中厚耦合板結構的振動特性分析

王久法，薛 開，李秋紅

（1.中國船舶重工集團公司 第七一○研究所，宜昌443003；2.哈爾濱工程大學 機電工程學院，哈爾濱 150001）

中厚耦合板結構的振動特性分析

王久法1，薛 開2，李秋紅2

（1.中國船舶重工集團公司 第七一○研究所，宜昌443003；2.哈爾濱工程大學 機電工程學院，哈爾濱 150001）

基于Mindlin板理論，采用改進傅立葉級數(shù)的方法對任意彈性邊界條件和耦合條件下的耦合板進行了振動分析。為建立通用的結構模型，在耦合板結構的耦合邊上均勻布置六種類型線性約束彈簧模擬耦合條件，在非耦合邊上布置五種類型的線性約束彈簧模擬邊界條件。耦合板結構的彎曲振動位移函數(shù)和面內振動位移函數(shù)表示為標準的二維傅立葉余弦級數(shù)和輔助級數(shù)的線性組合，通過輔助級數(shù)的引入，解決了位移導數(shù)在邊界不連續(xù)的問題。利用Hamilton原理建立求解方程，推導出中厚耦合板結構的振動控制方程的矩陣表達式，通過求解矩陣方程可以得到耦合板結構的固有頻率和響應。通過數(shù)值仿真分析計算，并與有限元結果和實驗進行比較，驗證了該方法的準確性。

耦合板；Mindlin理論；改進的傅立葉級數(shù)；任意彈性邊界條件

0 引 言

耦合板結構作為一種基本的單元構件，被廣泛應用于航空航天、船舶工程和土木工程等諸多領域中，如船體、車身都可以簡化為若干塊板結構相互連接而成的耦合板系統(tǒng)。耦合板結構的振動特性對系統(tǒng)的綜合性能有著重要的影響，為了深入地了解其振動特性，為系統(tǒng)的減振降噪提供基礎，近年來，眾多的學者對耦合板結構的振動特性進行研究，提出了各種建模方法。

Guyader等人[1-2]采用模態(tài)分析技術研究耦合結構振動能量傳輸特性，Cremer等人[3-4]從彈性波傳播的角度研究了兩個互成直角的耦合板的結構振動問題，Cuschieri[5]用導納功率流法、Kessissoglou[6]采用波傳遞與模態(tài)分析相結合的方法研究了L-型耦合板通過連接處的振動功率流。上述的這些研究只考慮了彎曲振動間的耦合作用，忽略面內振動的耦合。忽略面內振動會在高頻處會產生較大的偏差，為了解決這個問題，一些學者研究了考慮面內振動時耦合板的振動特性。Cuschieri[7]用導納功率流法、Farag[8]采用模態(tài)法、Wang[9]用子結構法、kessissoglou[10]用彈性波理論、李凱[11]利用振動聲強及能量可視化技術、Tian[12]采用統(tǒng)計能量法分別分析了L板的功率流傳遞特性，杜敬濤[13]用改進傅立葉級數(shù)法研究了耦合板在任意邊界條件下的振動特性。

以上的研究在建立振動模型時都是基于Kirchoff板理論，此理論忽略了板的橫向剪切變形和轉動慣量的影響，因而會產生一定的誤差。當耦合板的厚度增加時，此理論將不再適用。因此一些學者用Mindlin理論，同時考慮了面內振動的影響，Liu等人[14]采用波傳播法研究了耦合板的振動特性。不過，這些研究為了簡化問題的分析難度，在建立邊界條件時，將邊界條件假設為經典邊界條件，而且認為兩板間的耦合是剛性的，對于更符合工程實際的彈性邊界和彈性耦合條件，尚未有涉及。

為了研究結構在彈性邊界條件下的振動，Li等人[15-17]提出了改進傅立葉級數(shù)的方法對矩形板、圓柱殼、圓板等結構的振動特性進行了研究。本文在上述研究的基礎上，基于Mindlin板理論和面內振動理論，結合Hamilton原理，以改進傅立葉級數(shù)法研究了在任意邊界條件和耦合條件下耦合板的振動特性。其中，耦合板以任意角度耦合。任意的邊界條件和耦合條件通過均勻布置的彈簧來模擬。彎曲振動的位移函數(shù)和面內振動的位移函數(shù)都表示為標準的二維傅立葉余弦級數(shù)和四項輔助級數(shù)的線性組合，通過對未知系數(shù)求極值，得到與振動控制方程等價的矩陣表達式，耦合板的振動頻率和響應可通過求解矩陣而得到。最后給出了數(shù)值仿真結果，通過和實驗及有限元結果進行比較，驗證了本方法的準確性。

1 理論模型的建立

在以往的研究中，耦合板結構模型的耦合角度通常假設為直角，耦合條件假設為剛性耦合，邊界條件局限于經典邊界條件。本文為了建立耦合板結構的通用模型，采用約束彈簧來模型耦合條件和邊界條件，模型如圖1所示。

耦合條件通過在耦合邊設置三種類型的位移約束彈簧和三種類型的旋轉約束彈簧來描述，通過改變其剛度值可以模擬任意的耦合條件，同時通過這六類彈簧可以全面考慮耦合板結構中的彎矩、橫向剪切、面內剪切以及縱向作用四種效應。非耦合邊分別設置橫向位移、面內位移、旋轉和扭轉等五種類型的約束彈簧，通過改變其剛度值來對任意的邊界條件進行模擬。例如將旋轉約束彈簧剛度值設置為零，而剩余四種類型的彈簧剛度設置為無窮大，就相當于模擬了彎曲振動為簡支、面內振動為固支時的邊界條件。

圖1 任意邊界條件和耦合條件下耦合板結構示圖Fig.1 A couple plate structure with general elastic boundary support and coupling conditions

由彈性力學知識可得，耦合板結構的Hamilton方程為：

式中：V代表耦合板結構的總勢能，T代表耦合板結構的總動能，Wext為施加于耦合板結構上的外力所做的功。對圖1所示的耦合板結構，總勢能和總動能可寫為：

式中：V1bend、T1bend、V1in、T1in、V1spring、W1ext分別為板1彎曲振動的勢能和動能、面內振動的勢能、動能以及彈簧勢能和外力所做的功，V2bend、T2bend、V2in、T2in、V2spring、W2ext分別為板2彎曲振動的勢能和動能、面內振動的勢能、動能以及彈簧勢能和外力所做的功，Vcouple為兩板間的耦合勢能。其中：

板2彎曲振動的勢能V2bend、動能T2bend、面內振動的勢能V2in、動能T2in以及彈簧勢能V2spring，可以通過將公式（5）-（10）中的下標1換成2得到。

式中：w1、ψ1x和ψ1y為板1彎曲振動沿z1方向的位移、沿x1方向的轉角和y1方向的轉角，u1和v1為面內振動沿x1和y1方向的位移。f（x1，y1）為施加于板1上的外力，當其為點力時，f（x1，y1）=Fδ（x1-x0）（y1-y0），δ為Delta函數(shù)，F(xiàn)為力的幅值，x0和y0為外力作用點的坐標值。a1和b為板的長度和寬度，ρ1為密度，μ1為泊松比，h1為厚度，為彎曲剛度，k為剪切系數(shù)，剪切剛度G1=E1/［2（1+μ1）］。 k1x0、K1x0和K1yx0（k1xa、K1xa和K1yxa）為在x1=0（x1=a1）處橫向位移、旋轉和扭轉約束彈簧剛度，k1y0、K1y0和K1xy0（k1yb、K1yb和K1xyb）為在y1=0（y1=b）處橫向位移、旋轉和扭轉約束彈簧剛度。以上變量都是與板1相關的變量，將這些變量中的下標1改為2，則表示為與板2相關的參數(shù)。

兩板的耦合勢能為：

式中：θ為兩板間的耦合夾角，Kc1、Kc2、Kc3、kc1、kc2和kc3分別為六類耦合彈簧的剛度系數(shù)。當六類耦合彈簧的剛度系數(shù)都取為無窮大時，耦合板結構為剛性耦合。

2 耦合板的位移函數(shù)

板1彎曲振動的位移函數(shù)、兩個轉角函數(shù)以及面內振動位移函數(shù)可通過沿x和y軸方向的兩個分量來描述，本文中采用二維改進傅立葉級數(shù)展開來表示：

式中：λm=mπ/a1，λn=nπ/b，l=1、2，分別為用來描述板結構彎曲振動和面內振動的未知Fourier系數(shù)和輔助級數(shù)的系數(shù)，與x1相關的輔助函數(shù)表示為：

與y1相關的輔助函數(shù)可以將（17）-（18）式中的a1和x1分別用b和y1進行替換得到。從（12）-（16）式可以看出，彎曲振動和面內振動的位移函數(shù)和轉角函數(shù)展開時除了標準的二維傅立葉級數(shù)，還有四項輔助的單傅立葉級數(shù)。在四條邊界上，位移和轉角關于x1或y1的一階導數(shù)潛在的不連續(xù)將有效地轉移到了輔助項，因此，位移函數(shù)和轉角函數(shù)在整個板的求解域內展開時都有連續(xù)的一階導數(shù)。所以這種傅立葉級數(shù)解形式，不僅適用于任意邊界條件，也可以改善級數(shù)的收斂性。板2的振動位移函數(shù)也可參照板1的形式寫出。

將（12）-（16）式代入哈密爾頓方程（1）中，并寫成矩陣的形式有：

其中：A=［A1，A2］T，A1為板1振動位移的展開系數(shù)組成的列向量，A2為板2振動位移的展開系數(shù)組成的列向量。A1形式為：

3 振動特性分析

顯然，對于任意激勵頻率ω耦合板結構的振動響應的Fourier系數(shù)向量可以由（19）式得到。將響應系數(shù)代入方程（12）-（16）中，即可得到該激勵下耦合板結構的振動位移分布。當外力F=0時，即可進行模態(tài)分析，耦合板系統(tǒng)的固有頻率和特征向量可以通過求解（19）式的矩陣特征值而得到，將特征向量代入方程（12）-（16）中，即可得到系統(tǒng)的振型。

結構導納常用來描述結構動力學特性，其反映了結構對于輸入激勵的響應情況。在計算出耦合板結構的振動位移后，結構導納為：

式中：ν為結構振動的響應速度，F(xiàn)為激勵力。

根據(jù)功率流的定義，某一激勵頻率下輸入結構中的時間平均功率流：

式中：Pin為時間平均功率流，F(xiàn)（t）為作用力的瞬時大小，v（t）為該點的振動響應速度，*表示取復共軛，T為時間間隔。對于簡諧振動，F(xiàn)（t）=Fejωt，v（t）=vejωt，結合（22）式，（21）式可以寫為：

4 數(shù)值仿真與實驗分析

耦合板的結構參數(shù)及其材料參數(shù)為：板1和板2的長度分別為a1=0.25 m和a2=0.25 m，寬度為b1=b2=0.5 m，板的密度為ρ＝2 700 kg/m3，彈性模量E＝70 GPa，泊松比μ＝0.28，剪切系數(shù)k＝5/6，結構阻尼η＝0.01。為了表述方便，本文中用C表示固支邊界條件，F(xiàn)表示自由邊界條件，S表示簡支邊界條件。

為了驗證本方法的準確性，表1中給出了耦合板結構在各種邊界條件下的無量綱振動頻率。耦合板結構的耦合角度為90°，耦合條件為剛性耦合時，板的厚度h1=h2=0.01 m。表中彎曲振動邊界條件FFFFFF表示板1沿邊界y1=0，x1=a1，y1=b和板2沿邊界x2=0，y2=0，y2=b的彎曲振動邊界條件都為自由邊界條件，面內振動邊界條件為相同的描述順序。本文中面內振動的簡支邊界條件定義為邊界法向方向上的零位移和切向方向上的零應力。表中也示出了相應邊界條件下有限元的計算結果，通過對比，本方法的結果和有限元的結果吻合良好，兩者的偏差小于2%。

表1 耦合板在不同邊界條件下的固有頻率Tab.1 The first seven frequency parameters for the coupled plate with different boundary conditions

續(xù)表1

為了比較應用Kirchhoff理論和Mindlin理論建模的異同，在圖2與圖3中，基于這兩種理論，計算了激勵作用在點x1=0.2 m，y1=0.1 m的輸入功率流。其中，耦合板結構的彎曲振動邊界條件全為簡支，面內振動邊界條件全為自由，耦合角度為180°，耦合條件為剛性耦合，板的厚度h1=h2為0.005 m和0.05 m。

圖2 h1=h2=0.005 m時耦合板結構的輸入功率流Fig.2 Input power flow for coupled plate with h1=h2=0.005 m

圖3 h1=h2=0.05 m時耦合板結構的輸入功率流Fig.3 Input power flow for coupled plate h1=h2=0.05 m

圖中實線為Mindlin理論的計算結果，點線為Kirchhoff理論的計算結果，圖中也給出了有限元的計算結果。從功率流曲線圖和模態(tài)對比可知，輸入功率流的峰值在共振頻率處。計算結果表明，在板較薄時，兩種理論的計算結果幾乎相等，而且與有限元的結果也能很好地吻合；在板較厚時，Kirchhoff理論得到的曲線與Mindlin理論和有限元法得到的曲線有較大的偏差，其計算的共振頻率要明顯高于Mindlin理論和有限元的結果，即Kirchhoff理論不再準確。

圖4 耦合板結構振動響應測試系統(tǒng)Fig.4 Measuring system for vibrational response of coupled plates

圖5 板1上點（0.1m，0.1m）的振動響應Fig.5 Vibrational response at(0.1m,0.1m)on the surface of plate 1

圖6 板2上點（0.1m，0.25m）的振動響應Fig.6 Vibrational response at(0.1m,0.25m)on the surface of plate 2

為了進一步驗證本方法的準確性，圖5和圖6給出了實驗和理論計算得到的響應曲線，實線為實驗結果，虛線為用本文方法得到的結果。其中耦合板結構的耦合角度為90°，耦合條件為剛性耦合時，板的厚度h1=h2=0.01 m，彎曲振動的邊界條件為FCFFFF，面內振動的邊界條件為FCFFFF。實驗方案如圖4所示，信號發(fā)生器為DH1301，激振器為DH410-002，電荷適調器為DH5855，阻抗頭為CL-YD-331A，加速度傳感器為DH131E，信號采集器為DH5922。實驗中，激振器作用點的位置為x1=0.1 m，y1= 0.1 m，在激振點安裝阻抗頭用來同時采集激振點的力和加速度，在位置x2=0.1 m，y2=0.25 m處安裝加速度傳感器采集響應點的加速度。

圖5中的曲線為激勵點的速度導納曲線，圖6中的曲線為響應點的速度導納曲線。從圖中可以看出，在低頻段，理論結果和實驗結果在低頻段能很好地吻合；在高頻段，實驗中傳感器的質量對實驗結果影響加大，同時實驗的邊界條件和理論計算邊界條件會存在一定的差異，從而導致兩種方法得到的曲線有些許偏差，但它們的趨勢是一致的。

5 結 論

本文基于Mindlin理論，并考慮了板的面內振動，采用改進傅立葉級數(shù)方法分析了任意邊界支撐條件下彈性耦合板的振動特性。板的彎曲振動與面內振動位移函數(shù)都表示為標準的二維級數(shù)和四項輔助的單傅立葉級數(shù)的線性組合，通過引入輔助的級數(shù)，解決了位移導數(shù)在邊界潛在不連續(xù)的問題。本方法中，所有位移展開系數(shù)可以通過Hamilton原理進行求解，而所有的固有頻率都可以通過求解特征值而得到。本方法不僅適用于任意耦合角度的耦合板，而且也適用于任意邊界條件和耦合條件的耦合板。最后的數(shù)值計算結果和實驗表明，本方法具有較高的計算精度。

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Vibration characteristic analysis of moderately thick coupled rectangular plates

WANG Jiu-fa1,XUE Kai2,LI Qiu-hong2
(1.No.710 R&D Institute,CSIC,Yichang 433003,China;2.College of Mechanical and Electrical Engineering, Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

Base on Mindlin plate theory,an improve Fourier series method is employed to analyze the vibration of coupled plates with general elastic boundary support and coupled condition.In order to establish general model,six types of springs are uniformly distributed along coupling edge to simulate the arbitrary coupling conditions,and five kinds of springs are uniformly distributed along boundary edge to simulate the arbitrary boundary condition.The vibration displacements of the flexural and in-plane vibration are expressed with the linear combination of a double Fourier cosine series and auxiliary series functions.The use of these supplementary functions is to solve the discontinuity problems which encountered in the displacement partial differentials along the edges.The matrix eigenvalue equation,which is equivalent to governing differential equations of the coupled plate,can be deduced by using Hamilton’s principle,and the frequencies and response of coupled plates can be obtained by solving the matrix equation.Finally,the numerical results and the comparisons with both FEA and experiment are presented to validate the correct of the method.

coupled plates;Mindlin theory;improved Fourier series;general elastic boundary support

TP533

：Adoi：10.3969/j.issn.1007-7294.2016.05.009

1007-7294（2016）05-0583-08

2015-12-18

國家自然科學基金項目（51105087）；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助（HEUCF130701）

王久法（1987-），男，博士，E-mail：wangjiufa1987@sina.com；薛 開（1964-），男，教授，博士生導師；李秋紅（1980-），女，博士。