段晨陽 趙亞飛 張世杰 孔憲仁

（哈爾濱工業(yè)大學衛(wèi)星技術研究所，哈爾濱 150080）

衛(wèi)星編隊連續(xù)推力控制的燃料平衡方法

段晨陽 趙亞飛 張世杰 孔憲仁

（哈爾濱工業(yè)大學衛(wèi)星技術研究所，哈爾濱 150080）

在衛(wèi)星編隊飛行中，編隊重構等機動過程會導致整個編隊衛(wèi)星之間燃料消耗不均勻，甚至出現(xiàn)某一成員衛(wèi)星燃料消耗完，而導致整個編隊構型提前結束乃至任務失敗。針對該問題，文章提出了在衛(wèi)星編隊軌道重構過程中可采用的一種燃料平衡方法，即基于連續(xù)推力控制，以燃料最優(yōu)為控制目標，通過建立燃料消耗函數(shù)，推導了不同相位角及重構半徑時的最優(yōu)控制加速度，通過減小各從星之間的燃料消耗函數(shù)的差異，使得不同成員衛(wèi)星燃料消耗差別最小。編隊衛(wèi)星燃料平衡程度取決于初始相位角，文章給出了最佳初始相位角的表達式。最后，對以一主二從的三星編隊在從星軌道重構中的從星燃料平衡問題進行了仿真，分別驗證了衛(wèi)星編隊連續(xù)推力控制方法和編隊衛(wèi)星燃料平衡方法的正確性和有效性。

衛(wèi)星編隊；軌道重構；燃料平衡；連續(xù)推力

1 引言

衛(wèi)星編隊飛行是人類對天空探索及實現(xiàn)衛(wèi)星協(xié)同工作的重要技術。通過編隊飛行，可實現(xiàn)干涉測量［12］、立體成像［3－4］、空間監(jiān)測等多種任務。通過衛(wèi)星間的協(xié)調(diào)工作，可實現(xiàn)單星無法完成的任務，對未來宇宙探索和空間服務具有重要意義。隨著衛(wèi)星推進技術的發(fā)展，衛(wèi)星推進方式實現(xiàn)了從化學推進—化學／電推進—電推進的過渡，在未來編隊飛行任務中，電推進等新型推進技術有助于減少衛(wèi)星對燃料的依賴，具有廣闊的發(fā)展前景。在ESA發(fā)布的下一代衛(wèi)星平臺（Next－generation Satellite Platform）研究中，電推進方式以其高效節(jié)能的特點被列為重點發(fā)展目標之一。

編隊飛行中各成員衛(wèi)星之間協(xié)同工作，在軌以某種構型存在，實現(xiàn)任務的需求和功能。編隊飛行與單星飛行相比，可實現(xiàn)的功能更為復雜。但是，編隊飛行也有其自身的缺點，如軌道機動導致衛(wèi)星之間燃料消耗不一致，最終可能使得某一成員衛(wèi)星燃料耗盡，進而導致編隊性能降低，構型提前結束，甚至無法完成預期的在軌任務。美國、俄羅斯等國家已經(jīng)開始了對編隊衛(wèi)星重構中的燃料平衡問題的研究［5］。一些學者提出在工程上采用控制分配方法，約束軌道重構中成員衛(wèi)星之間的燃料消耗［6－8］。Susan A.Frost將燃料平衡指標轉(zhuǎn)化為范數(shù)最優(yōu)問題，達到了均衡燃料消耗的目的［9－10］。在重力場和深空環(huán)境兩種約束下，Amirreza R.等對雙星和三星編隊機動中的燃料平衡問題進行了仿真驗證［11］。Beard R.W.等開展了相關的工作，為燃料平衡問題的研究提供了一定的理論依據(jù)［12］。

本文對采用連續(xù)推力軌道控制模式下的編隊重構的燃料平衡問題進行研究，給出了響應的理論和方法，可供未來編隊衛(wèi)星的燃料平衡控制參考。

2 編隊燃料平衡優(yōu)化設計

在確定燃料平衡問題模型之前，首先須要定義衛(wèi)星編隊重構中采用的坐標系，并介紹衛(wèi)星編隊重構的基本原理。在此基礎上，逐步分析編隊燃料平衡優(yōu)化設計中涉及到的關鍵技術。

2.1 坐標系定義

本節(jié)主要介紹本文涉及的兩種坐標系：慣性坐標系和軌道坐標系，如圖1所示。

（1）慣性坐標系：原點O位于地心，OX軸指向春分點方向，OZ軸垂直于赤道面，并指向北極方向，OY軸與OX和OZ軸成右手系。

（2）軌道坐標系：原點o位于主星質(zhì)心，ox軸由地心指向衛(wèi)星方向，oz軸垂直于軌道面，并指向軌道角動量方向，oy軸和ox、oz軸構成右手系。

圖1 坐標系Fig.1 Coordinate frame

2.2 衛(wèi)星編隊重構可行性分析

假設編隊衛(wèi)星主星在圓軌道上運行，在主星軌道坐標系下，各顆從星其相對于主星的位置變化規(guī)律可用CW方程表述。令x，y，z為主星軌道坐標系的坐標分量，為主星軌道坐標系內(nèi)表達的速度分量?？紤]進行連續(xù)推力軌道控制，令三個方向的控制加速度分別用Tx，Ty，Tz表示，它們可以是關于時間的函數(shù)，則相應的運動方程可以寫成

式中：ω為軌道坐標系相對慣性坐標系的轉(zhuǎn)動角速度。

在衛(wèi)星編隊飛行重構的過程中，總的燃料消耗可以表示為各個方向控制加速度的函數(shù)，假設編號為i的編隊成員衛(wèi)星初始相對運動狀態(tài)和期望相對運動狀態(tài)分別表述為ri0，rif，那么在編隊重構過程中，燃料消耗表示為兩個狀態(tài)量的函數(shù)。在滿足編隊飛行總體構型性能的前提下，根據(jù)每一個編隊成員初始狀態(tài)，合理確定其期望狀態(tài)，以達到每顆衛(wèi)星的剩余燃料差別最小，實現(xiàn)燃料平衡的目的。

2.3 核心技術分析

1）連續(xù)推力模型

在對編隊重構中的推力器工作情況未知的情況下，可以將Tx，Ty，Tz寫成關于時間的任意連續(xù)函數(shù)，本文將其寫成傅里葉函數(shù)形式［13］：

式中：ax0，ay0，az0，bxn，byn，bzn為常值量；ωf＝2π／tf。為了簡化運算，只取前5項的表達式作為加速度的表達形式。

2）編隊重構定義

編隊重構涉及到兩個方面：x－y軌道平面內(nèi)機動和軌道面外機動。給定軌道機動時間tf，通過連續(xù)推力控制，衛(wèi)星從初始位置和速度，到達目標狀態(tài)。在主星軌道坐標系下，o點與從星在y－z平面的投影位置的連線，按逆時針方向與z軸的夾角α稱為相位角。在主星軌道周期內(nèi)，從星在y－z平面投影位置與主星位置連線掃過的圓的半徑定義為投影圓半徑。圖2給出了投影圓編隊衛(wèi)星的相位角關系。

圖2 相位角Fig.2 Phase angle

衛(wèi)星重構包含以下兩個方面的內(nèi)容：①從初始編隊投影圓半徑R，經(jīng)過軌道重構后，編隊重構后新的投影圓半徑為R＋ΔR；②從初始相位角α，經(jīng)過軌道重構后，相位角變?yōu)棣粒う痢?/p>

3）最優(yōu)控制技術

最優(yōu)控制方法從每個從星的軌道重構出發(fā)，分別建立各自的燃料目標函數(shù)，通過對每個從星燃料消耗的合理調(diào)度，達到機動后編隊衛(wèi)星之間彼此燃料平衡的要求，并限制總?cè)剂舷?，從而在完成衛(wèi)星編隊燃料平衡問題的同時，使得編隊重構總?cè)剂舷淖顑?yōu)。

3 編隊衛(wèi)星重構方法

3.1 編隊衛(wèi)星重構問題研究

在連續(xù)推力假設下，相對軌道面外和軌道面內(nèi)的燃料目標函數(shù)可以寫成

對每一個編隊成員衛(wèi)星，在編隊重構過程中，最優(yōu)控制可以寫成（相關推導見參考文獻［13］）

式中：T0，T1，λ0，λ1是從星初始相位角、投影圓半徑及其變化函數(shù)；Λ，Φ，ζ為推導過程中產(chǎn)生的中間變量（見參考文獻［13］）。

根據(jù)z方向和x－y方向的燃料消耗最優(yōu)目標函數(shù)，經(jīng)過優(yōu)化目標函數(shù)J＝Jxy＋Jz，可以得到最優(yōu)相位角α＊的兩個解：

根據(jù)取得極小值條件，驗證哪一個是取得極小值的最優(yōu)相位角。這也證實了在這種機動策略下，總的燃料消耗僅僅取決于從星在主星軌道坐標系的相位角初值，因此通過選擇合理的從星初始相位角，可以達到節(jié)省燃料的目的。

3.2 實例驗證

假設主星運行在高度為1000km圓軌道，初始編隊投影圓半徑為30km，軌道重構后的軌道半徑為50km，相位角變化30°，轉(zhuǎn)移時間1600s。根據(jù)式（5）的結論，可以得到α＊＝72.352 6°時燃料最省。一般來說，使得燃料平衡的解并不是唯一的，總是趨向于選取燃料消耗最小的那一組解作為最優(yōu)解。

圖3給出了編隊軌道重構過程中的相對軌道變化情況，細圓圈“o”表示無控情況下，從星經(jīng)過時間tf之后的位置，黑線表示在主星軌道坐標系下的從星相對轉(zhuǎn)移軌道。從圖3中可以看出，從星從初始相對軌道半徑為30km的投影圓軌道出發(fā)，經(jīng)過轉(zhuǎn)移時間tf，重構后的相對軌道半徑為50km，能夠完成軌道半徑變化的要求。在軌道重構過程中，完成軌道重構需要的速度增量為0.056 8km／s。

圖3 主星軌道坐標系下的軌道重構Fig.3 Orbital reconfiguration described in orbital frame of chief satellite

假設從星自初始相對位置經(jīng)過，自由飛行時間tf后的相對位置為（yf0，zf0），采用連續(xù)推力飛行時間tf后的位置為（yf，zf），則有

相應地，y－z平面投影圓相位角的變化為

這與期望的相位變化角一致，在完成對相對軌道半徑大小控制的同時完成了相位角變化機動。

圖4給出了軌道轉(zhuǎn)移過程中的燃料消耗隨初始相位角變化的情況，從圖4中可以看出，燃料消耗變化的周期是180°，使得燃料消耗最少的初始相位角為αmin＝72.352 6°，這和計算得到的結果是一致的，從而證實了上述原理的正確性。由于解的周期性，可見只要相位角的最優(yōu)解并不是唯一的，這里只給出了0～180°的結果。

圖4 燃料消耗－初始相位角變化曲線Fig.4 Variation of fuel consumption as a function of initial phase angle

4 編隊燃料平衡方法

兩個從星的軌道重構所對應的三星燃料平衡問題。假設兩顆從星的初始質(zhì)量和攜帶燃料的狀況相同，那么一個簡單的想法是在同等的轉(zhuǎn)移條件下（轉(zhuǎn)移時間，起始時間等），使得兩顆星的燃料消耗相等，并且能夠完成相應的軌道重構半徑和相位角的改變。

4.1 三星燃料平衡問題

本節(jié)討論的三星燃料平衡問題，是指在主從式衛(wèi)星編隊中，從星＃1和從星＃2同一時間從不同的初始位置進行軌道機動，達到一個新的編隊構型。經(jīng)過這樣的軌道重構后，從星＃1和從星＃2相對主星不僅相對距離發(fā)生變化，而且在主星軌道坐標系下，其相位角也發(fā)生改變，相位角的改變量分別用Δα1，Δα2表示，如圖5所示。對于具有兩顆從星的編隊衛(wèi)星重構問題，如果其初始燃料相同，并且在軌道重構過程各顆從星之間彼此燃料消耗差別最小，則滿足編隊燃料平衡的需求，其流程如圖6所示。

引入如下中間變量

式中：ω為軌道坐標系相對慣性坐標系的角速度；θ為從星間的初始相位差；Δα為從星相位變化量。

假設兩顆星初始相位角差θ已知，因此，只要能夠求得其中一顆星的初始相位角，就可以確定另一顆衛(wèi)星的初始相位角，經(jīng)過理論推導和構建燃料平衡的目標函數(shù)，滿足燃料平衡時，相位角須滿足：

圖5 軌道重構示意圖Fig.5 Depiction of orbital reconfiguration

圖6 編隊重構燃料平衡方法流程Fig.6 Flow chart of balancing formation reconfiguration

4.2 實例仿真

假設主星在軌道高度為1000km的圓軌道上運行，在主星軌道坐標系下，兩顆從星在y－z平面半徑為30km的投影圓軌道上運行，初始相位角相差60°。在t0時刻，兩顆從星開始機動，經(jīng)過時間tf，兩顆從星到達新的投影圓相對運行軌道，新的軌道y－z平面軌道半徑為50km，假設兩顆從星相位角變化相同，即Δα1＝Δα2＝30°，對4.1節(jié)中提出的燃料平衡算法進行仿真驗證。

基于上述假設，從星＃2的初始相位角與從星＃1的初始相位角之間恒定差一個角度θ，因此，兩顆從星的燃料消耗都可以看作從星＃1初始相位角的函數(shù)，如圖7所示，實線表示從星＃1的燃料消耗－初始相位角變化曲線，虛線表示從星＃2的燃料消耗－從星＃1初始相位角變化曲線?？梢宰C明，燃料－相位角變化曲線的周期為180°，因此，我們這里只關注初始相位角在－90°≤α0≤90°范圍內(nèi)的結果，從圖7中可以看出，兩條曲線共有兩個交點，分別為，并且在從星＃1的初始相位角時，達到燃料平衡，并且燃料消耗最優(yōu)。在軌道重構過程中，完成軌道重構需要的速度增量為0.064 8km／s。

圖7 兩顆從星的燃料消耗隨從星＃1初始相位角變化曲線Fig.7 Variations of fuel consumptions of two deputy satellites with different initial phase angles of deputy＃1

通過施加連續(xù)推力，從星＃1和從星＃2從初始位置出發(fā)，進入轉(zhuǎn)移軌道，脫離原來半徑為30km的投影圓軌道，經(jīng)過設定的軌道重構時間tf，同時到達預定的半徑為50km的投影圓軌道，整個過程在y－z平面的投影如圖8所示，其中粗線圈表示從星＃1和＃2在t0時刻的位置以及在t0＋tf時刻的位置，從圖8中可以看出采用4.1節(jié)給出的方法能夠完成軌道重構，滿足相對軌道半徑變化的要求。與此同時，軌道重構另一個目標要求是完成相位角的改變，初始時刻兩顆星的相位角差為θ＝60°。對于從星＃1，機動前后的相位變化角為Δα，同樣地，對于從星＃2有一樣的結論，經(jīng)計算，Δα＝30°，這與任務要求的兩顆星相位角變化30°的要求是一致的。因此，此方法既可以完成相對軌道位置的變化，又可以完成相位角變化的要求，從而證明了該方法的有效性。

圖9給出了3個主星軌道坐標系下三個坐標軸方向的變化曲線，從推力函數(shù)的構造不難看出，推力函數(shù)是有三角函數(shù)構成的初等函數(shù)，因此表現(xiàn)為不同峰值、不同頻率的周期變化曲線的疊加形式，與PD控制率等不同，其連續(xù)變化曲線在逐漸接近目標位置時，并不表現(xiàn)為逐漸趨近于0，因此，在本文的理論框架下，在設定好轉(zhuǎn)移時間后，須要主動關閉發(fā)動機。

圖8 y－z平面投影圓相位角變化圖Fig.8 An increment in phase angle illustrated in projected circle in y－z plane

圖9 從星＃2推力變化情況Fig.9 Working status of thrusts of deputy＃2

5 結論

本文對衛(wèi)星編隊重構過程的燃料平衡問題進行了研究，在給定初始軌道情況及目標軌道參數(shù)的情況下，給出了衛(wèi)星編隊重構方法，在此基礎上，對編隊重構中的燃料平衡問題進行了研究。經(jīng)研究，得出了以下結論：

（1）在給定初始編隊狀態(tài)和目標編隊狀態(tài)的情況下，可以通過連續(xù)推力控制實現(xiàn)軌道重構。本文給出了編隊重構方法，并對其有效性進行了仿真驗證。

（2）在初始燃料相同的情況下，研究了雙從星編隊重構的燃料平衡問題，通過構造燃料目標函數(shù)，給出了求解最優(yōu)初始相位角的求解方法，在設定相對運動軌道半徑和相位角變化的情況下，實例仿真證明該方法能夠有效地完成機動過程，并達到燃料平衡。

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（編輯：張小琳）

Fuel－balancing Using Continuous Thrust in Satellite Formation Flying

DUAN Chenyang ZHAO Yafei ZHANG Shijie KONG Xianren
（Research Center of Satellite Technology，Harbin Institute of Technology，Harbin 150080，China）

In satellite formation flying，maneuvering such as formation reconfiguration would cause unbalanced fuel distribution among the formation satellites.It may be worse if one of the satellites fails，which leads to a short lifetime formation，or complete loss of its basic function.Aiming at the problem the paper proposes a fuel－balance approach using continuous thrust，which can be adopted during orbital reconfiguration of satellite formation.The approach uses continuous thrust，brings up a fuel－consumption objective function，and derives different optimal control acceleration with different phase angles and radius changes.We reduce the fuel difference in the formation by minimizing the difference of fuel－consumption functions between each two satellites.Fuel－balancing depends on the different initial phase angle.This paper gives a expression of initial phase angle.Eventually，we use a formation of three satellites in simulation，the simulation proves the proposed methods，continuous thrust control and fuel－balancing method are valid and effective.

satellite formation；orbit reconfiguration；fuel－balance；continuous thrust

V474.3

：ADOI：10.3969／j.issn.1673－8748.2016.01.003

2015－11－19；

：2016－01－09

國家自然科學基金（91438202），民用航天“十二五”預研項目

段晨陽，男，博士研究生，研究方向為航天器動力學與控制。Email：hitsat＠gmail.com。