較長(zhǎng)的應(yīng)力平臺(tái)[9-11]，若重物受到?jīng)_擊載荷壓縮蜂窩紙板的過(guò)程，會(huì)作用于重物以近似的矩形加速度脈沖。易損件的質(zhì)量遠(yuǎn)小于主體的質(zhì)量，可不考慮易損件對(duì)質(zhì)量主體的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)影響，重物的矩形加速度脈沖響應(yīng)相當(dāng)于作為內(nèi)部易損件的激勵(lì)。鑒于此，研究矩形脈沖激勵(lì)下梁式易損部件沖擊響應(yīng)規(guī)律，揭示此系統(tǒng)的緩沖機(jī)理，這對(duì)于利用蜂窩紙板保護(hù)帶有梁式易損件的物品情形提供了理論基礎(chǔ)。

1懸臂梁-質(zhì)量主體-蜂窩紙板系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

帶有懸臂梁易損件的物品在蜂窩紙板緩沖作用下的動(dòng)力學(xué)模型示意圖，如圖1所示。物品離散為變形的易損件與不變形的質(zhì)量主體。由于易損件的質(zhì)量遠(yuǎn)小于主體質(zhì)量，物品自由跌落并壓縮蜂窩紙板的過(guò)程，易損件對(duì)質(zhì)量主體的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)可忽略不計(jì)。質(zhì)量塊在壓縮蜂窩紙板過(guò)程中，蜂窩紙板對(duì)作用的加速度如圖2所示，由于蜂窩紙板受壓縮力學(xué)性能呈現(xiàn)較長(zhǎng)的屈服平臺(tái)，實(shí)際脈沖可近似為矩形脈沖。對(duì)于蜂窩紙板緩沖包裝系統(tǒng)，獲取重物的加速度響應(yīng)由本構(gòu)關(guān)系[9]、經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚10]與有限元[11]等理論方法。通過(guò)這些方法所得到的質(zhì)量塊的加速度響應(yīng)，就成為懸臂梁易損件的激勵(lì)。

圖1　蜂窩紙板緩沖系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of honeycomb paperboard cushioning system

圖2　質(zhì)量塊在蜂窩紙板作用下的加速度響應(yīng)Fig.2 Acceleration response of mass for honeycomb paperboard cushioning system

因此，研究懸臂梁易損部件在矩形脈沖激勵(lì)下的響應(yīng)，為探求其在蜂窩紙板緩沖作用下的失效機(jī)理及防護(hù)問(wèn)題成為一個(gè)需要解決的關(guān)鍵科學(xué)問(wèn)題。

2懸臂梁-質(zhì)量主體系統(tǒng)在矩形脈沖激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)求解

不考慮懸臂梁易損件對(duì)質(zhì)量主體的動(dòng)力學(xué)影響，對(duì)如圖3所示的帶有懸臂梁式易損部件產(chǎn)品進(jìn)行力學(xué)分析，得到梁的振動(dòng)方程為：

(1)

式中：E為彈性模量，I為截面慣性矩，ρ為懸臂梁的密度，A為截面面積。

對(duì)應(yīng)的邊界條件為：

w(0)=z;

(2)

設(shè)相對(duì)位移y=w-z，聯(lián)合式(1),得到

(3)

圖3　帶有懸臂梁式易損件的產(chǎn)品示意圖Fig.3 Schematic diagram of product with cantilever beam type

由分離變量法，得到式(3)的解：

(4)

式中,qn(t)為模態(tài)坐標(biāo)，Yn(x)為振型函數(shù)

cosλnx-chλnx

(5)

式中,λn為特征值，滿足

1+chλnlcosλnl=0

(6)

利用梁主振型的正交性，可得到一組獨(dú)立的微分方程組

(7)

式中

(8)

由杜哈梅積分，得

(9)

傳遞給易損件的近似矩形加速度脈沖為：

(10)

把式(10)代入式(9),得到模態(tài)解

(11)

因此，懸臂梁上、下面的彎曲應(yīng)力為

式中

-cosλnx-chλnx

(13)

取一階結(jié)果，忽略高階項(xiàng)，可得近似懸臂梁最大響應(yīng)應(yīng)力為

把矩形脈沖與自由跌落聯(lián)系起來(lái)，得到脈寬與跌落高度H、矩形脈沖幅值A(chǔ)m的關(guān)系為：

(15)

然后對(duì)式(14)進(jìn)一步整理，得到

(16)

特別地，當(dāng)Am→∞，

(17)

由式 (16)和(17),并記作如下：

(18)

可得到懸臂梁的最大響應(yīng)應(yīng)力，與脈沖峰值A(chǔ)m的關(guān)系，如圖4所示，從圖可以看出，在跌落高度一定時(shí)，即矩形脈沖速度變化量保持不變時(shí)，懸臂梁的最大響應(yīng)應(yīng)力隨矩形脈沖幅值的增大而增大，當(dāng)幅值小于Am1,幅值σm與其成線性關(guān)系，之后為非線性關(guān)系，但此時(shí)應(yīng)力存在極限值為σm2。

圖4　σm-Am關(guān)系Fig.4 Relationship between response stress amplitude σm and input acceleration amplitude Am

3易損件-質(zhì)量主體有限元模型

由于在推導(dǎo)懸臂梁的振動(dòng)方程(1)的前提是梁發(fā)生小撓度，若超出這個(gè)范圍，振動(dòng)方程(1)已不再適用。若運(yùn)用有限元方法求解梁在加速度脈沖激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)則沒(méi)有這個(gè)限制，這是由于有限元可以考慮模型的幾何非線性，因此用有限元模型可以驗(yàn)證解析解的正確性。

選用ABAQUS/Explicit程序,質(zhì)量主體運(yùn)用三維剛體單元，對(duì)懸臂板易損件運(yùn)用可變形三維殼單元，在質(zhì)量主體單元上建立一個(gè)參考點(diǎn)RP1，設(shè)定質(zhì)量，并約束x,y,Rx,Ry,Rz方向的自由度，允許z方向運(yùn)動(dòng)。對(duì)于懸臂板的懸臂端，需要建立與剛體單元在x,y,及z方向的耦合約束。易損件單元運(yùn)用S4R單元，剛體單元采用C3D4單元。輸入矩形加速度脈沖作為系統(tǒng)的激勵(lì)，即可得到懸臂梁易損件的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

圖5　易損件-質(zhì)量主體有限元模型Fig.5 Finite element model of critical element and main body for product

4數(shù)值算例

易損件厚度h′=1 mm,寬度b=10 mm,長(zhǎng)度為l=40 mm,密度ρ=8 g/cm3,彈性模量E=100 GPa，要求最大彎曲許用應(yīng)力σa=80 MPa,4 kg的質(zhì)量主體從高度1 m處跌落,運(yùn)用解析方法和有限元模型分析懸臂梁易損件的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

在給定跌落高度條件下，由式(16)得到：Am最大值為115 g(g為重力加速度，取9.8 m/s2)，只要加速度脈沖幅值不超過(guò)115 g,就能保證懸臂梁最大彎曲應(yīng)力小于許用應(yīng)力80 MPa。這里選取加速度峰值80、115 g兩種情況，分別用一階模態(tài)、二階模態(tài)和三階模態(tài)疊加，得到懸臂端處的動(dòng)態(tài)彎曲應(yīng)力如圖6和7所示。如圖6所示，在加速度幅值為80 g時(shí)，從圖6(a)中截取應(yīng)力脈沖，如圖6(b)所示，運(yùn)用三階模態(tài)，分別得到懸臂梁在懸臂端處最大應(yīng)力分別為54.9、58.3和58.6 MPa,取58.6為參考值，當(dāng)取一階模態(tài)時(shí)，相對(duì)偏差為6.31%，當(dāng)取二階模態(tài)時(shí)，相對(duì)偏差減小為0.51%。

圖6　懸臂端處應(yīng)力-時(shí)間曲線(Am=80 g)Fig.6 Response stress-time curves at the cantilevered end (Am=80 g)

如圖7所示，在加速度幅值為115 g條件下，當(dāng)取一階模態(tài)求解懸臂梁在懸臂端的響應(yīng)時(shí)，最大應(yīng)力為70.3 MPa，取二階模態(tài)時(shí)，其最大應(yīng)力增加到75.1 MPa，取三階模態(tài)，懸臂端處的最大應(yīng)力增加到76.2 MPa。經(jīng)過(guò)計(jì)算表明：取二階模態(tài)求解懸臂梁在矩形脈沖激勵(lì)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，可以保證得到較為精確的結(jié)果。

圖7　懸臂端處應(yīng)力-時(shí)間曲線(Am=115 g)Fig.7 Response stress-time curves at the cantilevered end (Am=115 g)

在有限元模型中分別輸入如圖8所示的加速度脈沖，經(jīng)過(guò)收斂性分析，x方向取40個(gè)單元，由于y方向不是主要受力方向，取3個(gè)單元，得到懸臂端處的動(dòng)態(tài)應(yīng)力，如圖9所示，并與上述解析解進(jìn)行對(duì)比。由此可見(jiàn)，解析方法和有限元方法所得到的懸臂梁動(dòng)態(tài)應(yīng)力響應(yīng)十分吻合，二者相對(duì)偏差在3%以內(nèi)，由此說(shuō)明，用二階模態(tài)求解懸臂梁易損部件在矩形脈沖激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)應(yīng)力響應(yīng)具有較高的精度，并進(jìn)一步證明了解析方法的正確性。

圖8　輸入加速度脈沖曲線Fig.8 Input acceleration pulse curves

圖9　懸臂端處應(yīng)力響應(yīng)的有限元結(jié)果與解析解的對(duì)比Fig.9 Finite element result and analytical solution for response stress at the cantilevered end

5結(jié)論

分析了懸臂梁式易損部件在矩形脈沖激勵(lì)下的響應(yīng)，在速度變化量一定時(shí)，得到易損件懸臂端處的最大應(yīng)力響應(yīng)與加速度脈沖幅值的關(guān)系，結(jié)果表明最大應(yīng)力隨幅值的增大而增大，但會(huì)逼近極限值。由有限元模型證實(shí)了懸臂梁應(yīng)力響應(yīng)解析解的可靠性；在矩形加速度脈沖激勵(lì)下，運(yùn)用二階模態(tài)，所得到的懸臂梁在懸臂端處的動(dòng)態(tài)應(yīng)力具有較高的精度。本文的研究結(jié)果為蜂窩紙板緩沖作用下具有梁式易損件的失效行為與防護(hù)奠定了理論基礎(chǔ)。

參 考 文 獻(xiàn)

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Shock response and finite element analysis of critical components with cantilever beam type under action of a rectangular acceleration pulse

LUFu-de,XUChen-guang,GAODe,XUFeng(Ningbo Institute of Technology, Zhejiang University, Ningbo 315100, China)

Abstract:In order to analyze dynamic stress response of critical components with cantilever beam type under the excitation of a rectangular acceleration pulse, the relationship between the maximum stress at the cantilevered end and the rectangular acceleration pulse amplitude was deduced. The analysis results showed that the maximum stress increases with increase in the acceleration amplitude and approaches the limit value when the velocity change is constant. Finally, the analytical solution was verified with finite element results. It was shown that using only the first 2 orders of vibration modes can give a good estimation for the stress response of the components. The results provided a theoretical foundation for the protection of critical components with cantilever beam type when honeycomb paperboards were used as a cushioning material.

Key words:cantilever beam; critical component; finite element model; acceleration pulse

中圖分類號(hào):TB485;O322

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.05.031

通信作者高德 男，教授，1963年6月生

收稿日期：2014-10-28修改稿收到日期：2015-03-25

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11402232)；寧波市自然科學(xué)基金(2015A610092)；浙江省自然科學(xué)基金(LY16A020004)；寧波市自然科學(xué)基金(2015A610100；2013A610135)

第一作者 盧富德 男，博士，1982年11月生

E-mail：gaode63@163.com