蘇飛，翟光＊，張景瑞，張堯

北京理工大學 宇航學院，北京 100081

輻射開環(huán)繩系衛(wèi)星編隊自旋展開動力學與控制策略

蘇飛，翟光＊，張景瑞，張堯

北京理工大學 宇航學院，北京 100081

提出了圓軌道輻射開環(huán)繩系衛(wèi)星編隊的展開控制策略。首先采用拉格朗日方程建立了輻射開環(huán)繩系衛(wèi)星編隊的展開動力學模型，分析了主星姿態(tài)與繩長在展開過程的動力學耦合關系；隨后以建立的動力學模型為基礎，分別研究了編隊在重力梯度力補償和無補償兩種情況下的自旋展開控制策略，通過規(guī)劃繩系釋放速度、主星自旋角速度等變量，實現(xiàn)了繩系編隊的有效展開；最后搭建了編隊自旋展開的動力學模型，通過數(shù)值仿真對所提出的展開策略進行驗證，仿真結果表明：在重力梯度力矩補償和無補償?shù)那闆r下，所提出的展開控制策略能夠保證編隊穩(wěn)定展開。

繩系衛(wèi)星編隊；主星姿態(tài)；重力梯度力；自旋展開；構型穩(wěn)定

繩系衛(wèi)星編隊在空間發(fā)電、空間操作、空間大型結構構建等方面具有特殊優(yōu)勢［1－3］。繩系衛(wèi)星編隊的構型有多種類型，“輻射開環(huán)”是一種新型的編隊構型。輻射開環(huán)繩系衛(wèi)星編隊由中心主星和用繩系連接到主星的多顆子星組成，主星通過執(zhí)行機構產(chǎn)生自旋運動，利用自旋運動產(chǎn)生的離心力使繩系張緊帶動編隊以一定的角速度在空間自旋：這種由離心力維持構型的設計一方面能夠減少燃料消耗，同時系統(tǒng)通過自旋又能獲得較高的穩(wěn)定性，另一方面系統(tǒng)的自旋運動和繩系的收放及控制都可由主星實現(xiàn)，控制方式簡單、任務靈活。

國內外學者對多體繩系衛(wèi)星編隊的動力學與控制問題進行了廣泛的研究，同時對部分研究成果進行了飛行驗證。Kalantzis等［4－5］結合 BICEPS任務和OEDIPUS任務分析了繩系編隊的旋轉運動，并采用Lagrange方程推導得出編隊動力學方程；Misra等［6－9］對多體繩系編隊進行了分析，仿真驗證了不同構型繩系衛(wèi)星編隊的旋轉穩(wěn)定性，并提出了平面三體編隊的4個平衡構型，給出了多體編隊中繩系的面內外擺動頻率；文獻［10－11］研究了輻射開環(huán)空間機器人編隊動力學與控制問題，并通過繩系張力與自旋運動的控制，實現(xiàn)了編隊系統(tǒng)自旋穩(wěn)定；文獻［12－15］研究了主星與子星連線和主星與地球連線的夾角隨時間變化規(guī)律，提出多種反饋控制方法來抑制繩系展開階段與穩(wěn)定階段的振動，并實現(xiàn)系統(tǒng)快速變軌；Williams［16］考慮了科里奧利力和重力梯度力對閉環(huán)繩系衛(wèi)星編隊旋轉展開與回收控制的影響，提出了一種編隊有效展開和回收的最優(yōu)控制方法；文獻［17－19］分析了二體繩系衛(wèi)星編隊展開過程姿態(tài)穩(wěn)定的條件和范圍，但未對多體編隊的旋轉展開及穩(wěn)定性進行研究；Mattias和Gunnar［20－21］將柔性網(wǎng)結構簡化為可變長度的多繩系結構，采用有限元法研究了空間柔性網(wǎng)自旋展開與控制。

然而，多數(shù)已有研究成果在研究繩系編隊的動力學特性時，均將編隊成員考慮為質點，使得其動力學模型無法反映成員姿態(tài)運動和系統(tǒng)構型之間的相互關系；而忽略重力梯度力則無法準確分析展開過程編隊的穩(wěn)定性及繩系的運動特性，因此其研究成果有明顯的局限性。本文針對輻射開環(huán)繩系衛(wèi)星編隊自旋展開控制問題，首先在考慮編隊平面自旋運動的條件下，建立了含主星姿態(tài)的系統(tǒng)動力學模型，分析了展開過程中主星自旋運動與繩長變化之間的耦合關系；在此基礎上，提出了重力梯度力補償條件下，主星勻速自旋、勻加速自旋時編隊的展開控制策略，并引入開環(huán)、閉環(huán)控制抑制繩系振蕩；同時針對重力梯度無補償?shù)那闆r，研究了主星角速度跟蹤重力梯度周期性變化的展開控制策略，使編隊穩(wěn)定展開；最后，本文結合仿真驗證了所提出展開方法的可行性和有效性。

1 編隊自旋展開動力學建模

1．1 系統(tǒng)描述及建模假設

輻射開環(huán)繩系衛(wèi)星編隊由位于系統(tǒng)中心的主星和用繩系連接到主星的子星組成，理想的輻射開環(huán)繩系衛(wèi)星編隊中各子星相對主星對稱分布，子星與主星用輕質繩系相連。編隊通過自旋提供的離心力保持編隊構型或控制編隊展開。編隊展開簡化過程如圖1所示。在建模過程中做如下假設：

圖1 繩系衛(wèi)星編隊展開示意圖Fig．1 Illustration of tethered satellite formation deployment

1）編隊運行于圓形Kepler軌道，主星和子星的運動嚴格定義在軌道面內，忽略面外運動。2）主星視為具有轉動半徑的剛性輪轂，繩系與主星連接點位于主星邊緣且呈對稱分布，子星作為點質量假設。

3）連接主星與子星的繩系為質量均勻分布的線彈性體，忽略橫向剛度和扭轉剛度，自旋展開過程始終保持張緊狀態(tài)。

4）重力場為理想中心力場，忽略大氣阻力、太陽光壓等攝動因素的影響、忽略系統(tǒng)內部摩擦。

1．2 坐標系定義

相關動力學建模參照坐標系如圖2所示，其中OXYZ為地心慣性坐標系。oxoyozo為軌道坐標系，其原點o位于系統(tǒng)質心，xo軸由地心指向系統(tǒng)質心方向，yo軸指向編隊運動方向，zo軸則由右手螺旋法則確定；obxbybzb為編隊本體固連坐標系，原點ob與軌道坐標系原點重合，xb軸指向繩系li與主星連接點處，yb軸位于軌道面內并垂直于xb軸，zb軸由右手螺旋法則確定。

相關變量定義如下：主星自旋角θi定義為參考時間內本體系相對于軌道系轉過的角度，子星i相對于主星的位置則由繩長li和繩系相對于主星的俯仰角αi表示，Ω為軌道角速度。

圖2 建模參照坐標系Fig．2 Reference frame for dynamic modeling

1．3 旋轉展開動力學模型

如圖2所示系統(tǒng)運行于圓形Kepler軌道，則質量元（繩系微元或子星）相對于軌道坐標系原點o的位置矢量可表示為

式中：r為主星輪轂半徑；λ為微元與主星邊緣連接點的距離；ex和ey為軌道坐標系對應坐標軸的單位方向矢量。此時，主星、子星i及繩系的動能可表示為

式中：M、mi為主星和子星i的質量；n為子星個數(shù)；ρ為繩系的線密度、li為與子星i連接繩系的總長度和展開長度；vc為系統(tǒng)質心的速度。

編隊系統(tǒng)主星、子星i及繩系的重力勢能為

式中：μ為地球萬有引力常數(shù)；Rc為地心到編隊質心矢量。對式（6）的分母部分進行泰勒展開并忽略高階項，則系統(tǒng)的重力勢能為

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)可表示為L＝T－V，根據(jù)拉格朗日定理對拉格朗日函數(shù)中的廣義坐標求導

式中：Qj為廣義外力。在實際的工程當中，由于繩系質量遠遠小于系統(tǒng)其他部分質量，因此可以忽略不計，即可認為ρ＝0，將系統(tǒng)的動能和勢能代入式（5）則可導出系統(tǒng)展開的動力學方程為

式中：uθi、uαi和uli分別為相應廣義坐標方向上的廣義控制力；fdg為重力梯度引起的廣義攝動力。廣義攝動力可按式（9）～式（11）計算得到。

從動力學模型可以看出，輻射開環(huán)繩系衛(wèi)星編隊自旋展開過程的控制變量為θi、li和αi，前兩者的控制可以通過主星實現(xiàn)，后者則必須由子星消耗能量進行控制。由于主星的幾何尺寸較大，能夠攜帶較多的燃料和能量發(fā)生裝置來實現(xiàn)展開過程的控制，但子星幾何尺寸較小且需要完成諸多任務，因此其能提供的控制量大小必然有限（僅限于提供補償重力梯度攝動的控制力）。綜合以上考慮，本文將主星的角速度和角加速度視為可以任意給定的量，繩系拉力也可以通過主星對繩長展開速度進行控制，而子星相對于主星的俯仰角控制則由前兩者的規(guī)劃實現(xiàn)，所以在設計展開控制律時主要考慮式（7）。為了減小因量級的巨大差異引起的仿真失真，對動力學式（7）進行歸一化處理，令＝li／l＊、槇r＝r／l＊為無量綱長度，升交角距ν為無量綱時間，引入無量綱變化：

導出式（7）的無量綱方程：

sin（θi－αi）＋3cos（θi－αi）sin（θi－αi）（13）式中：上標點號·表示相對于無量綱時間ν的導數(shù)；珘uαi為αi相對應的廣義力。

2 編隊自旋展開控制

對于輻射開環(huán)繩系衛(wèi)星編隊，不同的空間任務要求編隊有不同的繩長和自旋轉速，即使同一空間任務也有可能要求繩長和自旋轉速發(fā)生變化。所以理想的輻射開環(huán)構型自旋展開要求展開完成后繩系長度和自旋角速度滿足要求，同時構型保持穩(wěn)定，即繩系相對于主星的俯仰角速度為0，所以展開完成后系統(tǒng)的狀態(tài)可以描述為

式中：tf為展開終端時刻；為主星期望自旋角速度；le為期望繩長。

2．1 重力梯度力矩補償條件下的展開策略

子星重力梯度對系統(tǒng)自旋展開過程繩系相對于主星的俯仰角αi的攝動由式（10）表示，假設系統(tǒng)的狀態(tài)量 ［liαiθi］T能夠實時測量，將狀態(tài)量代入上述表達式，即可得到廣義的補償控制力uαi＝－fdgα，事實上子星重力梯度補償所需的控制由子星推力器輸出得到，如果推力器能夠輸出連續(xù)推力，則展開過程推力器對子星的控制力距T可表示為此時動力學方程式（7）可簡化為

1）主星勻速自旋展開策略

首先考察主星自旋角速度恒定時的展開過程，且在展開過程中保持αi不變，即有

方程為

此時繩長方程為

式中：l0為初始繩長。觀察得繩系勻速展開，同時展開速度與繩系相對于主星的俯仰角的正弦值成正比（滿足0°＜αi≤90°）。此時繩系張力和主星力矩的廣義控制可以表示為

當編隊展開完成后繩系相對于主星的俯仰角運動可以表示為

由式（21）可知繩系相對于主星的運動滿足重力擺，如果初始擺角αi≠0，則αi必然周期性振蕩，進而可能導致子星發(fā)生碰撞，為了避免展開結束時繩系擺角振蕩，可進一步將繩系按分段模式展開。

一種分段模式采用閉環(huán)控制，即在繩系相對于主星的俯仰角運動過程中引入二階阻尼項，此時展開規(guī)律為

式中：ts為勻速展開時間；k為與俯仰角阻尼運動相關的系數(shù)，將衰減階段代入式（7）得繩系擺動過程可以表示為

式（23）表示二階非線性系統(tǒng)，當αi為小量時可將其線性化并表示為

式（24）的特征值為

通過調整k的取值可以得到過阻尼、欠阻尼等系統(tǒng)，使繩系相對于主星的俯仰角最終收斂到0°。

另一種分段展開模式采用開環(huán)控制，即直接將繩系展開分為勻速展開階段和減速展開階段，使αi跟蹤繩速逐漸收斂到0°，此時繩系展開方程可以表示為

將減速展開階段代入式（7）得繩系擺動過程表示為

由式（28）可知，隨著繩速減小，繩系相對于主星的俯仰角會跟蹤繩速變化規(guī)律逐漸減小，最終收斂到0°。

2）主星勻加速展開策略

若主星勻加速時繩長為期望繩長，且αi保持不變，即＝A、li（t）＝le，代入式（16）可得

由式（30）得式（31）為一元二次方程，方程若有解則判別

式非負，即

式（32）必須在展開過程中都要滿足，所以得到極限條件下的自旋加速度為

此時方程有解，其解為

根據(jù)式（30）可知，在繩長不變而主星加速到期望轉速的過程中，繩系相對于主星的俯仰角是時變的，但當主星角加速度滿足一定條件時，隨著主星角速度增大，繩系相對于主星的俯仰角會收斂到0°。

式（36）為一階線性非齊次方程，自變量為時間t，將其寫為標準形式為

其中：

式中：

一階線性非齊次方程的通解可以表示為

式中：C為常數(shù)且其數(shù)值與繩系初始長度有關，如果繩系初始長度為0，將式（38）代入式（39）中，可得繩長變化函數(shù)為

對式（40）求導可得繩長速度變化函數(shù)為

2．2 重力梯度力矩無補償下的展開策略

與重力梯度補償受控時相同，若展開過程中主星自旋角速度不變，且為了保證子星俯仰角不變，即有，可得

根據(jù)式（43）可知繩系的展開速度由于重力梯度的影響不能穩(wěn)定在一個固定值，而是隨著繩系展開長度的增大，速度振蕩的幅值也增大。事實上為了保證繩系在重力梯度影響下能展開到期望繩長，編隊展開完成時的自旋角速度和繩長必須滿足以下約束：

觀察式（43），可以看出由于繩系長度增大導致重力梯度對編隊展開速度的影響增強，為了抑制重力梯度影響，令主星角速度變化符合子星重力梯度的變化規(guī)律，即主星角加速度為

將式（45）代入式（42）可得主星角速度周期性變化時，繩系展開速度可以表示為

從式（46）可知當主星角速度變化符合子星重力梯度的變化規(guī)律時，繩系展開速度不會因繩長增大而導致振蕩的幅值也增大。

3 仿真校驗與分析

根據(jù)上述理論建模與分析的結果，建立輻射開環(huán)繩系衛(wèi)星編隊自旋展開數(shù)值仿真模型。整個仿真模型只考慮繩系編隊面內姿態(tài)而忽略面外姿態(tài)，在重力梯度補償和無補償條件下結合不同自旋展開策略驗證了編隊展開的可行性和有效性。主要仿真參數(shù)如表1所示。

表1 繩系衛(wèi)星編隊仿真參數(shù)Table1 Simulation parameters of tethered satellite formation

研究編隊運行軌道為開普勒圓軌道，所以軌道角速度恒定為Ω＝1．1×10－3rad／s。事實上編隊如果運行在橢圓軌道，系統(tǒng)動力學方程求導時質心速度的偏導數(shù)不再為零，軌道偏心率和半長軸將會被引入動力學模型，同時對于較大偏心率的橢圓軌道，需要確保編隊自旋角速度在近地點能夠克服重力梯度并有效展開。假設要求展開完成后編隊的期望自旋角速度和期望繩長為

1）重力梯度補償

在重力梯度補償且主星角速度恒定時，根據(jù)繩系展開方程式（18），為了使展開速度最大選取初始俯仰角為α0＝90°，圖3為繩長及繩系相對于主星俯仰角變化曲線，由圖可以看出繩系展開完成后將相對于主星以初值為振幅振蕩，編隊構型不能保持。圖4為展開過程主星控制力矩及繩系張力變化曲線，可以看出繩系內拉力在展開完成后隨著繩系擺動而振蕩，幅值近似為穩(wěn)定值的3倍，導致繩系的可靠性降低、壽命減小。

圖3 主星勻速自旋時繩系展開長度及俯仰角變化Fig．3 Deployment length and pitch angle of tether when central body has a uniform spinning speed

圖4 主星勻速時繩系自旋展開控制力變化Fig．4 Control force of tether when central body has a uniform spinning speed

圖5和圖6為旋轉展開末端引入二階阻尼項的系統(tǒng)參數(shù)變化曲線，初始俯仰角為α0＝90°，k＝0．02，采用過阻尼可以使繩系相對于主星的俯仰角呈指數(shù)型收斂，得到期望構型，但是需要繩系有回收過程，且回收繩長很大，同時主星的控制力矩在回收段有較大幅值。

為了減小繩系回收長度，選擇系數(shù)k＝0．000 2，圖7和圖8為引入一般阻尼后繩系參數(shù)變化曲線，可以看出雖然子星相對于主星的俯仰角收斂較慢，但是冗余展開繩長相對于過阻尼要小，綜合效果得到的釋放時間小于過阻尼的情況，同時繩系張力和主星控制力矩幅值減小。

圖5 過阻尼自旋展開時繩系長度與俯仰角變化Fig．5 Length and pitch angle of tether with spinning deployment by overdamping

圖6 過阻尼自旋展開時繩系控制力變化Fig．6 Control force of tether with spinning deployment by overdamping

圖7 小阻尼自旋展開時繩系長度與俯仰角變化Fig．7 Length and pitch angle of tether with spinning deployment by small damping

圖8 小阻尼自旋展開時繩系控制力變化Fig．8 Control force of tether with spinning deployment by small damping

圖9為采用開環(huán)控制末端減速模式下繩系參數(shù)變化曲線，圖中令ts＝0得極限形式下的減速因子u＝0．1Ω，與閉環(huán)控制相比開環(huán)控制不能保證繩系相對于主星俯仰角完全收斂于0°，但是繩系無回收階段且拉力變化平滑，同時主星控制力矩幅值的量級較小，對執(zhí)行機構要求降低。

圖9 主星勻速繩系末端減速展開優(yōu)化下繩系參數(shù)變化Fig．9 Parameters of tether with optimized deceleration deployment rate when central body has a uniform spinning speed

在重力梯度補償且主星勻加速時，選擇角加速度時有一定的約束（式（31）所示），仿真過程取最大角加速度A＝4．84×10－6rad／s2。圖10和圖11為恒定繩長主星勻加速到期望角速度過程參數(shù)變化，從圖中可以看出由于編隊期望自旋角速度不大，子星相對于主星的俯仰角αi未收斂到0°。若沒有限定主星的最終自旋角速度，繩系定長而主星加速這種展開方式能夠實現(xiàn)繩系相對于主星俯仰角收斂于0°，但需要較長的加速過程，如圖12所示。

圖10 繩長恒定主星勻加速下俯仰角變化曲線Fig．10 Pitch angle of tether with constant tether length when central body has a uniform acceleration

圖11 繩長恒定主星勻加速下控制力輸入變化Fig．11 Control force input for tether with constant tether length when central body has a uniform acceleration

圖12 繩長恒定主星勻加速下系統(tǒng)參數(shù)變化Fig．12 Parameters of system with constant tether length when central body has a uniform acceleration

圖13和圖14為主星勻加速且繩系展開至期望繩長過程系統(tǒng)參數(shù)變化曲線，仿真過程α0＝9°，角加速度與恒定繩長主星勻加速算例相同為A＝4．84×10－6rad／s2。從圖中可以看出這種展開方式能夠保證繩系達到期望繩長的同時主星加速度到期望角速度，展開完成后繩系將以初始α0振蕩。

圖13 主星勻加速展開繩長及俯仰角變化Fig．13 Deployment length and pitch angle of tether when central body has a uniform acceleration

圖14 主星勻加速展開繩系控制力變化Fig．14 Control force of tether when central body has a uniform acceleration

2）重力梯度無補償

圖15為重力梯度力無補償且主星勻速時展開繩長及繩速變化曲線，仿真初始值α0＝90o，由于重力梯度力的影響，繩系展開速度不再恒定，而是周期性振蕩且振幅增大，速度的振蕩導致繩系內拉力變化較為劇烈，如圖16所示，將使繩系的壽命減小、系統(tǒng)可靠性降低。

圖15 重力梯度無補償主星勻速時展開繩長及繩速變化Fig．15 Deployment rate and length of tether without equalizing disturbance of gravity gradient

圖16 重力梯度無補償主星勻速時繩拉力及俯仰角變化Fig．16 Force and pitch angle of tether without equalizing disturbance of gravity gradient

圖17為主星角速度變化符合子星重力梯度變化規(guī)律時繩系參數(shù)的變化曲線，可以看出對主星角速度進行規(guī)劃能夠有效抑制繩長增大引起的重力梯度攝動增強，同時為了消除展開完成后繩系相對于主星的周期性擺動，可以在展開末段采用式（22）、式（26）所示的分段展開方式，得到與重力梯度力補償類似的結果。

圖17 主星角速度跟蹤重力梯度旋轉展開時繩系參數(shù)變化Fig．17 Parameters of tether when the angular velocity of central body tracking gravity gradient force

4 結 論

1）考慮新型的輻射開環(huán)繩系衛(wèi)星編隊，引入主星姿態(tài)及幾何尺寸建立系統(tǒng)的動力學模型，分析了展開過程中主星自旋運動與繩長變化之間的耦合關系。

2）對于重力梯度力補償?shù)木庩?，設計了主星勻速、勻加速自旋兩種展開控制策略。針對展開完成后繩系姿態(tài)的振蕩，提出末端減速展開的開環(huán)優(yōu)化振動抑制控制方法、姿態(tài)角反饋的閉環(huán)振動抑制控制方法，使系統(tǒng)展開完成后穩(wěn)定運行。

3）對于重力梯度力無補償?shù)木庩?，首先研究了主星勻速自旋的展開控制策略。由于重力梯度力影響，繩系展開速度存在周期性幅值增大的振動，通過引入主星角速度跟蹤重力梯度變化抑制繩速的振蕩，提高展開過程的可靠性。

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Dynamics and control during spinning deployment for hub－and－spoke configured multi－tethered satellite formation

SU Fei，ZHAI Guang＊，ZHANG Jingrui，ZHANG Yao
School of Astronautics，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China

The deployment strategies for“hub－and－spoke”configured tethered satellite formation are investigated in circular orbit．Firstly，the deployment dynamics model is established based on Lagrangian method under some reasonable assumptions．The dynamical coupling between the attitude of central body and the tether length is analyzed，and then the deployment strategies for the cases with and without gravity gradient compensation are developed．By planning the deployment rate and angular velocity of central body，the successful deployments are achieved．Finally，some mathematical simulations for the proposed strategies are implemented．The simulation results indicate that using the proposed deployment strategies，the configuration can be maintained effectively and steadily．

tethered satellite formation；attitude of central body；gravity gradient force；spinning deployment；configuration stability

2015－09－15；Revised：2015－11－04；Accepted：2016－01－15；Published online：2016－02－02 08：49

URL：www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160202．0849．002．html

s：National Natural Science Foundation of China（11102018）；National High－tech Research and Development Program of China（2013AA7042018）

V445．4

A

1000－6893（2016）09－2809－11

10．7527／S1000－6893．2016．0021

2015－09－15；退修日期：2015－11－04；錄用日期：2016－01－15；網(wǎng)絡出版時間：2016－02－02 08：49

www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160202．0849．002．html

國家自然科學基金 （11102018）；國家“863”計劃 （2013AA7042018）

＊通訊作者．Tel．：010－68918054 E－mail：gzhai＠bit．edu．cn

蘇飛，翟光，張景瑞，等．輻射開環(huán)繩系衛(wèi)星編隊自旋展開動力學與控制策略［J］．航空學報，2016，37（9）：28092－819．SU F，ZHAI G，ZHANG J R，eta l．Dynamics and control durings pinning deployment forh uba－nds－poke configured multit－ethereds atellite formation［J］．Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2016，37（9）：28092－819．

蘇飛 男，碩士研究生。主要研究方向：繩系衛(wèi)星系統(tǒng)動力學與控制。

Tel：010－68918054

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翟光 男，博士，副教授，碩士生導師。主要研究方向：航天器制導、導航與控制技術。

Tel：010－68918054

E－mail：gzhai＠bit．edu．cn

＊Corresponding author．Tel．：010－68918054 E－mail：gzhai＠bit．edu．cn