戴又善， 宋孝同

(1.浙江大學城市學院， 浙江 杭州 310015； 2.浙江大學 物理系， 浙江 杭州 310027；3.弗吉尼亞大學 粒子與核物理研究所，弗吉尼亞州 夏洛茨維爾 22904)

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無需光速不變假設的狹義相對論新推導

戴又善1， 宋孝同2,3

(1.浙江大學城市學院， 浙江 杭州 310015； 2.浙江大學 物理系， 浙江 杭州 310027；3.弗吉尼亞大學 粒子與核物理研究所，弗吉尼亞州 夏洛茨維爾 22904)

摘要：傳統(tǒng)相對論依據(jù)光速不變原理可以推導出時空的洛倫茲變換公式，而在相對性原理的基礎上，利用洛倫茲變換公式和守恒定律又可建立起愛因斯坦的質(zhì)能關系式.不同于首先從運動學出發(fā)來完全確定洛倫茲變換的傳統(tǒng)方法,依據(jù)相對性原理以及動量和能量守恒,通過討論粒子的兩體衰變過程,論證了相對論能量正比于動質(zhì)量實際上并不依賴于洛倫茲變換或具體的時空變換特性.從而無須引進光速不變假設和不依賴靜質(zhì)量為0的粒子,給出了一種更為普遍的狹義相對論的新推導.新的相對論公式已不再需要依賴光速,取而代之的是與所有粒子相關的普適極限速度vm.

關鍵詞：狹義相對論; 相對論動力學; 光速不變原理; 質(zhì)速關系; 質(zhì)能關系

DAI Youshan1, SONG Xiaotong2,3

(1.ZhejiangUniversityCityCollege,Hangzhou310015,China; 2.DepartmentofPhysics,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027,China; 3.InstituteofNuclearandParticlePhysics,UniversityofVirginia,CharlottesvilleVA22904,USA)

愛因斯坦于1905年依據(jù)相對性原理和光速不變原理,創(chuàng)建了狹義相對論[1-2](以下簡稱相對論).100多年來,盡管相對論經(jīng)受了大量實驗的檢驗,取得了巨大的成功,但是將相對論這一普遍適用的基礎理論建立在特殊物質(zhì)光的特性之上，存在明顯的理論局限性.雖然也有研究提出可以用物質(zhì)運動速度存在上限的假設來替代光速不變的假設[3-4],以避免將普遍的相對論理論建立在具體的物質(zhì)特性之上,但這一假設實際上隱含了自然界必須存在以速度上限值運動的粒子的假定[5],即傳統(tǒng)相對論理論的建立必須依賴于某種以極限速度運動即靜質(zhì)量為0的粒子(例如光子).

不同于依據(jù)光速不變假設首先從運動學來完全確定洛倫茲變換的傳統(tǒng)方法,本文將從動力學過程出發(fā)來建立相對論.首先，依據(jù)相對性原理以及動量和能量守恒定律,通過討論粒子的兩體衰變過程,論證相對論能量正比于動質(zhì)量實際上并不依賴于洛倫茲變換或具體的時空變換特性,對一般的線性時空變換都有E=mA,其中A為與粒子運動速度無關的待定常量[10-11].在此關鍵性證明的基礎上,本文針對靜質(zhì)量不為0的粒子,無須引進光速不變假設,僅僅依據(jù)相對性原理就可建立起相對論動力學,進一步可以完全確定線性時空變換的廣義洛倫茲變換公式,從而給出了一種適用范圍更廣的相對論理論的新推導.新的相對論公式已不再與光速c直接相關,取而代之的是在建立和求解粒子質(zhì)速關系的微分方程時自動給出與所有粒子相關的普適極限速度vm.

1質(zhì)速關系和質(zhì)能關系的推導

p=m0γ(v2)v=mv.

(1)

上式中m可稱為動質(zhì)量,而m=m0γ(v2)通常稱為質(zhì)速關系.對于m0>0粒子的能量E=E(m0,v),同樣可寫為

E=m0Γ(v2),

(2)

其中Γ(v2)為另一待定函數(shù).

(3)

由能量守恒可得

(4)

圖1　M0粒子兩體衰變過程的不同慣性系變換Fig.1　Two-body decay process of particle M0for inertial frames transformation

設S′系相對于S系沿X方向以速度V運動(見圖1).一般的線性時空變換關系為

(5)

(6)

對上式微分,即可求得一般的速度變換關系為

(7)

目前a01(V)和a00(V)還是未知的待定系數(shù),因而時空變換關系和速度變換關系還未完全確定[10-11].

即有

(8)

依據(jù)相對性原理在S′系中應同樣滿足動量守恒和能量守恒：

(9)

(10)

令

(11)

由式(10)可得

(12)

A(V2)=A(v′21)=A(v′22).

(13)

雖然上式是在m10=m20的特例下推得,但顯然在m10≠m20的一般情況下,式(13)也是方程式(12)的解.由于在速度允許取值范圍內(nèi),V和v1(或V和v2)都為獨立參量,因而由式(8)可知V2和v′21(或V2和v′22)均可獨立地變化,因此在速度允許的取值范圍內(nèi)A(v2)必須是與粒子運動速度無關的常量,由此可知

(14)

即粒子能量和動質(zhì)量之比是與參考系選取無關的待定常量,由此證明了粒子相對論能量應正比于動質(zhì)量而并不依賴于具體的線性時空變換形式.因此粒子能量E(v2)和靜能E0=E(0)可以分別寫為

E(v2)=m(v2)A,E0=m0A.

(15)

設粒子所受外力為F,在相對論力學中粒子的動量和能量的變化分別為dp=Fdt，dE=F·dr，由此可得能量變化和動量變化之間的關系:

(16)

則有

(17)

由此可建立微分方程

(18)

(19)

(20)

(21)

而粒子的質(zhì)能關系則為

(22)

2廣義洛倫茲變換公式的推導

利用已確定的質(zhì)速關系和質(zhì)能關系,代入S系的能量守恒關系式(4)得

(23)

代入S′系的能量守恒關系式(9)則可得

(24)

將S′系的粒子速度式(8)代入式(24)即有

(25)

比較式(25)與(23)則有

(26)

由此可求得(要求滿足a00(V=0)=1)

(27)

圖2　不同慣性系中M0粒子的相等靜質(zhì)量兩體衰變Fig.2　Two-body decay process of particle M0with same rest mass in different inertial frames

即有

(28)

由S′系X方向的動量守恒以及能量守恒可得

(29)

即有

(30)

由此可得

(31)

(32)

代入式(31)后可得

(33)

(34)

由式(27)可得

(35)

需要說明的是,一般線性時空變換的a01(V)和a00(V)并不獨立,由相對論運動學可知兩者必須滿足關系[12]:

(36)

而上述推導則用動力學過程再次證明了這一關系式.

確定了具體的a01(V)和a00(V)后,代入式(6)就可得到相對論的時空變換關系：

(37)

可將上式稱為廣義洛倫茲變換,其中vm代表了更具普遍性的粒子運動極限速度.若取極限速度為光速vm=c,即式(37)為傳統(tǒng)相對論的洛倫茲變換;若取vm→∞,則回到了經(jīng)典絕對時空觀的伽利略變換.

依據(jù)式(7)則可確定相對論的速度變換關系為

(38)

由式(38)可直接驗證極限速度vm為廣義洛倫茲變換下的不變量，并可證明vm是對所有m0≠0粒子都適用的普適常量[11-12].若取vm=c,則光速不變就成了相對論的一個推論.

3結論

以上基于相對性原理以及動力學的基本關系dE=v·dp,通過討論靜質(zhì)量不為0粒子的兩體衰變過程,依據(jù)動量守恒和能量守恒定律，首先推導了相對論的質(zhì)速關系和質(zhì)能關系.由于在推導中無須事先確定運動學的時空變換和速度變換公式,因而相對論質(zhì)速關系和質(zhì)能關系在本質(zhì)上并不依賴于運動學具體的時空變換特性,完全可由相對論動力學所確定[10-12].在此基礎上可進一步完全確定相對論運動學的廣義洛倫茲變換公式,從而建立了相比于傳統(tǒng)相對論適用范圍更廣的相對論理論新框架.

需要指出的是,通過一般運動學的討論可以證明,對于m0>0的具有靜止參考系的粒子,伽利略變換是唯一允許粒子運動速度為任意大的線性時空變換,因而對于任何非伽利略型線性時空變換,必然要求粒子的運動速度存在上限[12].而本文則由動力學過程通過建立和求解粒子質(zhì)速關系的微分方程,再次證明了對于m0>0粒子的運動速度必須存在上限.本文的推導說明,從動力學角度出發(fā)來討論相對論,依據(jù)相對性原理將自動導致m0>0粒子的運動速度具有上限,而無須通過額外的理論假設來引入極限速度,因而無須引進光速不變的假設就可以給出廣義洛倫茲變換的推導.

值得強調(diào)的是,在傳統(tǒng)相對論的建立過程中,必須事先在運動學中依賴以極限速度運動即靜質(zhì)量為0的粒子,才能推導出洛倫茲變換公式.而在本文的動力學過程推導中則完全與靜質(zhì)量為0的粒子無關,也不再需要光速不變的假設.本文的研究結果說明相對論是一個并不依賴于任何特殊粒子具體特性而適用于所有物質(zhì)的普遍理論,即使自然界存在超光速現(xiàn)象，其與相對論理論也是可以相容的[13].在新的相對論公式中,由普適極限速度vm取代了光速c,而vm的具體取值可通過實驗測量來確定.由于以極限速度vm運動的粒子不存在靜止參考系,則靜質(zhì)量不為0的粒子只能趨近極限速度而無法達到極限速度,因而粒子以極限速度運動等價于該粒子的靜質(zhì)量嚴格為0,即vm=c等價于光子的m0=0.但由于目前實驗上還未能確定光子的靜質(zhì)量是否嚴格為0,因此極限速度是否嚴格等于光速也還未能確定.若vm≠c,則光速不變將不再成立;若vm=c(嚴格相等),則光速不變就成為相對論的一個推論而不再是原理假設.因而無論自然界是否存在靜質(zhì)量為0的粒子,無論極限速度是否等于光速,也無論今后是否發(fā)現(xiàn)超光速現(xiàn)象,相對論都是成立與自洽的[14-16].由于本文證明了相對論的建立無須引進光速不變假設且不依賴靜質(zhì)量為0的粒子,本文的研究結果將使得相對論的理論基礎更加穩(wěn)固,其應用范圍也更為廣泛.

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New derivation of special relativity without assumption of constant speed of light. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(2):247-252

Abstract:Traditionally, special relativity is formulated through a derivation of the space-time Lorentz transformation based on the assumption that the speed of light is invariant. Einstein’s famous mass-energy relation can be deduced from the Lorentz transformation, combined with the principle of relativity as well as the relevant conservation laws. This work abandons the unnecessary assumption of a constant speed of light, and proves that the proportionality between the relativistic energy and the moving mass does not rely on Lorentz transformation or any other specific form of space-time transformation. We demonstrate with two-body particle decay following directly from the principle of relativity and the conservation of energy and momentum. Therefore, we present a novel and more general formulation of special relativity without assuming a constant speed of light and the existence of massless particles. In this new formulation, a universal speed limit vm naturally emerges with no specific regard to the propagation of light.

Key Words:special relativity; relativistic dynamics; principle of constant speed of light; mass-velocity relation; mass-energy relation

中圖分類號：O 412.1

文獻標志碼：A

文章編號：1008-9497(2016)02-247-06

DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2016.02.022

作者簡介：戴又善(1957-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0003-2318-2196,男，博士，副教授，主要從事理論物理研究，E-mail:daiys@zucc.edu.cn.

收稿日期：2014-12-01.