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      蒙特卡洛法評(píng)定坐標(biāo)測(cè)量機(jī)直徑測(cè)量不確定度

      2016-05-05 00:58:42陳曉懷
      關(guān)鍵詞:不確定度評(píng)定

      徐 磊,陳曉懷

      (合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

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      蒙特卡洛法評(píng)定坐標(biāo)測(cè)量機(jī)直徑測(cè)量不確定度

      徐磊,陳曉懷

      (合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

      摘要:工件完整的測(cè)量結(jié)果由測(cè)量估計(jì)值和測(cè)量不確定度組成,而坐標(biāo)測(cè)量機(jī)在實(shí)際應(yīng)用過程中,通常僅提供一個(gè)被測(cè)參數(shù)的估計(jì)值。以坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量工件直徑為例,闡述了測(cè)量過程中影響測(cè)量結(jié)果的不確定度來源,并討論了坐標(biāo)測(cè)量機(jī)面向任務(wù)的不確定度評(píng)定模型,給出基于測(cè)量不確定度表示指南和蒙特卡洛法的不確定度評(píng)定方法。最后,用某工件直徑測(cè)量的不確定度評(píng)定實(shí)例驗(yàn)證所述方法的可行性。通過比較發(fā)現(xiàn):當(dāng)測(cè)量模型為非線性模型或輸入量服從多種分布類型時(shí),蒙特卡洛法更加準(zhǔn)確、便捷。

      關(guān)鍵詞:坐標(biāo)測(cè)量機(jī);直徑測(cè)量;蒙特卡洛法;不確定度評(píng)定

      0引言

      在進(jìn)行工件測(cè)量時(shí),完整的測(cè)量結(jié)果應(yīng)包含測(cè)量估計(jì)值和測(cè)量不確定度。測(cè)量不確定度是表征被測(cè)量值分散性的非負(fù)參數(shù)。測(cè)量結(jié)果的可用性很大程度上取決于其測(cè)量不確定度的大小[1]。文獻(xiàn)[2]依據(jù)測(cè)量不確定度表示指南(guide to the expression of uncertainty in measurement,GUM)對(duì)測(cè)量模型較為簡(jiǎn)單的測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)量不確定度的評(píng)定,簡(jiǎn)單有效,但對(duì)于坐標(biāo)測(cè)量機(jī)(coordinate measuring machine,CMM)而言,該方法評(píng)定難度較大。這是由于CMM是一種復(fù)雜的幾何量測(cè)量?jī)x器,其測(cè)量策略的多樣性使得不同測(cè)量任務(wù)的不確定度評(píng)定過程和結(jié)果大相徑庭,且影響CMM測(cè)量不確定度的誤差源因素很多,誤差源與測(cè)量結(jié)果的傳遞關(guān)系難以確定[3-4]。文獻(xiàn)[5]基于產(chǎn)品幾何規(guī)范對(duì)CMM測(cè)量結(jié)果進(jìn)行不確定度評(píng)定,該方法雖具可行性,但其復(fù)現(xiàn)性試驗(yàn)的合理規(guī)劃是難點(diǎn),測(cè)量人員需要有深厚的專業(yè)功底,且該方法需要大量試驗(yàn)數(shù)據(jù),工作量較大。因此,CMM的測(cè)量結(jié)果通常只提供被測(cè)參數(shù)的估計(jì)值,不能給出測(cè)量任務(wù)的測(cè)量不確定度[6-7]。本文在CMM直角坐標(biāo)系下,采用最小二乘法擬合圓,對(duì)工件直徑測(cè)量的不確定度進(jìn)行分析評(píng)定。分別采用GUM法和蒙特卡洛法(Monte Carlo method,MCM)對(duì)測(cè)量不確定度進(jìn)行評(píng)定,并對(duì)兩種方法進(jìn)行了比較。研究?jī)?nèi)容對(duì)提高CMM測(cè)量不確定度評(píng)定的可靠性與可操作性,以及提升CMM的應(yīng)用價(jià)值和空間,都具有一定的參考價(jià)值。

      1測(cè)量模型

      對(duì)應(yīng)擬合圓時(shí)所采的測(cè)量點(diǎn)Pi(xi,yi),則有正規(guī)方程組:

      (1)

      求解方程組(1)即可得到a、b、c,表示為:

      (2)

      CMM在圓的實(shí)際測(cè)量和評(píng)定過程中,一般會(huì)對(duì)采樣點(diǎn)附加約束條件,即測(cè)量采樣點(diǎn)數(shù)量為偶數(shù),且在被測(cè)圓周上等間距分布。在此約束條件下最小二乘圓的圓心坐標(biāo)[9]為:

      (3)

      (4)

      求解式(4),可得直徑表達(dá)式為:

      (5)

      2測(cè)量不確定度評(píng)定模型

      CMM測(cè)量直徑時(shí),影響測(cè)量結(jié)果的主要誤差源包括儀器自身的21項(xiàng)機(jī)構(gòu)誤差、測(cè)量重復(fù)性誤差、熱變形誤差、力變形誤差、探測(cè)系統(tǒng)誤差和動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差等。因此,CMM測(cè)量直徑D的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式[10]為:

      D=d+d(αW-αM)δθ+δres+δt+δv,

      (6)

      其中:d為測(cè)量模型的輸出直徑;αW為工件的熱膨脹系數(shù);αM為CMM光柵尺的熱膨脹系數(shù);δθ為實(shí)際測(cè)量溫度與標(biāo)準(zhǔn)溫度(20 ℃)的差值;δres為示值誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響;δv為測(cè)量力對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響;δt為動(dòng)態(tài)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。

      直徑D是關(guān)于輸入量d、δθ、δres、δv、δt的函數(shù),即:

      D=f(d,δθ,δres,δv,δt)。

      輸入量之間互不相關(guān),根據(jù)GUM法可得各傳遞因數(shù)[11]為:

      于是,CMM測(cè)量直徑D的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:

      四是運(yùn)行環(huán)境方面的問題。任何一項(xiàng)工作機(jī)制的運(yùn)行,都需要一定的環(huán)境作為支撐?!耙徽臼健彼痉ù_認(rèn)機(jī)制得以建立,其根本原因是黨和政府關(guān)于完善矛盾糾紛多元化解機(jī)制的基本要求。在這種條件下,完善工作機(jī)制、化解矛盾糾紛、維護(hù)社會(huì)穩(wěn)定成為各級(jí)黨委、政府和相關(guān)部門的一項(xiàng)重要任務(wù),也就為“一站式”司法確認(rèn)機(jī)制的建立創(chuàng)造了條件。該機(jī)制的運(yùn)行,不僅需要司法機(jī)關(guān)、司法行政機(jī)關(guān)創(chuàng)造條件予以保障,同時(shí)也需要各級(jí)黨委、政府、相關(guān)部門和組織,在思想理念、工作目標(biāo)、工作機(jī)制等方面提供支持和保障,為該機(jī)制的運(yùn)行創(chuàng)造良好環(huán)境。

      (7)

      同理,可分析得到u(d)。由式(5)知:

      d=g(xi,yi,x0,y0)。

      則各傳遞因數(shù)為:

      (8)

      于是,

      (9)

      將u(d)代入式(7)即得到被測(cè)直徑D的標(biāo)準(zhǔn)不確定度uC(D)。

      3蒙特卡洛法

      蒙特卡洛法評(píng)定測(cè)量不確定度是基于分布傳播的原理,適用于具有任意多個(gè)可由概率密度函數(shù)表征的輸入量和單一輸出量的測(cè)量模型,即需要已知模型中各輸入量的概率分布,由評(píng)定模型計(jì)算出輸出量的分布[12-14]。

      圖1 基于蒙特卡洛法的不確定度評(píng)定流程圖

      基于蒙特卡洛法的不確定度評(píng)定步驟如下:(Ⅰ)建立公式Y(jié)=f(xi),即確定輸出量與輸入量之間的數(shù)學(xué)模型和測(cè)量不確定度的來源;(Ⅱ)分析確定各輸入量的概率密度函數(shù)g(xi)和蒙特卡洛模擬次數(shù)M;(Ⅲ)通過計(jì)算機(jī)技術(shù)產(chǎn)生M組偽隨機(jī)輸入量,代入評(píng)定方程,得到輸出量的M個(gè)值與分布函數(shù)的離散表示。將輸出量的期望作為測(cè)量結(jié)果的估計(jì)值,輸出量的標(biāo)準(zhǔn)偏差作為測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度,結(jié)合包含概率P,確定測(cè)量結(jié)果的包含區(qū)間,得出擴(kuò)展不確定度。蒙特卡洛法評(píng)定測(cè)量不確定度的流程如圖1所示。

      4實(shí)例分析

      采用??怂箍礛H3D-DCC型三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)車載空壓機(jī)上殼體的直徑進(jìn)行測(cè)量,并評(píng)定其測(cè)量不確定度。試驗(yàn)所用坐標(biāo)測(cè)量機(jī)空間長(zhǎng)度測(cè)量精度MPEE≤(3+4L/1 000) μm,光柵尺的分辨率為0.1 μm。被測(cè)工件和機(jī)器光柵尺的熱膨脹系數(shù)以及變化范圍分別為:

      αW=23.2×10-6℃-1;△αW=±4×10-6℃-1;

      αM=10.5×10-6℃-1;△αM=±2×10-6℃-1。

      將工件擺放在工作平面的中央,記錄測(cè)量環(huán)境,采取自動(dòng)測(cè)量的方法,鎖定Z軸。在同一圓截面上等間距采樣8個(gè)點(diǎn)來評(píng)價(jià)被測(cè)圓的直徑。

      表1 采樣點(diǎn)的坐標(biāo)值傳遞因數(shù)

      重復(fù)測(cè)量10次獲得各采樣點(diǎn)的坐標(biāo)值,計(jì)算單點(diǎn)坐標(biāo)的不確定度u(xi)、u(yi),為安全起見,選取其中的最大值作為最終的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)。通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算知u(xi)≈u(yi)≤1.60 μm,則由式(3)計(jì)算可得u(x0)≈u(y0)≤0.57 μm。通過式(8)計(jì)算各傳遞因數(shù),結(jié)果如表1所示。

      根據(jù)式(9)計(jì)算得u(d)=1.10 μm。試驗(yàn)采用自動(dòng)測(cè)量,測(cè)速較慢,測(cè)量力所引起的誤差和動(dòng)態(tài)誤差可忽略不計(jì)。根據(jù)被測(cè)工件的標(biāo)稱尺寸計(jì)算知u(δres)=1.89 μm。試驗(yàn)室溫度控制在(20±1) ℃,考慮均勻分布,則δθ=1 ℃,計(jì)算得:

      根據(jù)式(7)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)不確定度為:

      uC(D)=2.20 μm。

      GUM法指出當(dāng)輸出量服從或近似服從正態(tài)分布時(shí):

      (Ⅰ)若自由度小,則根據(jù)韋爾奇-薩特思偉特(Welch-Satterthwaite)公式計(jì)算出自由度v,并由t分布表得到包含因子k。

      (10)

      該法需要計(jì)算出所有不確定度分量的自由度。

      (Ⅱ)若自由度大,則當(dāng)包含概率P=95%時(shí),包含因子k默認(rèn)取2.00;當(dāng)P=99%時(shí),k默認(rèn)取3.00。在實(shí)際應(yīng)用中,通常無法確定輸出量的分布類型與自由度,但在不確定度報(bào)告中又需要給出擴(kuò)展不確定度,此時(shí)包含因子k根據(jù)包含概率取2.00或3.00,即假設(shè)輸出量服從正態(tài)分布。

      若取P=95%,則k=2.00。GUM法獲得測(cè)量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度為U=k·uC(D)=4.40 μm,包含區(qū)間為(67.064 0,67.073 8)。

      4.2MCM評(píng)定結(jié)果

      圖2 蒙特卡洛法直徑測(cè)量結(jié)果的分布圖

      方法D/mmU/μmk包含區(qū)間(P=95%)GUM67.06844.802.00(67.0636,67.0732)GUM67.06843.801.72(67.0646,67.0722)MCM67.06863.501.75(67.0651,67.0721)

      4.3評(píng)定結(jié)果對(duì)比

      由圖2可以看出:輸出量近似服從梯形分布,與GUM法默認(rèn)的服從正態(tài)分布不符。所以當(dāng)包含概率P=95% 時(shí),GUM法所采用的包含因子k不可取2.00,此時(shí)由梯形角參數(shù)與包含概率可得:k=1.72。則U=k·uC(D)=3.80 μm,包含區(qū)間為(67.064 6,67.072 2)。基于GUM法與MCM評(píng)定出的CMM直徑測(cè)量的擴(kuò)展不確定度,如表2所示。

      對(duì)比評(píng)定結(jié)果可知:當(dāng)包含因子k在不考慮輸出量的分布,默認(rèn)取2.00時(shí)的擴(kuò)展不確定度比實(shí)際的擴(kuò)展不確定度擴(kuò)大了26%。

      5結(jié)論

      (1)MCM略過求解靈敏系數(shù)的過程,避免了GUM法在計(jì)算靈敏系數(shù)時(shí)忽略泰勒級(jí)數(shù)高階項(xiàng)的誤差和繁雜的計(jì)算。

      (2)在測(cè)量不確定度評(píng)定模型復(fù)雜的情況下,運(yùn)用MCM可有效簡(jiǎn)化測(cè)量不確定度的評(píng)定流程。

      (3)MCM可由輸出量的離散表示得出擴(kuò)展不確定度,避免了GUM法中包含因子k的近似。

      綜上所述,當(dāng)CMM測(cè)量模型為非線性等復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型或輸入量服從多種分布類型時(shí),基于蒙特卡洛法評(píng)定測(cè)量不確定度更加準(zhǔn)確、便捷。

      參考文獻(xiàn):

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      中圖分類號(hào):TB92

      文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

      收稿日期:2015-11-11

      作者簡(jiǎn)介:徐磊(1993-),男,安徽滁州人,碩士生;陳曉懷(1954-),女,安徽懷寧人,教授,博士,博士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)楝F(xiàn)代精度理論與應(yīng)用.

      基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51275148)

      文章編號(hào):1672-6871(2016)03-0015-04

      DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.03.004

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