蘇榮亞　于波

【摘要】數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗具有過程與對象的雙重屬性，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)“四基”的目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的樞紐和關(guān)鍵，它為數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)提供了感性材料；為概念理解提供了解釋和組織的背景；并利于學(xué)生回憶和提取數(shù)學(xué)概念。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念 數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)

【基金項目】系西南大學(xué)2015年度教師教學(xué)發(fā)展研究項目（項目編號SWFZ20150002）成果。

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）06-0110-02

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》將數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗作為數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之一。學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗既是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，更是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的資源。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基本構(gòu)成要素，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本環(huán)節(jié)。由于數(shù)學(xué)概念本身以及學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的特點，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷從具體到抽象、從簡單到復(fù)雜的過程，而在這個過程中，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗構(gòu)成了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的重要組成部分。

一、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的教育意義

1.經(jīng)驗的內(nèi)涵

“經(jīng)驗”的一般概念包括了知識、技巧，是體驗或觀察某一事或某一事件后所獲得的心得并應(yīng)用于后續(xù)作業(yè)。而這些以前獲取的知識技巧，對于以后解決問題十分關(guān)鍵。在西方，較早論述經(jīng)驗的哲學(xué)家以客觀唯心主義的創(chuàng)始人柏拉圖為代表。在柏拉圖（Plato）看來，經(jīng)驗指的是習(xí)以為?；蛘甙堰^去很多偶然嘗試的結(jié)果保存下來，是附屬于感覺器官的低級認(rèn)識。美國教育家杜威（JohnDewey）認(rèn)為，經(jīng)驗不是一種呆板、封閉的東西，它是充滿活力的、不斷發(fā)展的，經(jīng)驗可以成為同理性和思考對抗的東西，也可以使我們擺脫感覺、欲望和傳統(tǒng)等局限性的影響。[1]可以看到，經(jīng)驗產(chǎn)生于相互作用的過程，并且對未來產(chǎn)生積極或者消極的影響。經(jīng)驗是一個很大的范疇，既是一種特殊的知識、技巧，又是包含了過程性的一種體會和感悟。

2.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的內(nèi)涵

在公開發(fā)表的論文中，關(guān)于數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的內(nèi)涵并沒有形成統(tǒng)一，但都強調(diào)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是一種感受、體驗，強調(diào)了過程性、結(jié)果性以及與其他數(shù)學(xué)知識的相互聯(lián)系和影響。比如，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》[2]認(rèn)為“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學(xué)活動過程的結(jié)果。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在‘做的過程和‘思考的過程中積淀?！蓖跣旅裾J(rèn)為，“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是過程與結(jié)果相統(tǒng)一的產(chǎn)物，主要是一種具有過程性、創(chuàng)造性的個人知識”[3]，概括來說，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是指個體在具體數(shù)學(xué)活動中與學(xué)習(xí)環(huán)境相互作用后所獲得的經(jīng)歷和感悟。

首先，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的產(chǎn)生來源于學(xué)習(xí)者與學(xué)習(xí)環(huán)境的相互作用。在一般的教學(xué)里，包含了教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”這兩種關(guān)系。學(xué)習(xí)是通過學(xué)生的主動行為而發(fā)生的；他學(xué)到了什么取決于他做了什么，而不是教師做了什么[4]。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗與學(xué)習(xí)者和環(huán)境如何互動直接相關(guān)，學(xué)習(xí)者互動的方式、互動的內(nèi)容、互動的情感都影響數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的生成。其次，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是一種邏輯數(shù)學(xué)經(jīng)驗。皮亞杰認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教育中存在著和主體動作有關(guān)的、彼此很不相同的兩種“經(jīng)驗”。一種是“物理經(jīng)驗”（廣義的），指作用于物體以發(fā)現(xiàn)物體本身的特性；另一種可被稱作“邏輯數(shù)學(xué)經(jīng)驗”，這種經(jīng)驗不是從特定物體的物理特性收集其信息，而是從兒童作用于物體的實際動作收集信息的[5]。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是一種邏輯數(shù)學(xué)經(jīng)驗，它要求在一定特定的環(huán)境下對特定的目標(biāo)進行行為、思維上的操作，從而去認(rèn)識、理解事物。最后，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗本質(zhì)上是一個過程性目標(biāo)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出“幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)”[6]，并且運用了過程性目標(biāo)“經(jīng)歷、體驗、探索”等術(shù)語來描述數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。對于與其他數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的關(guān)系來說，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗?zāi)繕?biāo)無法單獨存在，它總是滲透在基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法的學(xué)習(xí)過程之中，指向?qū)W習(xí)的整個過程。

3.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗對學(xué)生發(fā)展的作用

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是學(xué)生必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)有效學(xué)習(xí)的前提和關(guān)鍵。史寧中、柳海明認(rèn)為，基礎(chǔ)教育學(xué)科教學(xué)實施素質(zhì)教育的基本路徑之一是變“雙基”為“四基”[7]；黃翔等人認(rèn)為，“獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗應(yīng)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)關(guān)注的目標(biāo)”[8]。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗在幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識、發(fā)展學(xué)生抽象思維、形成智慧方面等具有重要作用。

首先，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗?zāi)軌驇椭鷮W(xué)生理解數(shù)學(xué)知識。數(shù)學(xué)的一大特點就是抽象性，這使得學(xué)習(xí)者無法一開始就能理解數(shù)學(xué)形式化的語言。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗包括了知識經(jīng)驗、方法經(jīng)驗、過程性經(jīng)驗、情感經(jīng)驗等，這些已有的經(jīng)驗奠定了學(xué)習(xí)者繼續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，能夠幫助學(xué)生遇到新問題時形成一種解決問題的直覺。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗?zāi)軌蛑笇?dǎo)學(xué)生自發(fā)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的意義，避免學(xué)習(xí)者理解上的困難。其次，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是實現(xiàn)其他數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的重要紐帶。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的生成需要結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，這些內(nèi)容可以是知識的、技能的也可以是學(xué)習(xí)者對數(shù)學(xué)的情感體驗。因此數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的生成滲透于完成其他數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的過程之中，反過來，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗又能動的提升其他數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的達(dá)成水平。最后，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗有助于形成智慧。數(shù)學(xué)知識本身并不具有終極的教育價值，而更為重要的是，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程當(dāng)中經(jīng)歷思考對思維的訓(xùn)練，從而促進人智慧的發(fā)展。皮亞杰認(rèn)為，人的智力發(fā)展的最后一個階段為形式運算或命題運算階段，就是一般講的抽象思維階段，這是認(rèn)知發(fā)展的理想目標(biāo)，因此教育的最高目標(biāo)是具有邏輯推理能力和掌握復(fù)雜抽象概念的能力[9]。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗強調(diào)讓學(xué)習(xí)者經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識發(fā)展的過程，自主建構(gòu)對數(shù)學(xué)知識的理解，學(xué)習(xí)者不再是被動的接受知識，而是在學(xué)習(xí)過程中不斷去探索、反思、糾正，在這樣的學(xué)習(xí)過程中有助于學(xué)生創(chuàng)造性和批判能力的形成，為最終發(fā)展學(xué)生的智慧提供了可能。

二、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的條件

1.數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵

在數(shù)學(xué)中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來，數(shù)學(xué)概念則是構(gòu)成它們的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)的一個顯著特征就是概念眾多，而且不同分支的數(shù)學(xué)概念往往有不同的特點，因此概念理解是數(shù)學(xué)教學(xué)中的最基本也是最主要的任務(wù)之一[10]。從數(shù)學(xué)本身的發(fā)展來看，數(shù)學(xué)概念主要來源于兩個方面：一是直接從客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式反映而得，二是在抽象的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上經(jīng)過多級抽象所獲得[11]。因此，數(shù)學(xué)概念可以相應(yīng)的分為兩類：一類是對現(xiàn)實對象或關(guān)系直接抽象而形成的概念，這類概念與現(xiàn)實比較貼近；另一類是純數(shù)學(xué)抽象物，這類概念是抽象邏輯思維的產(chǎn)物，是一種數(shù)學(xué)邏輯構(gòu)造，沒有客觀實在與之對應(yīng)[12]。但是，從學(xué)習(xí)者習(xí)得數(shù)學(xué)概念的角度來看，數(shù)學(xué)概念形成并不完全是一個邏輯的過程，按照拉卡托斯的觀點，數(shù)學(xué)定義并非一開始就是精準(zhǔn)的，其中有一個抽象化和精致化的過程。學(xué)生需要循序漸進的建立對數(shù)學(xué)概念的理解，比如范希爾理論對幾何思維水平的刻畫，他反映了學(xué)生對幾何概念的理解具有順序性。此外，作為學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)概念，又會由于學(xué)習(xí)者自身的認(rèn)識結(jié)構(gòu)水平的不同，存在著對數(shù)學(xué)概念不同水平的理解。

2.數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的方式

對于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，主要包括概念形成與概念同化兩種方式。概念形成是以學(xué)生的直接經(jīng)驗為基礎(chǔ)，用歸納的方式抽取出同一類事物的共同屬性，從而達(dá)到對概念的理解；概念同化則以學(xué)生的間接經(jīng)驗為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)語言為工具，依靠新、舊概念的相互作用理解概念[13]。概念形成與概念同化是兩個相互促進的過程，概念形成包含著同化的因素，要用具體的、直接的感性材料同化新概念；同樣，概念同化也不能脫離分析、抽象和概括，因而含有概念形成因素[14]。

3.數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的關(guān)系

數(shù)學(xué)概念由于上述的各種特征，它同數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗一樣，具有對象與過程的雙重屬性，不管是概念形成還是概念同化都離不開數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。從對象性的靜態(tài)角度看，數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)者需要習(xí)得的一種數(shù)學(xué)知識；從過程性的動態(tài)角度來看，數(shù)學(xué)概念的習(xí)得需要學(xué)習(xí)者不斷經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動從而建構(gòu)知識對自身的意義。不管是概念形成還是概念同化，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)都是一個循序漸進有層次的過程，學(xué)習(xí)者都必須經(jīng)歷多種數(shù)學(xué)活動，逐漸形成從具體到抽象的理解，然后又在不同的問題情境中檢驗、加深理解的程度。對于數(shù)學(xué)概念的理解，維納與稻爾提出的“概念意向”、“概念定義”以及斯根普提出的“工具性理解”與“關(guān)系性理解”都充分說明了過程對于理解的重要性。數(shù)學(xué)概念的理解是一個從簡單到復(fù)雜、從具體到抽象、從孤立到整體的循序漸進的過程，在這個過程中，伴隨著利用、重組、改造數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是概念理解的溝通工具以及思維的材料，教師應(yīng)在概念理解的不同層次開展適宜的數(shù)學(xué)活動，用多種方式對數(shù)學(xué)概念進行表征，幫助學(xué)生建立概念理解的過程。

三、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗對數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的作用

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗與數(shù)學(xué)概念都具有過程性和對象性的雙重屬性，對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的關(guān)注，從根本上說就是對數(shù)學(xué)概念理解順序性、過程性的強調(diào)。這種建立在大量數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗上的學(xué)習(xí)，對于促進學(xué)生的概念理解具有重要作用。

1.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗為概念學(xué)習(xí)的各個階段提供了感性經(jīng)驗

感性材料或感性經(jīng)驗是影響概念學(xué)習(xí)的重要因素。雖然這些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗帶有明顯的個體認(rèn)知成分，并且存在原始、膚淺、片面、模糊的特征，但這類直接數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是建構(gòu)個人理解不可或缺的重要素材。如果缺乏這些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，學(xué)生的感性材料和感性經(jīng)驗較少，就會導(dǎo)致學(xué)生對概念的感知不充分，概念的本質(zhì)屬性和無關(guān)屬性無法充分比較，對掌握概念所必須的經(jīng)驗不能建立起來。不管是稻爾提出的“數(shù)學(xué)的三個世界”、皮亞杰的“反思性抽象理論”、還是布魯納的“表征理論”，都解釋了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展具有順序性，是從具體到形式化的過程，而在這個過程中必須以個體生理上的感知和行為為基礎(chǔ)。換句話說，學(xué)生頭腦形成的數(shù)學(xué)概念都有具體形象的“影子”，而這種”影子”來源于學(xué)生學(xué)習(xí)概念時的感知、操作等具體活動。通過豐富的數(shù)學(xué)活動，學(xué)生能對數(shù)學(xué)概念進行多重表征，這有利于學(xué)習(xí)者從各種表征中獲得共同的性質(zhì)從而成功的建立數(shù)學(xué)概念，同時也能增強這一理解遷移至其他領(lǐng)域的能力。

2.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗為概念理解提供了解釋和組織的背景

數(shù)學(xué)概念之間具有廣泛的聯(lián)系，這種聯(lián)系包括概念與背景的聯(lián)系、概念結(jié)構(gòu)本身的聯(lián)系，數(shù)學(xué)概念總是處于一個組織良好的概念體系之中。因此，個別概念的意義總有部分是來自于其他概念的相互關(guān)系，或出自系統(tǒng)的整體特征[15]。數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)總是涉及新舊概念的信息，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗?zāi)転槲覀兲峁┙忉屝畔⒌谋尘爸R，幫助學(xué)習(xí)者建立知識之間的內(nèi)在的“非人為”的邏輯聯(lián)系，從而將難以理解的數(shù)學(xué)信息組織成了一個連貫的、有意義的整體。沒有這種貫穿知識之間的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，學(xué)生將難以對信息做出前后一貫的解釋。比如，在學(xué)習(xí)《圓的面積》時，教師可以指導(dǎo)學(xué)生回憶“圓的周長公式、已學(xué)圖形的推到過程”，幫助學(xué)生回憶和提取“未知圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為已學(xué)圖形來推導(dǎo)面積公式”這一重要策略。這一策略包含了豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，不僅涉及學(xué)習(xí)這些面積公式的整個學(xué)習(xí)經(jīng)歷（包括認(rèn)知經(jīng)驗、情感體驗性經(jīng)驗、動作技能性經(jīng)驗），還包含了對這些數(shù)學(xué)概念知識的回憶和鞏固。因此，學(xué)生以前的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗不僅為“圓的面積”這一新概念的學(xué)習(xí)提供了方法上的借鑒，更提供了一個概念間相互聯(lián)系的學(xué)習(xí)背景，幫助學(xué)生理解與組織新的數(shù)學(xué)概念。

3.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗影響學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的回憶和提取

一般來講，積累了豐富數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的數(shù)學(xué)概念，我們往往有更好的記憶；而對于缺乏數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗機械記憶的數(shù)學(xué)概念，記憶的效果則不太好。APOS理論指出，數(shù)學(xué)對象、圖式的形成是一種漸進的建構(gòu)過程，一個數(shù)學(xué)概念由“過程”到“對象”需要經(jīng)過多次的反復(fù)、循環(huán)漸進，螺旋上升的理解。在整個環(huán)節(jié)中，相應(yīng)的具體操作或者數(shù)學(xué)活動提供了必要的基礎(chǔ)，使學(xué)生在頭腦中逐漸建立起數(shù)學(xué)知識的直觀結(jié)構(gòu)形象。在這一點上，菲爾茲獎的獲得者瑟斯頓在描述數(shù)學(xué)的特征時，也提到“數(shù)學(xué)具有驚人的‘壓縮性”，而這種壓縮性來源于對數(shù)學(xué)知識的整體認(rèn)知，而整體認(rèn)知則需要學(xué)習(xí)者經(jīng)歷對數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展、應(yīng)用的全過程的參與和體驗。數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是循環(huán)上升的，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗?zāi)転椴煌橄蟪潭鹊膶W(xué)習(xí)提供多樣化的感性材料（知識領(lǐng)域、情感領(lǐng)域、動作領(lǐng)域），還能強化學(xué)習(xí)者的理解程度，提高學(xué)生回憶和提取新、舊知識的速度和質(zhì)量。

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作者簡介：

蘇榮亞（1990，—），女，重慶人，西南大學(xué)教育學(xué)部在讀碩士研究生，研究方向為基礎(chǔ)教育課程改革。

于波（1958，6—），女，河北易縣人，西南大學(xué)教授，教師教育學(xué)院研究部主任，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教育研究。